高考数学理科一轮复习正弦定理和余弦定理应用举例学案Word文档格式.docx
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.南偏东10°
D.南偏西10°
3.如图所示,为了测量某障碍物两侧A、B间的距离,给定下列四组数据,不能确定A、B间距离的是( )A.α,a,bB.α,β,a
.a,b,γD.α,β,b
4.在200高的顶上,测得下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°
、60°
,则塔高为________
.(2010&
全国Ⅱ)△AB中,D为边B上的一点,BD=33,sinB=13,s∠AD=3,求AD
探究点一 与距离有关的问题
例1 (2010&
陕西)如图,A,B是海面上位于东西方向相距(3+3)海里的两个观测点,现位于A点北偏东4°
,B点北偏西60°
的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°
且与B点相距203海里的点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,该救援船到达D点需要多长时间?
变式迁移1 某观测站在目标A的南偏西2°
方向,从A出发有一条南偏东3°
走向的公路,在处测得与相距31千米的公路上B处有一人正沿此公路向A走去,走20千米到达D,此时测得D为21千米,求此人在D处距A还有多少千米?
探究点二 测量高度问题
例2 如图所示,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点与D,现测得∠BD=α,∠BD=β,D=s,并在点测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB
变式迁移2 某人在塔的正东沿着南偏西60°
的方向前进40米后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔的最大仰角为30°
,求塔高.
探究点三 三角形中最值问题
例3 (2010&
江苏)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位:
),示意图如图所示,垂直放置的标杆B的高度h=4,仰角∠ABE=α,∠ADE=β
(1)该小组已测得一组α、β的值,算出了tanα=124,tanβ=120,请据此算出H的值;
(2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位:
),使α与β之差较大,可以提高测量精度.若电视塔实际高度为12,试问d为多少时,α-β最大?
变式迁移3 (2011&
宜昌模拟)如图所示,已知半圆的直径AB=2,点在AB的延长线上,B=1,点P为半圆上的一个动点,以D为边作等边△PD,且点D与圆心分别在P的两侧,求四边形PD面积的最大值.
1.解三角形的一般步骤
(1)分析题意,准确理解题意.
分清已知与所求,尤其要理解应用题中的有关名词、术语,如坡度、仰角、俯角、方位角等.
(2)根据题意画出示意图.
(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解.演算过程中,要算法简练,计算正确,并作答.
(4)检验解出的答案是否具有实际意义,对解进行取舍.
2.应用举例中常见几种题型
测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.(满分:
7分)
一、选择题(每小题分,共2分)
1.如果等腰三角形的周长是底边长的倍,那么它的顶角的余弦值为( )
A18B34
32D78
揭阳模拟)如图,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点,测出A的距离为0,∠AB=4°
,∠AB=10°
后,就可以计算出A、B两点的距离为( )A.02B.03
.22D222
3.△AB的两边长分别为2,3,其夹角的余弦值为13,则其外接圆的半径为( )
A922B924
928D.92
4.(2011&
沧州模拟)某人向正东方向走x后,向右转10°
,然后朝新方向走3,结果他离出发点恰好是3,那么x的值为( )
A3B.23
3或23D.3
.一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°
方向,另一灯塔在船的南偏西7°
方向,则这只船的速度是每小时( )
A.海里B.3海里
.10海里D.103海里
题号1234
答案
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.一船以每小时1的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔在北偏东60°
方向,行驶4h后,船到B处,看到这个灯塔在北偏东1°
方向,这时船与灯塔的距离为________.
7.(2011&
台州模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度为1°
的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°
和30°
,第一排和最后一排的距离为106米(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为0秒,升旗手应以________米/秒的速度匀速升旗.
8.(2011&
宜昌模拟)线段AB外有一点,∠AB=60°
,AB=200,汽车以80/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以0/h的速度由B向行驶,则运动开始________h后,两车的距离最小.三、解答题(共38分)
9.(12分)(2009&
辽宁)如图,A、B、、D都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为7°
、30°
,于水面处测得B点和D点的仰角均为60°
,A=01试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等,然后求B、D的距离(计算结果精确到001,2≈1414,6≈2449).
