小车下滑时间.docx
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小车下滑时间
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教学内容:
小车下滑时间
【本章学习目标】
本章的主要内容是经过生活实践,经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程,进一步发展符号感和抽象思维.从而能发现实际情境中的变量及其相互关系,并能确定其中的自变量和因变量.通过学习,能从表格、图象中分析出某些变量间的关系,并能用自己的语言进行表述,不断培养有条理地进行思考和表达的能力.
本章的重点和难点是能根据具体问题,适当而巧妙地选用表格或关系式来表示某些变量之间的关系,并结合对变量之间关系的分析,尝试对变化趋势进行初步的预测.
通过本章的学习,认真体会从运动变化的角度不断认识数学对象的变化过程,发展对数学知识的不断认识.
在本章学习中,应该注意以下两点:
(1)自变量可以取不同的值,但不能取任何数值.所取的数值只能在问题本身的允许范围内.自变量的数值取定后,因变量的数值也就确定了,不能随意再变.
(2)表格、关系式、图象所给出的数据不一定是准确数,可能是近似数,但提供的两个变量之间的变化规律是正确的、可靠的.要正确运用数学的语言、方法、知识去理解、刻画现实世界中的变化规律.
【基础知识精讲】
本节经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程,获得探索变量之间关系的体验,进一步发展符号感.
在具体情境中,正确理解什么是变量、自变量、因变量,并能举出反映变量之间关系的例子.
能从表格中获取变量之间关系的信息,能用表格表示变量之间的关系,并根据表格中的数据尝试对变化趋势的初步预测.
【重点难点解析】
1.理解变量、自变量、因变量、关系式的实际意义.
2.读懂表格、关系式、图象所提供的信息,并能用自己的语言描述出来.
3.运用表格或关系式刻画一些具体情境中变量之间的关系.
A.重点、难点提示
1.理解变量、自变量、因变量等概念;(这是重点,也是难点,要掌握好)
2.能从给出的图表中发现变量之间存在的关系,并能用自己的语言描述出来;
3.学会用关系式来表示变量之间的关系.
B.考点指要
量与量之间存在着相互影响的关系,从获得的数据中观察、分析得出变量之间的关系是一种非常重要的能力.
如课本表1中,支撑物高度h和小车下滑时间t都在变化,它们都是变量.其中t随h的变化而变化,h是自变量,t是因变量.
借助表格,我们可以表示因变量随自变量的变化情况.
关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法.利用关系式,我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值.当然根据因变量的值也能够求出相应的自变量的值.
【典型例题分析】
例1下表是某报纸公布的世界人口数据情况:
年份
1957
1974
1987
1999
2010
2025
人口数
30亿
40亿
50亿
60亿
70亿
80亿
(1)如果用x表示时间,y表示世界人口总数,那么随着x的变化,y的变化趋势是什么?
(认真审题,是解决问题的关键)
(2)世界人口每增加10亿,所需的时间是怎样变化的?
解:
(1)由表格可知:
随着x的增大,y逐渐增大;
(2)世界人口由30亿增长到40亿,花了17年时间;由40亿增长到50亿,花了13年时间;由50亿增长到60亿,花了12年时间;由60亿增长到70亿,花了11年时间;由70亿增长到80亿,花了15年时间.因此,世界人口每增加10亿,所需的时间是先逐渐减少,后逐渐增加.
例2商店出售货物时,要在进货价格基础上再加上一定利润,已知货物数x与售价y之间的关系如下表:
数量x(千克)
1
2
3
4
5
售价y(元)
0.30+0.05
0.60+0.10
0.90+0.15
1.20+0.20
1.50+0.25
(1)随着x的变化,y的变化情况如何?
(2)写出用x表示y的公式;
(3)计算2.5千克货物的价格.
解:
(1)随着x的增大,y也在增大;
(2)y=0.30x+0.05x=0.35x;
(3)要求2.5千克货物的价格,即令x=2.5,
则y=0.35×2.5=0.875元.
答:
用x表示y的公式为y=0.35x;2.5千克货物价格为0.875元.
例3声音在空气中的传播速度v(米/秒)与温度t(度)的关系如下表:
t(度)
1
2
3
4
5
v(米/秒)
331+0.6
331+1.2
331+1.8
331+2.4
331+3.0
(如果表格中的数据没有分拆成两个数的和,你会把两个变量的关系式表示出来吗?
