三角函数最全知识点总结.docx
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三角函数最全知识点总结
三角函数、解三角形
一、任意角和弧度制及任意角的三角函数
1.任意角的概念
(1)我们把角的概念推广到任意角,任意角包括正角、负角、零角.
1正角:
按__逆时针__方向旋转形成的角.
2负角:
按__顺时针__方向旋转形成的角.
3零角:
如果一条射线__没有作任何旋转__,我们称它形成了一个零角.
(2)终边相同角:
与α终边相同的角可表示为:
{β|β=α+2kπ,k∈Z},或{β|β=α+k·360°,k∈Z}.
(3)象限角:
角α的终边落在__第几象限__就称α为第几象限的角,终边落在坐标轴上的角不属于任何象限.
象限角
轴线角
2.弧度制
(1)1度的角:
__把圆周分成360份,每一份所对的圆心角叫1°的角
(2)1弧度的角:
__弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角_
(3)角度与弧度的换算:
(4)
3.任意角的三角函数定义
(1)设α是一个任意角,α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x,y),yxy它与原点的距离为r,则sinα=__r__,cosα=__r__,tanα=__x__.
rrx
(2)三角函数在各象限的符号是:
sinα
cosα
tanα
Ⅰ
+
+
+
Ⅱ
+
Ⅲ
-
-
+
Ⅳ
-
+
-
记忆口诀:
一全正,二正弦,三正切,四余弦.
(3)三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的__正弦__线、__余弦__线和__正切__线.
4.终边相同的角的三角函数
sin(α+k·2π)=__sinα__
cos(α+k·2π)=__cosα
tan(α+k·2π)=__tanα__(其中k∈Z),
即终边相同的角的同一三角函数的值相等.
重要结论
1.终边相同的角不一定相等,相等角的终边一定相同,在书写与角α终边相同的角时,单位必须一致.
α
2.确定αk(k∈N*)的终边位置的方法
(1)讨论法:
1用终边相同角的形式表示出角α的范围.
2写出α的范围.
k
3根据k的可能取值讨论确定k的终边所在位置.
(2)等分象限角的方法:
已知角α是第m(m=1,2,3,4)象限角,求αk是第几象限角.
1等分:
将每个象限分成k等份.
2标注:
从x轴正半轴开始,按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4,直至回到x轴正半轴.
3选答:
出现数字m的区域,即为αk所在的象限.
如α2判断象限问题可采用等分象限法.
、同角三角函数的基本关系式与诱导公式
1.同角三角函数的基本关系式
22sinx
(1)平方关系:
__sin2x+cos2x=1__.
(2)商数关系:
__=tanxcosx
2.三角函数的诱导公式
组数
二
三
四
五
六
角
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
π
2-α
π
2+α
正弦
sinα
__-
-sinα
sinα
__cosα_
cosα
sinα
余弦
cosα
-
cosα
-
sinα
-
cosα
cosα
sinα
正切
tanα
tanα
-tanα
tanα
重要结论
2.特殊角的三角函数值表
角α
0°
30°
45°
60°
90°
120°
150°
180°
270°
角α的弧度数
π
π
π
π
2π
5π
3π
0
π
6
4
3
2
3
6
2
sinα
0
1
2
3
1
3
1
0
-1
2
2
2
2
2
cosα
1
3
2
1
0
1
-3
-1
0
2
2
2
-2
2
tanα
0
3
3
1
3
-3
-3
-3
0
3.诱导公式的记忆口诀
π
“奇变偶不变,符号看象限”.“奇”与“偶”指的是诱导公式k·2+α中的整数k是奇
数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化,若k是奇数,则正、余弦互变;若ππ
k为偶数,则函数名称不变.“符号看象限”指的是在k·π2+α中,将α看成锐角时k·π2+α所在的象限.
+cosx、sinx-cosx、sinxcosx之间的关系
sinx+cosx、sinx-cosx、sinxcosx之间的关系为(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx,(sinx
222
-cosx)=1-2sinxcosx,(sinx+cosx)+(sinx-cosx)=2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值,便可求其余两个代数式的值.
三、两角和与差的三角函数二倍角公式
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α=__2sinαcosα__;
(2)cos2α=__cos2α-sin2α__=__2cos2α__-1=1-__2sin2α__;
(3)tan2α=_
2tanαkπ
_2__(α≠1-tan2α2
ππ
+4且α≠kπ+2,k∈Z).
3.半角公式(不要求记忆)
α
(1)sin2=
±
1-cosα
1-c2osα;
α
(2)cos2=
±
1+cosα
1+c2os;
α
1-cosαsinα
1-cosα
(3)tan2=±1+cosα=1+cosα=sinα
重要结论
1.降幂公式:
21+cos2α21-cos2α
cosα=,sinα=.
22
2.升幂公式:
22
1+cos2α=2cosα,1-cos2α=2sinα.