10.(12分)如图所示,甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的南偏西7°
方向的B1处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的南偏西60°
方向的B2处,此时两船相距102海里.问乙船每小时航行多少海里?
11.(14分)(2009&
福建)如图,某市拟在长为8的道路P的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段S,该曲线段为函数=Asinωx(A&
0,ω&
0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为S(3,23);
赛道的后一部分为折线段NP,为保证参赛运动员的安全,限定∠NP=120°
(1)求A,ω的值和,P两点间的距离;
(2)应如何设计,才能使折线段赛道NP最长?
答案自我检测
1.B 2B 3A
44003
.解 由s∠AD=3>0知B<π2,
由已知得sB=1213,sin∠AD=4,
从而sin∠BAD=sin(∠AD-B)
=sin∠ADsB-s∠ADsinB
=4×
1213-3×
13=336
由正弦定理得,ADsinB=BDsin∠BAD,
所以AD=BD&
sinBsin∠BAD=33×
13336=2
堂活动区
例1 解题导引 这类实际应用题,实质就是解三角形问题,一般都离不开正弦定理和余弦定理,在解题中,首先要正确地画出符合题意的示意图,然后将问题转化为三角形问题去求解.注意:
①基线的选取要恰当准确;
②选取的三角形及正、余弦定理要恰当.
解 由题意知AB=(3+3)海里,∠DBA=90°
-60°
=30°
,∠DAB=90°
-4°
=4°
,
∴∠ADB=180°
-(4°
+30°
)=10°
在△DAB中,由正弦定理,得DBsin∠DAB=ABsin∠ADB,
∴DB=AB&
sin∠DABsin∠ADB=&
#61480;
3+3&
#61481;
&
sin4°
sin10°
=&
s60°
+s4°
sin60°
=103(海里).
又∠DB=∠DBA+∠AB=30°
+(90°
)=60°
,B=203(海里),
在△DB中,由余弦定理,得D2=BD2+B2-2BD&
B&
s∠DB=300+1200-2×
103×
203×
12
=900,∴D=30(海里),
∴需要的时间t=3030=1(小时).
故救援船到达D点需要1小时.
变式迁移1
解如图所示,易知∠AD=2°
+3°
=60°
,在△BD中,
sB=312+202-2122×
31×
20=2331,
所以sinB=12331
在△AB中,A=B&
sinBsinA=24,
由B2=A2+AB2-2A&
ABsA,
得AB2-24AB-38=0,
解得AB=3,AB=-11(舍),
所以AD=AB-BD=1
故此人在D处距A还有1千米.
例2 解题导引 在测量高度时,要正确理解仰角、俯角的概念,画出准确的示意图,恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解.注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识.
解 在△BD中,∠BD=π-α-β
由正弦定理得Bsin∠BD=Dsin∠BD,
所以B=D&
sin∠BDsin∠BD=s&
sinβsin&
α+β&
在Rt△AB中,
AB=Btan∠AB=s&
tanθsinβsin&
变式迁移2
解由题意可知,在△BD中,D=40,
∠BD=30°
,∠DB=13°
由正弦定理得,Dsin∠DB
=BDsin∠BD,
∴BD=40sin30°
sin13°
=202
过B作BE⊥D于E,显然当人在E处时,
测得塔的仰角最大,有∠BEA=30°
在Rt△BED中,
又∵∠BDE=180°
-13°
-30°
=1°
∴BE=DB&
sin1°
=202×
6-24=10(3-1).
在Rt△ABE中,
AB=BE&
tan30°
=103(3-3)(米).
故所求的塔高为103(3-3)米.
例3 解题导引 平面几何图形中研究或求有关长度、角度、面积的最值、优化设计等问题.而这些几何问题通常是转化到三角形中,利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题时,常先引入变量,如边长、角度等,然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出,再利用正、余弦定理列出方程,解之.若研究最值,常使用函数思想.