)
(1)写出速度v与温度t之间的关系;
(2)当t=2.5(度)时,求声音的传播速度.(理解题意是关键)
解:
(1)速度v与温度t之间的关系是:
v=331+0.6t;
(2)当t=2.5(度)时,v=331+0.6×2.5=332.5(米/秒).
答:
速度v与温度t之间的关系为v=331+0.6t;当t=2.5(度)时,声音的传播速度为332.5米/秒.
例4有一批货,如果月初出售,可获利1000元,并可将本利和再去投资,到月末获利1.5%;如果月末售出这批货,可获利1200元,但要付50元保管费.
(1)请表示出这批货物的成本a(元)与月初出售到月末的获利额p(元)之间的关系;
(2)请问这批货在月初还是月末售出好?
(认真审题,理解题意是关键.)
解:
(1)月初出售到月末的可获利润:
p=1000+(a+1000)×1.5%=0.015a+1015,
即这批货物的成本a(元)与月初出售到月末的获利额p(元)之间的关系为:
p=0.015a+1015.
(2)如果月末售出这批货可获利润:
q=1200-50=1150(元),
由p-q=0.015a+1015-1150=0.015×(a一9000),
所以当a>9000时,月初出售好;当a=9000时,月初、月末出售一样;当a<9000时,月末出售好.
注 本题为决策性问题,一般先列出算式或建立函数关系式(变量之间的关系式),通过算式大小的比较或函数最值的确定作出相应的决策.
【典型热点考题】
例1张小明星期日去郊外爬山,他的爸爸为他记录了如下数据:
爬坡长度x(m)
30
50
80
100
150
200
爬坡时间t(min)
2
3.7
6.5
9
14
20
(1)当爬坡1OOm时,所花的时间是多少?
(2)当爬坡每增加10m时,所花时间相同吗?
(3)从数据的变化中,你能得到什么变化趋势?
点悟:
以爬坡长度x为自变量,爬坡时间t为因变量,分析t随着x变化而变化的情况.
解:
(1)当爬坡长度x=1OOm时,对应的时间t=9分钟.
(2)当爬坡每增加10m时,所花时间不相同.
(3)从数据中可以看出,越往上爬,张小明的速度越慢.
例2下表是联合国有关部门公布的世界人口数据情况:
年份
1957
1974
1987
1999
2010
2025
人口数(亿)
30
40
50
60
70
80
(1)如果用x表示时间,y表示世界人口总数,那么随着x的变化,y的变化趋势是什么?
(2)世界人口每增加10亿,所需的时间是怎样变化的?
点悟:
在这里x就是自变量,y就是因变量,y随着x的变化而变化.
解:
(1)由表格可知:
随着x的增大,y逐渐增大.
(2)世界人口由30亿增加到40亿,花了17年时间;由40亿增长到50亿,用了13年时间;由50亿增长到60亿,用了12年时间;由60亿增长到70亿,用了11年时间;由70亿增长到80亿,花了15年时间.因此,世界人口每增加10亿,所需用的时间是先逐渐减少,后来逐渐增加.
例3地球地壳的深度约为8到40km,在地表以下不太深的地方,温度可按y=3x+t计算,其中x是深度(km),t是地球表面温度(℃),y是所达深度的温度(℃).
(1)在这个变化过程中,自变量、因变量各是什么?
(2)分别计算当x为1km、5km、10km、20km时,地壳的温度,这时地表温度为2℃.
点悟:
通过本题的解答,我们可以初步体会自变量和因变量的数值对应关系,能由自变量的值求得因变量的值.
解:
(1)自变量是深度x,因变量是温度y.
(2)当x=1km时,y=35x+t=35×1+2=37(℃)
当x=5km时,y=35x+t=35×5+2=177(℃)
当x=1Okm时,y=35x+t=35×10+2=352(℃)
当x=20km时,y=35x+t=35×20+2=702(℃)
例4某乡镇从1950年到2000年的水稻平均亩产统计数据如下(精确到10kg):
时间(年)
1950
1960
1970
1980
1990
2000
平均亩(kg)
350
400
420
550
720
850
(1)上表反映哪两个变量之间的关系,哪个是自变量,哪个是因变量?
(2)从表中可知,随着时间的变化,平均亩产量的变化趋势是什么?
