高中数学人教a版选修44创新应用教学案 第二讲 第1节 第2课时 圆的参数方程 含答案.docx
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高中数学人教a版选修44创新应用教学案第二讲第1节第2课时圆的参数方程含答案
第2课时 圆的参数方程
[核心必知]
如图,设圆O的半径是r,点M从初始位置M0(t=0时的位置)出发,按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动,点M绕点O转动的角速度为ω,以圆心O为原点,OM0所在的直线为x轴,建立直角坐标系.
(1)在t时刻,M转过的角度是θ,点M的坐标是(x,y),那么θ=ωt(ω为角速度).设|OM|=r,那么由三角函数定义,有cosωt=
,sinωt=
,即圆心在原点O,半径为r的圆的参数方程为
(t为参数).其中参数t的物理意义是:
质点做匀速圆周运动的时刻.
(2)若取θ为参数,因为θ=ωt,于是圆心在原点O,半径为r的圆的参数方程为
(θ为参数).其中参数θ的几何意义是:
OM0(M0为t=0时的位置)绕点O逆时针旋转到OM的位置时,OM0转过的角度.
[问题思考]
1.方程
(θ为参数,0≤θ<2π)是以坐标原点为圆心,以R为半径的圆的参数方程,能否直接由圆的普通方程转化得出?
提示:
以坐标原点为圆心,以R为半径的圆的标准方程为x2+y2=R2,即(
)2+(
)2=1,令
则
2.若圆心在点M0(x0,y0),半径为R,则圆的参数方程是什么?
提示:
圆的参数方程为
(0≤θ<2π)
点M在圆(x-r)2+y2=r2(r>0)上,O为原点,x轴的正半轴绕原点旋转到OM形成的角为φ,以φ为参数.求圆的参数方程.
[精讲详析] 本题考查圆的参数方程的求法,解答此题需要借助图形分析圆上点M(x,y)的坐标与φ之间的关系,然后写出参数方程.
如图所示,设圆心为O′,连接O′M
①当M在x轴上方时,∠MO′x=2φ.
∴
②当M在x轴下方时,∠MO′x=-2φ,
∴
即
③当M在x轴上时,对应φ=0或φ=±
.
综上得圆的参数方程为
(φ为参数且-
≤φ≤
)
(1)由于选取的参数不同,圆有不同的参数方程.一般地,同一条曲线,可以选取不同的变数为参数,因此得到的参数方程也可以有不同的形式,形式不同的参数方程表示的曲线却可以是相同的,另外在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围.
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