解
(1)由AB=Htanα,BD=htanβ,AD=Htanβ及AB+BD=AD,
得Htanα+htanβ=Htanβ,
解得H=htanαtanα-tanβ=4×
124124-120=124().
因此,算出的电视塔的高度H是124
(2)由题设知d=AB,得tanα=Hd
由AB=AD-BD=Htanβ-htanβ,得tanβ=H-hd
所以tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ
=hd+H&
H-h&
d≤h2H&
当且仅当d=H&
d,
即d=H&
=12×
12-4&
=时,
上式取等号,所以当d=时,tan(α-β)最大.
因为0&
lt;
β&
α&
π2,则0&
α-β&
π2,
所以当d=时,α-β最大.
变式迁移3 解 设∠PB=θ,四边形面积为,
则在△P中,由余弦定理得
P2=P2+2-2P&
sθ=-4sθ
∴=S△P+S△PD=12×
1×
2sinθ+34(-4sθ)
=2sin(θ-π3)+34
∴当θ-π3=π2,即θ=π6时,ax=2+34
所以四边形PD面积的最大值为2+34
后练习区
1.D 2A 3 4
6.302 706
87043
解析 如图所示:
设th后,汽车由A行驶到D,摩托车由B行驶到E,则AD=80t,BE=0t
因为AB=200,所以BD=200-80t,
问题就是求DE最小时t的值.
由余弦定理得,DE2=BD2+BE2-2BD&
BEs60°
=(200-80t)2+200t2-(200-80t)&
0t
=12900t2-42000t+40000
∴当t=7043时,DE最小.
9.解 在△AD中,∠DA=30°
∠AD=60°
-∠DA=30°
所以D=A=01………………………………………………………………………(2分)
又∠BD=180°
所以△AB≌△BD,
所以BA=BD……………………………………………………………………………(6分)
在△AB中,ABsin∠BA=Asin∠AB,
即AB=A&
=32+620,…………………………………………………………(10分)
所以BD=32+620≈033().
故B、D的距离约为033……………………………………………………………(12分)
10.解如图,连接A1B2,由题意知,
A1B1=20,A2B2=102,
A1A2=2060×
302=102(海里).…………………………………………………………(2分)
又∵∠B2A2A1=180°
-120°
∴△A1A2B2是等边三角形,
∠B1A1B2=10°
……………………………………………………………(6分)
在△A1B2B1中,由余弦定理得
B1B22=A1B21+A1B22-2A1B1&
A1B2s4°
=202+(102)2-2×
20×
102×
22=200,
∴B1B2=102(海里).…………………………………………………………………(10分)
因此乙船的速度大小为
10220×
60=302(海里/小时).…………………………………………………………(12分)
11.解方法一
(1)依题意,有A=23,T4=3,
又T=2πω,∴ω=π6∴=23sinπ6x(3分)
当x=4时,=23sin2π3=3,∴(4,3).
又P(8,0),∴P=42+32=…………………………………………………………(分)
(2)如图,连接P,在△NP中,∠NP=120°
,P=
设∠PN=θ,
则0°
θ&
60°
由正弦定理得Psin120°
=NPsinθ=Nsin&
-θ&
∴NP=1033sinθ,N=1033sin(60°
-θ),…………………………………………(8分)
∴NP+N=1033sinθ+1033sin(60°
-θ)
=103312sinθ+32sθ=1033sin(θ+60°
).…………………………………………(12分)
∵0°
,∴当θ=30°
时,折线段赛道NP最长.
即将∠PN设计为30°
时,
折线段赛道NP最长.…………………………………………………………………(14分)
方法二
(1)同方法一.
(2)连结P在△NP中,∠NP=120°
P=,
由余弦定理得,N2+NP2-2N&
NP&
s∠NP=P2………………………………(8分)
即N2+NP2+N&
NP=2
故(N+NP)2-2=N&
NP≤N+NP22,
……………………………………………………………………………………………(10分)
从而34(N+NP)2≤2,即N+NP≤1033
当且仅当N=NP时等号成立.
即设计为N=NP时,
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