(3)哪一个十年中,平均亩产增加的最少?
最多?
点悟:
由表中得出自变量和因变量后,即可分析出因变量随自变量变化而发生变化的情况,从而得出亩产量变化的趋势和增产最快和最慢的10年.
解:
(1)水稻亩产量随时间的变化而变化,时间是自变量,平均亩产量是因变量;
(2)变化趋势是平均亩产量逐年升高;
(3)1980年~1990年的平均亩产量增加最多,1960年~1970年平均亩产量增加最少.
例52003年1~12月份某地的大米价格如下表所示:
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
平均价格(元/kg)
2.3
2.4
2.4
2.5
2.4
2.2
2.0
1.9
1.8
1.8
1.9
2.0
(1)表中列出的是哪两个变量之间的关系?
哪个是自变量,哪个是因变量?
(2)自变量是什么值时,因变量的值最小?
自变量是什么值时,因变量的值最大?
(3)该地区哪一段时间大米平均价格在上涨?
哪一段时间大米平均价格在下落?
(4)从表中可以得到该地区大米平均价格变化方面的哪些信息?
平均比年初是降价了,还是涨价了?
点悟:
仔细分析表格,分别找出自变量和因变量,然后根据它们之间的对应变化关系,问题即可圆满解决.
解:
(1)表中表示的是该地区的大米平均价格与月份两个变量之间的关系,月份是自变量,大米的平均价格是因变量;
(2)自变量是9、10时,因变量的值最小,均为1.8;自变量是4时,因变量的值最大,为2.5;
(3)从1月份至4月份,10月至12月份大米的平均价格在上涨;从4月份至9月份大米平均价格在下跌;
(4)大米的平均价格随着时间的变化而变化,价格随市场需求而变动,年底比年初降价了.
例6有一批货,如果月初出售,可获利1000元,并可将本利和拿去投资,到月末可获利1.5%;如果月末售出这批货,可获利1200元,但要付50元保管费.
(1)请表示出这批货物的成本a(元)与月初出售到月末的获利额p(元)之间的关系:
(2)请问这批货在月初还是在月末售出好?
点悟:
本题为决策性问题,最近几年中考的热点问题.一般情况下应该先列出算式或建立函数关系式(即变量之间的关系式).通过算式大小的比较或函数最大值(或最小值)的确定作出相应的决策,为我们的生产和生活作出积极地服务.
解:
(1)月初出售这批货物到月末可获得利润:
p=1000+(a+1000)×1.5%=0.015a+1015,即这批货物的成本a(元)与月初出售到月末的获利额p(元)之间的关系为:
p=0.015a+1015.
(2)如果月末售出这批货可获利润:
q=1200-50=1150(元).
则p-q=0.015a+1015-1150=0.015(a-9000).
所以当a>9000时,月初出售好;当a=9000时,月初、月末出售一样;当a<9000时,月末出售好.
【易错例题分析】
例某人一天中的体温变化情况如图6—1.请你根据图表回答下面问题:
(1)大约什么时间,该人的体温最高?
最高体温是多少?
(2)大约什么时间,该人的体温最低?
最低时体温约是多少?
(3)什么时间段内,该人的体温在升高?
(4)什么时间段内,该人的体温在降低?
点悟:
认真仔细分析图象可知,该人在一天24小时内每隔1小时测量一次体温,他的体温一天内在36.3℃~36.9℃之间变化,而且体温随着时间的变化而变化.看懂图象是解决本题的关键所在.
解:
(1)大约在7时和18时该人的体温最高;最高体温为36.9℃.
(2)大约在2时,该人的体温最低,最低体温是36.3℃.
(3)2时到7时,12时到18时,该人的体温在升高.
(4)在0时到2时,7时到12时,18时到24时,该人的体温在降低.
警示:
首先应该看懂图象,知道图象的横坐标表示时间(h),而纵坐标表示体温(℃).否则,回答问题就一定出错.在观察体温随着时间的变化而变化时,应分清体温是在升高或降低,知道体温与时间存在着一定的对应关系.不然回答问题就很困难或出现不应有的错误.
【同步达纲练习】
一、选择题
1.下面的图表列出了一项试验的统计数据,表示将皮球从高处d落下时,弹跳高度b与下落高度d的关系.
d(cm)
50
80
100
150
b(cm)
25
40
50
75
(1)随着下落高度d的变化,弹跳高度b是怎样变化的?
