二次函数与一元二次方程二次函数知识总结.docx
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二次函数与一元二次方程二次函数知识总结
二次函数与一元二次方程、二次函数知识总结
学员姓名年级辅导科目数学
学科教师班主任授课时间
教学课题二次函数与方程、二次函数知识总结
教学目标理解掌握二次函数与一元二次方程的关系掌握根与系数的关系掌握本章知识结构。
教学重难点知识理解掌握。
课前
检查
作业完成情况:
优□良□中□差□
建议:
教学内容
一、二次函数与一元二次方程:
(一)思考与探索:
二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程x
2-2x-3与一元二次方程x
2-2x-3=0有怎样的关系?
课
1、从关系式看二次函数y=x
2-2x-3成为一元二次方程x2-2x-3=0的条件是什么?
堂
2、反应在图象上:
观察二次函数y=x
x2-2x-3=0的根吗?
2-2x-3=0的根吗?
2-2x-3的图象你能确定一元二次方程
教
3、结论:
学
一般地如果二次函数y=ax
2+bx+c的图象与x轴有两个
过
2
公共点(x1,0)、(x2,0),那么一元二次方程ax+bx+c=0
有两个不相等的实数根x=x1、x=x2。
反过来也成立。
4、观察与思考:
程
观察下列图象:
(1)
观察
函数y=x
2-6x+9与y=x2-2x+3的图象与x轴的公共点的个数;
(2)判断一元二次方程x
2-6x+9=0和x2-2x+3=0的根的情况;
(3)你能利用图象解释一元二次方程的根的不同情况吗?
(二)归纳提高:
一般地二次函数y=ax
2+bx+c图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有如下关系:
1、如果二次函数y=ax
2+bx+c图象与x轴有两个交点(m,0)、(n,0),那么一元二次方程ax2+bx+c=0
有实数根x1=,x2=.
2、如果二次函数y=ax
2+bx+c图象与x轴有一个交点(m,0),那么一元二次方程ax2+bx+c=0有
实数根x1=x2=.
3、如果二次函数y=ax
2+bx+c图象与x轴没有交点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0
实数根.
反过来由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可以判断二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴的交
点个数。
课
2
当Δ=b4ac0时一元二次方程ax
+bx+c=0的根的情况是此时二次函数
堂
y=ax
2+bx+c图象与x轴有交点;
教
当Δ=b4ac=0时一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是此时二次函数
2+bx+c=0的根的情况是此时二次函数
y=ax
2+bx+c图象与x轴有交点;
学
当Δ=b4ac<0时一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是此时二次函数
2+bx+c=0的根的情况是此时二次函数
过
y=ax
2+bx+c图象与x轴有交点.
程
2bxca
例1.如图抛物线yax(0)的对称轴是直线x1且经过点P(30)
y
则方程
20(0)
axbxca的根为:
。
3
例2.直接说出下列二次函数的图象与x轴公共点的个数
(1)y=x
2
-2x;
(2)y=x
2
-2x-3.
P
–13
Ox
1
例3.已知抛物线
26
yxxa的顶点在x轴上则a=;若抛物线与x轴有两
个交点则a的范围是;与x轴最多只有一个交点则a的范围是
例4.已知抛物线y=x
2-2x-3
①与y轴的交点坐标为________与x轴的交点坐标为________
②当y>0时,x的取值范围是_______,当y<0时,x的取值范围是_______,
当x<0时,y的取值范围是_______
例5.如图在同一坐标系中一次函数的图像与坐标轴交于B、C二次函数的图像与坐标轴交
于A、B、C三点且对称轴平行于y轴.
(1)分别求出图中一次函数与二次函数的解析式;
(2)根据图像指出当x为何值时一次函数与二次函数
的值均随x的增大而增大?
(3)根据图像指出当x什么范围时一次函数的值大于
二次函数的值?
(三)自主探究
问题1:
想一想如何根据图象确定二次函数y=ax
2+bx+c(a≠0)中a、b、c的符号
(1)a的符号与抛物线的___________有关有什么结论?
______________________________________
(2)抛物线y=ax
2+bx+c(a≠0)与y轴的交点坐标是________
因此抛物线与y轴的交点:
①在y轴正半轴上时c与0的大小关系是___________;
②在y轴负半轴上时c与0的大小关系是___________;
③在原点时c与0的大小关系是_________。
(3)对称轴与_____有关如何确定b的符号
例1、
(1)二次函数y=ax
2+bx+c(a≠0)的图象如图所示那么你能判断出以下量的符号吗?
a___0;b___0;c____0;abc___0、2a+b___0、a+b+c___0、a-b+c___0、b
2-4ac___0、4a+2b+c____0。
(2)在同一坐标系中直线y=ax+b(a≠0)与抛物线y=ax
2+bx+c(a≠0)的图象可能是()
ABCD
课堂检测:
1、已知:
抛物线y=ax
2
+bx+c(a≠0)的图象如下左图判断下列式子与0的大小关系
(1)a_______0
(2)b_______0(3)c_______0(4)a+b+c_______0(5)a-b+c_______0
(6)b
2-4ac___0,(7)2a+b_______0(8)2a-b_______0
2
2、抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的图象如上右图所示则下列关于a、
b、c间的关系判断正确的是()
A、ab<0B、abc>0C、a+b+c>0D、a-b+c<0
3、抛物线y=ax
2+bx+c(a≠0)的图象如右下图则ac与0的大小关系是()
A、<B、≤C、>D、≥
4、函数y=ax
2+bx+c(a≠0)的图象如右上图下列结论中①abc>0
②a+b+c<0③b=2a④a-b+c>0正确的个数有()
A、0个B、1个C、2个D、3个
二次函数知识梳理
1.二次函数的概念及图象特征
2bxca
二次函数:
如果yax0那么y叫做x的二次函数.
2bxca
通过配方yax0可写成
yax
2
2
b
b
4ac
2a4a
它的图象是以直线
x
b
2a
为对称轴以
-
b
2a
4ac
4a
2
b
为顶点的一条抛物线.
2.二次函数的性质
值函数的图象及性质
⑴开口向上并且向上无限伸展;
⑵当
x
b
2a
4ac
时函数有最小值
4a
2
b
;
>0
当x<
b
-时y随x的增大而减小;
2a
当x>
b
-时y随x的增大而增大.[来源:
学科网]
2a
⑴开口向下并且向下无限伸展;
<0
⑵当x=
b4ac
-时函数有最大值
2a4a
2
b
;
当x<
b
-时y随x的增大而增大;
2a
当x>
b
-时y随x的增大而减小.
2a
3.二次函数图象的平移规律
2
22yaxhk
yaxyaxk
2bxca2a
抛物线yax0可由抛物线yax0平移得到.由于平移时抛物线上所
有的点的移动规律都相同所以只需研究其顶点移动的情况.因此有关抛物线的平移问题需
2
要利用二次函数的顶点式yaxhk
来讨论.
2
4.a、b、c及b4ac
的符号与图象的关系
⑴a→决定抛物线的开口方向;a>0.开口向上;a<0开口向下.
⑵a、b→决定抛物线的对称轴的位置:
a、b同号对称轴(
x
b
2a
<0=在y轴的左侧;
a、b异号对称轴(
x
b
2a
>0)在y轴的右侧.
⑶c→决定抛物线与y轴的交点(此时点的横坐标x=0)的位置:
[
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