3.公式变形:
tanα±tanβ=tan(α±β)(1?
tanα·tanβ).
(sinα±cosx)2.
4.辅助角(“二合一”)公式:
asinα+bcosα=a2+b2sin(α+φ),
5.三角形中的三角函数问题
A
在三角形中,常用的角的变形结论有:
A+B=π-C;2A+2B+2C=2π;2+
BCπ
+=.
2+2=2
三角函数的结论有:
sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tan(A+B)=
A+BCA+BC
-tanC,sin=cos,cos=sin.
2222
A>B?
sinA>sinB?
cosA 四、三角函数的图象与性质 1.周期函数的定义及周期的概念 (1)对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做__周期函数__.非零常数T叫做这个函数的__周期__.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小__正周期__. (2)正弦函数、余弦函数都是周期函数,__2kπ(k∈Z,k≠0)__都是它们的周期,最小正周期是__2π__. 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y=sinx y=cosx y=tanx 图象 定义域 x∈R x∈R x∈R, π 且x≠+kπ,k 2 ∈Z 值域 {y|- {y|-1≤y≤1} 1≤y≤1} __R__ ππ _[-2+2kπ,2+2kπ] 在[(2k-1)π, 在_ 2kπ]__,k∈Z上 22 单调性 , k∈Z上递增; 递增; 在(- ππ 2+kπ,2+ 在_ π3π _[2+2kπ,2+2kπ] 在__[2kπ,(2k kπ), k∈Z上递增 +1)π]__,k∈Z , k∈Z上递减 上递减 __π+2kπ(k∈Z)__时, 2 x=__2kπ(k∈ x= Z)__时,ymax=1; 最值 π 1;x=__-2+2kπ(k∈ x=__π+2kπ(k 无最值 ymax= ∈Z)__时,ymin= Z)__ 时,ymin=-1 -1 奇偶性 __奇__ __偶__ __奇__ 对 称 性 对称中心 __(kπ,0),k∈Z__ π kπ+2,0,k∈Z__ kπ (2,0),k∈Z__ 对称轴 π __x=kπ+,k∈Z__ 2 __x=kπ,k∈Z__ 无对称轴 最小正周期 2π 2π __π__ 重要结论 1.函数y=sinx,x∈[0,2π]的五点作图法的五个关键点是 π __(0,0)__、__(π2,1)__、__(π, 0)__、__(3π2,-1)__、__(2π,0)__. π 函数y=cosx,x∈[0,2π]的五点作图法的五个关健点是__(0,1)__、__(2,0)__、__(π, 3π -1)__、 __(2,0)__、__(2π,1)__. 3.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称 中心与对称轴之间的距离是14周期.而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期. 4 4.三角函数中奇函数一般可化为y=Asinωx或y=Atanωx的形式,而偶函数一般可化为 y=Acosωx+b的形式. 五、函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 1.五点法画函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图象 (1)列表: X=ω·x+φ 0 π 2 π 3π 2 2π x __-φ__ω __π-φ__2ωω __π-φ__ωω __3π-φ__ 2ωω __2π-φ__ωω sinx 0 1 0 -1 0 y 0 A 0 -A 0 (2)描点: 3π __(-ωφ,0)__, ω φ2π ,-A)__,( φπφ __(2ω-ωφ,A)__,(πω-φω,0),(2ωω ω ω 0)__. (3)连线: 把这5个点用光滑曲线顺次连接,就得到y=Asin(ωx+φ)在区间长度为一个周期内的图象. 2.由函数y=sinx的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤 3.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈[0,+∞)的物理意义 (1)振幅为A. (2)周期T=__2π__.ω (3)频率f=_ 1ω _T__=____.(4)相位是__ωx+φ__.(5)初相是φ. T2π 重要结论 1.函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间的“长度”为2T. 2.“五点法”作图中的五个点: ①y=Asin(ωx+φ),两个最值点,三个零点;②y π =Acos(ωx+φ),两个零点,三个最值点.3.正弦曲线y=sinx向左平移2个单位即得余弦曲线y=cosx. 六、正弦定理、余弦定理 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 2 a=__ b2+c2-2bccosA __a=b=c__=2R(其中R 内容 __sinA=sinB=sinC__=2R(其中R b2=__ a+c-2accosB__ 是△ABC外接圆的半径) 2 c=__ 22 a+b-2abcosC__ ①a=2RsinA,b=2RsinB,c =__2RsinC__; ab ②sinA=____,sinB=____,sinC2R2R cosA= 222 b+c-a__2bc__; 常见变形 c cosB= 222a+c-b =2R; __2ac__; ③abc=__sinAsinBsinC__ cosC= 222a+b-c 2ab ④asinB=bsinA,bsinC=csinB, asinC=csinA 解决解斜三 (1)已知两角和任一边,求另一角和其他两条边; (1)已知三边,求各角; 角形的问题 (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角 (2)已知两边一角,求第三边和其他两个角 2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式
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