(2)试问能够正确表示这种关系的式子是( )
A.
B.b=2d
C.
D.d+25
2.家庭用电量(千瓦·时)与气温(℃)有一定关系.图6—2
(1)表示某年12个月中每月的平均气温.图6—2
(2)表示某家庭在12个月中的用电量.根据信息,这个家庭用电量与气温间的关系中,正确的是( )
A.气温最高时,用电量最多
B.气温最低时,用电量最少
C.当气温大于某一值时,用电量随气温增高而增加
D.当气温小于某一值时,用电量随气温降低而增加
二、填空题
1.已知鞋子的“码”数与“厘米”数的对应关系如下:
码
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
厘米
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
25.5
26
26.5
27
设鞋子的“码”数为x,长度为y(厘米),那么写出y与x之间的关系式就是_______.
2.恩格尔系数表示家庭日常饮食开支占家庭经济总收入的比例,它反映了居民家庭的实际生活水平,各类家庭的恩格尔系数如下页表所示:
家庭类型
贫困家庭
温饱家庭
小康家庭
发达国家
家庭
最富裕国
家家庭
恩格尔系数(n)
25%以上
50%~75%
40%~49%
20%~39%
不到20%
用含n的不等式表示小康家庭恩格尔系数的是_________.
3.假定甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的关系如图6—3所示,那么可以知道:
(1)这是一次________赛跑;
(2)甲、乙两人先到达终点的是_________.
(3)乙在这次赛跑中的速度是_________.
4.我国从1989年到2001年国内生产总值(GDP)和人均GDP的数据如下:
时间/年
1989
1997
1998
1999
2000
2001
GDP(亿元)
16909.2
74462.6
78345.2
82067.5
89403.6
95933.3
人均GDP(元/人)
1512
6054
6308
6551
7081
7543
(1)如果用x表示时间,y表示我国国内生产总值(GDP),那么随着x的变化,y的变化趋势是:
__________.
(2)从1989年到2001年,我国国内生产总值从________亿元增长到________亿元,年均增长9.3%,人均由________元提高到_________元,年均增长8.2%.
三、解答题
1.圆的半径改变时,圆的周长也随之改变,这个改变可按公式
来计算.其中
是圆的周长,r是圆的半径,π是常数,一般取π=3.14.
(1)这个变化过程中,自变量、因变量分别是哪些量?
(2)求半径r为1、2、5、10时圆的周长.
2.正方形的体积随着棱长的变化而变化,其变化过程由公式
来计算.其中V是正方体的体积,a是正方体的棱长.
(1)这个变化过程中,自变量和因变量分别是什么?
(2)求棱长分别为1,2,3,4,5时正方体的体积.
(3)正方体的体积是怎样随棱长而变化的?
3.一水果商在集贸市场零售苹果,已知卖出的苹果数x与售价y的关系如下表所示:
数量x(千克)
1
2
3
4
5
售价y(元)
2+0.1
4+0.2
6+0.3
8+0.4
10+0.5
请你写出用x表示y的公式.
4.我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一,图6—4表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况.目前,全国土地荒漠化面积达262万平方千米,占陆地国土
以上,根据图中的相关信息,请填好下列数据:
年份
1950~1970
1970~1990
1990~2000
年平均土地沙化面积(
)
5.反映我国人民生活水平不断提高的数据如下表,请根据表中数据回答有关问题:
时间/年
1978
1990
1997
1998
1999
2000
2001
城镇居民家庭人
均可支配收入(元)
343.4
1510.2
5160.3
5475.1
5854.0
6280.0
6859.6
农村居民家庭人
均纯收入(元)
133.6
686.3
2090.1
2162.0
2210.3
2253.4
2366.4
城镇居民家庭恩
格尔系数(%)
57.6
54.2
48.4
44.5
41.9
39.2
37.9
农村居民家庭恩
格尔系数(%)
67.7
58.8
55.1
53.4
52.6
48.1
47.7
(1)上述的哪些量在发生变化?
自变量和因变量各是什么?
(2)根据表中有关数据说一说1978年和2001年我国农村和城镇居民家庭分别接近哪种家庭类型?
(3)根据表中的数据,说出2001年城镇居民家庭人均可支配收入有多少元?
