高中文科数学立体几何知识点总结Word文件下载.doc
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用平面法向量实现。
若为平面的一个法向量,且,则。
3.面面平行:
三.垂直关系:
1.线面垂直:
用线线垂直实现。
用面面垂直实现。
2.面面垂直:
计算所成二面角为直角。
3.线线垂直:
三垂线定理及其逆定理。
若向量和向量的数量积为0,则。
三.夹角问题。
(一)异面直线所成的角:
(1)范围:
(2)求法:
定义法。
步骤1:
平移,使它们相交,找到夹角。
步骤2:
解三角形求出角。
(常用到余弦定理)
余弦定理:
(计算结果可能是其补角)
向量法。
转化为向量的夹角
(计算结果可能是其补角):
(二)线面角
(1)定义:
直线l上任取一点P(交点除外),作PO于O,连结AO,则AO为斜线PA在面内的射影,(图中)为直线l与面所成的角。
(2)范围:
当时,或
当时,
(3)求法:
作出线面角,并证明。
解三角形,求出线面角。
(三)二面角及其平面角
在棱l上取一点P,两个半平面内分别作l的垂线(射线)m、n,则射线m和n的夹角为二面角—l—的平面角。
作出二面角的平面角(三垂线定理),并证明。
解三角形,求出二面角的平面角。
截面法。
如图,若平面POA同时垂直于平面,则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。
解三角形,求出二面角。
坐标法(计算结果可能与二面角互补)。
步骤一:
计算
步骤二:
判断与的关系,可能相等或者互补。
四.距离问题。
1.点面距。
几何法。
过点P作PO于O,线段PO即为所求。
计算线段PO的长度。
(直接解三角形;
等体积法和等面积法;
换点法)
2.线面距、面面距均可转化为点面距。
3.异面直线之间的距离
转化为线面距离。
如图,m和n为两条异面直线,且,则异面直线m和n之间的距离可转化为直线m与平面之间的距离。
直接计算公垂线段的长度。
公式法。
如图,AD是异面直线m和n的公垂线段,,则异面直线m和n之间的距离为:
A
B
C
D
11/11
五.空间向量
(一)空间向量基本定理
若向量为空间中不共面的三个向量,则对空间中任意一个向量,都存在唯一的有序实数对,使得。
(二)三点共线,四点共面问题
1.A,B,C三点共线
,且
当时,A是线段BC的
A,B,C三点共线
2.A,B,C,D四点共面
当时,A是△BCD的
A,B,C,D四点共面
(三)空间向量的坐标运算
1.已知空间中A、B两点的坐标分别为:
,则:
;
2.若空间中的向量,
则
六.常见几何体的特征及运算
(一)长方体
1.长方体的对角线相等且互相平分。
2.若长方体的一条对角线与相邻的三条棱所成的角分别为,则
若长方体的一条对角线与相邻的三个面所成的角分别为,则
3.若长方体的长宽高分别为a、b、c,则体对角线长为,表面积为,体积为。
(二)正棱锥:
底面是正多边形且顶点在底面的射影在底面中心。
(三)正棱柱:
底面是正多边形的直棱柱。
(四)正多面体:
每个面有相同边数的正多边形,且每个顶点为端点有相同棱数的凸多面体。
(只有五种正多面体)
(五)棱锥的性质:
平行于底面的的截面与底面相似,且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。
正棱锥的性质:
各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形。
(六)体积:
(七)球
1.定义:
到定点的距离等于定长的点的集合叫球面。
2.设球半径为R,小圆的半径为r,小圆圆心为O1,球心O到小圆的距离为d,则它们三者之间的数量关系是。
3.球面距离:
经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。
4.球的表面积公式:
体积公式:
高考题典例
考点1点到平面的距离
例1如图,正三棱柱的所有棱长都为,为中点.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)求点到平面的距离.
解答过程(Ⅰ)取中点,连结.
为正三角形,.
O
F
正三棱柱中,平面平面,
平面.连结,在正方形中,分别为的中点,,.
在正方形中,,平面.
(Ⅱ)设与交于点,在平面中,作于,连结,由(Ⅰ)得平面.,为二面角的平面角.
在中,由等面积法可求得,
又,.
所以二面角的大小为.
(Ⅲ)中,,.
在正三棱柱中,到平面的距离为.
设点到平面的距离为.
由,得,.
点到平面的距离为.
