数学实验分形实例.docx
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数学实验分形实例.docx
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数学实验分形实例
数学实验报告
学 院:
班 级:
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姓 名:
完成日期:
实验二分形
(一)练习题1
一.实验目的
1.了解分形几何的基本情况;
2.了解通过迭代方式,产生分形图的方法;
3.了解matlab软件中简单的程序结构。
二.问题描述
对一个等边三角形,每条边按照Koch曲线的方式进行迭代,产生的分形图称为Koch雪花。
编制程序绘制出它的图形,并计算Koch雪花的面积,以及它的分形维数。
三.实验过程
仿照Koch曲线代码对三角形的每条边进行Koch曲线化,建立函数“snow”的输入参数有三角形的边长R和迭代次数k,输出Koch雪花图形以及雪花所围面积S.
源代码如下:
functionsnow(R,k)
p=[0;R/2+1i*R*sin(pi/3);R;0];
S=0;
n=3;
A=exp(1i*pi/3);
fors=1:
k
j=0;
fori=1:
n
q1=p(i,:
);
q2=p(i+1,:
);
d=(q2-q1)/3;
j=j+1;r(j,:
)=q1;
j=j+1;r(j,:
)=q1+d;
j=j+1;r(j,:
)=q1+d+d*A;
j=j+1;r(j,:
)=q1+2*d;
end
n=4*n;
clearp
p=[r;q2];
end
figure
q(:
1)=real(p(:
1));
q(:
2)=imag(p(:
1));
plot(q(:
1),q(:
2))
fill(q(:
1),q(:
2),'b')
fori=0:
k
S=S+(3.^(0.5-i))*0.25*(R.^2);
end
S
axisequal
按照以上程序,输入参数,有以下结果:
>>snow(1,1)S=0.5774图形如下:
>>snow(1,2)S=0.6255图形如下:
>>snow(1,3)S=0.6415图形如下:
>>snow(1,4)S=0.6468图形如下:
>>snow(1,5)S=0.6486图形如下:
四.总结分析和心得体会
根据观察迭代的面积规律,即可推得面积递推公式:
其中
即:
面积公式
,也就等于
分形维数,根据迭代的规律得到:
相似形个数:
m=4
边长放大倍数c=3,
维数d=lnm/lnc=ln6/ln3=1.631
(二)练习题2
一.实验目的
1.了解分形几何的基本情况;
2.了解通过迭代方式,产生分形图的方法;
3.了解matlab软件中简单的程序结构。
二.问题描述
对一条竖线段,在其三分之一分点处,向左上方向画一条线段,在其三分之二点处,向右上方向画一条线段,线段长度都是原来的三分之一,夹角都为30度,迭代一次后变成图3-22.继续迭代得到分形图,可模拟树木花草,编制程序绘制出它的图形。
三.实验过程
代码如下:
functiontree(z1,z2,N,n)
ifn>N
return
end
ifn==1
d=(z2-z1)/3;
q1=z1+d+d*exp(1i*pi/6);
q2=z1+2*d+d*exp(-1i*pi/6);
plot([z1+d,q1])
holdon
axisequal
plot([z1+2*d,q2])
plot([z1,z2])
tree(z1,z2,N,n+1)
else
d=(z2-z1)/3;
q1=z1+d+d*exp(1i*pi/6);
q2=z1+2*d+d*exp(-1i*pi/6);
plot([z1+d,q1])
plot([z1+2*d,q2])
tree(z1+d,q1,N,n+1);
tree(z1+d,z1+2*d,N,n+1);
tree(z1+2*d,q2,N,n+1);
tree(z1+2*d,z2,N,n+1);
end
其中N为迭代次数,n的初始值为1,输入以下代码:
tree(0,10i,2,1)图形如下:
tree(0,10i,3,1)图形如下:
tree(0,10i,4,1)图形如下:
tree(0,10i,5,1)图形如下:
tree(0,10i,6,1)图形如下:
四.总结分析和心得体会
通过本次的实验,我更了解了几合分形图以及用matlab软件产生几合分形图的方法、程序结构。
总的来说,通过本次实验,学习到了matlab软件的一种
新的用法,对自己的数学实验能力又提升了不少。
体验了通过图形迭代方式产生分形图的过程,迭代的规则非常简单,产生的结果却异常奇妙,并且这些图形很好地反映出了分形所具有的自相似的层次结构。
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