农村居民家庭人均纯收入有多少元?
从1978年到2001年我国农村居民家庭的恩格尔系数是怎样随时间的推移而变化的.
【综合能力训练】
1.下面的图表列出了一项试验的统计数据,表示将皮球从高处d落下时,弹跳高度b与下落高度d的关系.
d
50
80
100
150
b
25
40
50
75
(1)随着下落高度d的变化,弹跳高度b是怎样变化的?
(2)试问下面的哪个式子能表示这种关系?
(单位:
cm)( )
A.
B.b=2dC.
D.b=d+25E.b=d-25
2.如下图所示,长方形ABCD的四个顶点在互相平行的两条直线上,AD=10cm,当B、C在平行线上运动时,长方形的面积发生了变化.
(1)在这个变化过程中,自变量、因变量各是什么?
(2)如果长方形的长AB为x(cm),三角形的面积y(
)可以表示为________.
(3)当长AB从15cm变到30cm时,长方形的面积从________
变到________
.
3.某下岗职工购进一批苹果,到集贸市场零售,已知卖出的苹果数量x与售价y的关系如下表所示:
数量x(千克)
1
2
3
4
5
售价y(元)
2+0.1
4+0.2
6+0.3
8+0.4
10+0.5
写出用x表示y的公式是________________.
4.假定甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的关系如下图所示,那么可以知道:
(1)这是一次________赛跑;
(2)甲、乙两人中先到达终点的是________;
(3)乙在这次赛跑中的速度是________米/秒.
5.已知鞋子的“码”数与“厘米”数的对应关系如下:
码
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
厘 米
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
25.5
26
26.5
27
设鞋子的“码”数为x,长度为y(厘米),试写出y与x之间的关系式.(注意观察变化规律)
6.据国家统计局统计,改革开放以来,我国城镇居民家庭人均可支配收入如下:
1978年为343.4元;1980年为477.6元;1982年为526.6元;1984年为651.2元;1986年为899.6元;1988年为1181.4元;1990年为1510.2元;1992年为2026.6元;1994年为3496.2元;1996年为4838.9元;1998年为5425.1元;2000年为6280.0元.
(1)用表格表示上面的数据;
(2)改革开放以来,我国城镇居民家庭人均可支配收入是怎样随时间的推移而变化的?
(3)2000年和1978年相比,我国城镇居民家庭人均可支配收入增长了几倍?
(保留一位小数).
7.有一种数值转换机,能将输入的数值x通过“乘2减3”转换为y,再将y通过“乘3减5”转换成z.如果依次输入正整数1,2,3,4,5,6,7,….
(1)填写表格:
x
1
2
3
4
5
6
7
…
y
z
(2)就x,y这两个变量而言,谁是自变量,谁是因变量?
就y,z这两个变量而言呢?
就x,z这两个变量而言呢?
(3)当x=10时,z等于多少?
x=20时,z等于多少?
(4)能否输入某一个正整数x,得到z=76?
z=49?
(5)从表中可以看出,无论输入怎样的正整数x,通过数值转换机转换,最终输出的z均为偶数,这是为什么呢?
你能借助代数式的有关知识加以说明吗?
8.一个梯形,它的下底长比上底长大2厘米,它的高为3厘米,设它的上底长为x厘米,它的面积是
.
(1)写出y与x之间的关系式,并指出哪个变量是自变量,哪个变量是因变量.
(2)当x由5变到7时,y如何变化?
(3)用表格表示当x从3变到10时(每次增加1),y的相应值.
(4)当x每增加1时,y如何变化?
说明你的理由.
(5)这个梯形的面积能等于9
吗?
能等于2
吗?
为什么?
参考答案
【同步达纲练习】
一、1.
(1)随着下落高度d的增大,弹跳高度b逐渐增大;
(2)C.
2.由图表
(1)可知,1月份气温最低,8月份气温最高;由图表
(2)可知,5月份家庭用电量最少,2月份家庭用电量最多.由此可排除A、B;进一步分析,因为2月份气温仅略高于1月份,用电量却是最多的,所以D也可以排除,故本题应选C.事实上,在本题中,当气温大于5月份所对应的气温时,5、6、7、8、9各月份的用电量随气温增高而增高.
二、1.
2.
3.
(1)1
- 配套讲稿:
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