考点2异面直线的距离
例2已知三棱锥,底面是边长为的正三角形,棱的长为2,且垂直于底面.分别为的中点,求CD与SE间的距离.
解答过程:
如图所示,取BD的中点F,连结EF,SF,CF,
为的中位线,∥∥面,到平面的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线上一点C到平面
的距离,设其为h,由题意知,,D、E、F分别是AB、BC、BD的中点,
在Rt中,
又由于,即,解得故CD与SE间的距离为.
考点3直线到平面的距离
例3.如图,在棱长为2的正方体中,G是的中点,求BD到平面的距离.
G
H
思路启迪:
把线面距离转化为点面距离,再用点到平面距离的方法求解.
解析一∥平面,
上任意一点到平面的距离皆为所求,以下求
点O平面的距离,
,,平面,
又平面平面,两个平面的交线是,
作于H,则有平面,即OH是O点到平面的距离.
在中,.
又.
即BD到平面的距离等于.
解析二∥平面,
上任意一点到平面的距离皆为所求,以下求点B平面的距离.
设点B到平面的距离为h,将它视为三棱锥的高,则
小结:
当直线与平面平行时,直线上的每一点到平面的距离都相等,都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点,转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离;
解析二是等体积法求出点面距离.
考点4异面直线所成的角
例4如图,在中,,斜边.可以通过以直线为轴旋转得到,且二面角的直二面角.是的中点.
(I)求证:
平面平面;
(II)求异面直线与所成角的大小.
(I)由题意,,,
是二面角是直二面角,
,又,平面,
又平面.平面平面.
(II)作,垂足为,连结(如图),则,
是异面直线与所成的角.
在中,,,.
又.在中,.
异面直线与所成角的大小为.
求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形,作法有:
①平移法:
在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”,作另一条直线的平行线,如解析一,或利用中位线,如解析二;
②补形法:
把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系,如解析三.一般来说,平移法是最常用的,应作为求异面直线所成的角的首选方法.同时要特别注意异面直线所成的角的范围:
.
考点5直线和平面所成的角
例5.四棱锥中,底面为平行四边形,侧面底面.已知,,,.
(Ⅰ)证明;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的大小.
(Ⅰ)作,垂足为,连结,由侧面底面,得底面.
S
因为,所以,
又,故为等腰直角三角形,,由三垂线定理,得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,依题设,
故,由,,,得,.的面积.
连结,得的面积
设到平面的距离为,由于,得,解得.
设与平面所成角为,则.
所以,直线与平面所成的我为.
求直线与平面所成的角时,应注意的问题是
(1)先判断直线和平面的位置关系;
(2)当直线和平面斜交时,常用以下步骤:
①构造——作出斜线与射影所成的角,②证明——论证作出的角为所求的角,③计算——常用解三角形的方法求角,④结论——点明直线和平面所成的角的值.
考点6二面角
例6.如图,已知直二面角,,,,A
Q
P
,,直线和平面所成的角为.(I)证明
(II)求二面角的大小.
过程指引:
(I)在平面内过点作于点,连结.
因为,,所以,
又因为,所以.
而,所以,,
从而,又,
所以平面.因为平面,故.
(II)由(I)知,,又,,
,所以.过点作于点,连结,由三垂线定理知,.故是二面角的平面角.
由(I)知,,所以是和平面所成的角,则,
不妨设,则,.
在中,,所以,于是在中,.故二面角的大小为.
本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱,进而找出二面角的平面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径:
①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱,②由二面角两个平面内的两条平行直线找出棱,③补形构造几何体发现棱;
解法二则是利用平面向量计算的方法,这也是解决无棱二面角的一种常用方法,即当二面角的平面角不易作出时,可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.
考点7利用空间向量求空间距离和角
例7.如图,已知是棱长为的正方体,
点在上,点在上,且.
(1)求证:
四点共面;
(2)若点在上,,点在上,,垂足为,求证:
(3)用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小,求.
(1)如图,在上取点,使,连结,,则,.
因为,,所以四边形,都为平行四边形.从而,.
又因为,所以,故四边形是平行四边形,由此推知,从而.因此,四点共面.
(2)如图,,又,所以,
.
因为,所以为平行四边形,从而.
又平面,所以平面.
(3)如图,连结.因为,,所以平面,得.于是是所求的二面角的平面角,即.
因为,所以
,.
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