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数学开放题的设计与学生思维发展
数学开放题与学生思维发展
李映红
(西北师范大学数学与信息科学学院甘肃兰州730070)
【摘要】:
开放题的教学有助于提高学生的探索、推理、观察能力,可以充分调动学生的主观能动性,增强参与意识,激活学生的创新思维。
本文分析了开放题的概念,开放题的特征,分类,还有教育作用;在此基础上重点分析了在初中数学教学中如何应用开放题,以及如何设计数学开放题的一些个人看法;最后,谈了如何利用数学开放题培养学生的各种能力。
数学开放题可以培养学生不断进取的精神,强化学生的创新意识,是提高学生创新能力的有效工具。
【关键词】:
数学;数学开放题;学生思维发展
时代呼唤教育工作者要转变教育观念,改革人才培养模式,激发学生独立思考和创新的意识。
数学开放题是70年代在国际上引起人们重视的一种新题型,80年代我国开始有些杂志介绍国外一些研究开放题研究的文章,此后,我国有一批学者开始研究数学开放题,逐步成为数学改革及研究的热点,关于开放题的研究被列为国家教育科学“九五”规划重点课题,课题的负责人是浙江教育学院戴再平教授,目前,课题已有不少研究成果今年五月已由上海教育出版社出版了一套“中小学数学开放题丛书”。
下面结合有关资料和个人的学习,谈谈有关开放题教学方面的一些认识。
开放性问题的教学为学生提供了广阔的交流空间,对教师也提出了更高的要求。
开放题作为一种具有特殊形式的数学问题,与一般的数学问题一样,也具有知识教育价值。
开放题最突出的、人们谈论最多的是:
它有利于培养学生发散思维和创造能力。
这也是开放题教育价值最核心的内容和最主要的体现。
目前人们普遍认为素质教育的核心是培养创新精神和创造能力,而开放题教学是推进数学素质教育的一个切入点和突破口,这从一个侧面反映了开放题在培养创造能力方面所具有的巨大教育价值。
一数学开放题的概念
关于开放题的概念,现在国内还没有统一的认识,主要有下列几种描述:
1凡是具有完备的条件和固定答案的习题称为封闭题,而答案不固定或者条件不完备的习题成为开放题。
2具有多种不同的解法或有多种可能的解答的问题称为开放题。
3数学习题是由条件y、结论z、解法p及解题依据o四个元素组成,即R={y,o,p,z},四个元素齐备的题,为“封闭题”;缺少o或p的题为“半封闭题”,有三个元素是未知的题称为问题性题,有二个是未知的习题称为探索性题,问题性题或探索性题统称为开放性题.
4开放题是条件多余需选择,条件不足需补充或答案不固定的问题称为开放题。
5答案不唯一的问题称为开放题。
二数学开放题的特征
根据戴再平的研究,数学开放题一般具有以下特征:
1所提的问题常常是不确定和一般性的,其背景情况也是用一般词语来描述的,主体必须收集其他必要的信息,才能着手解题。
2没有现成的解题模式,有些答案可能易于直觉地被发现,但是在求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索。
3有些问题的答案是不确定的,存在着多样的解答,但重要的还不是答案本身的多样性,而在于寻求解答过程中主体的认知结构的重建。
4常常通过实际问题提出,主体必须用数学语言将其数学化,也就是建立数学模型。
5在求解过程中往往可以引出新的问题,或将问题加以推广,找出更一般,更有概括性的结论。
6能激起多数学生的好奇心,全体学生都可以参与解答过程,而不管他是属于何种程度和水平。
7教师难以用注入式进行教学,学生能自然地主动参与,教师在解题过程中的地位是示范者、启发者、鼓励者和指导者。
三数学开放题的分类
对数学开放题的分类,从构成数学题系统的四要素(条件、依据、方法、结论)出发,定性地可分成四类;如果寻求的答案是数学题的条件,则称为条件开放题;如果寻求的答案是依据或方法,则称为策略开放题;如果寻求的答案是结论,则称为结论开放题;如果数学题的条件、解题策略或结论都要求解题者在给定的情景中自行设定与寻找,则称为综合开放题。
1.条件开放题,即未知的要素是条件。
例如,在北师大版七年级(下)的概率教学中有这样一个问题:
(P108试一试)用10个球设计一种摸球游戏,使摸到红球的概率为?
我们在不增加太大难度的情况下把它改为:
例1、设计一种摸球的游戏,使摸到红球的概率为20%,可以怎样放球?
这就是一个非常开放的问题,学生都可以根据自己原有的认知水平,得到不同的方案。
①在袋中放入1个红球和4个白球。
②在袋子中放入球的数量只要满足红球与白球的数量比为1:
4就可以了,比如红球与白球的个数可以分别是5和20或6和24等等。
③只要满足红球与非红球的数量之比为1:
4就可以了,比如1个红球,2个黑球,1个黄球,1个白球;或2个红球,2个黄球,6个黑球等等。
这样的问题设计有助于培养学生的创新意识,发展创新能力。
2.结论开放,即未知的要素是判断。
例如,老师给出一个条件,两条直线平行,甲、乙、丙同学各指出这个条件的一个特征:
甲:
被第三条直线所截,同位角相等;
乙:
被第三条直线所截,内错角相等;
丙:
被第三条直线所截,同旁内角互补。
3.策略开放,即未知的要素是推理。
有一块长4米,宽3米的园地,现要在园地上辟一个花圃,使花圃的面积是园地的一半,问如何设计?
给出你设计的图案并作出有关的计算.
试用几种不同的方案将三角形ABC分成面积相等的五个部分,并指出面积相等的是哪五个部分(保留分割痕迹和必要的标注,不写做法)
四、开放题的教育作用:
1 发散性 学生必须打破原有的思维模式,展开联想和想象的翅膀,从多角度、多方位、多层次进行探讨,其思维方向和模式的发散性有利于创造性能力的形成。
2探索性 因为开放题易使学生形成原有认知结构和新认知结构的冲突,学生必须通过顺应来主动建构新的认知结构,因而有利于培养他们的探索意识和创新精神。
3趣味性 开放题独特的叙述方式、宽松的解题环境和极富挑战性的解题策略,为学生在迫切要求下进行数学学习创造了条件,有利于激发学生的好奇心和好胜心,增强了学习的内驱力,对数学探索产生浓厚兴趣。
4多样性 在开放题教学中,既要有学生独立思考的个体活动,还需有师生之间、学生之间的合作、讨论、交流的群体活动。
开放题答案的多样性,使得其最终的解决只靠个人的力量在有限的时间内难以完成,需要依靠集体的智慧和群体的力量。
5 主体性 开放题教学是以学生为中心,有利于保障学生的主体地位,使学生真正成为学习的主人。
6竞争性 开放题解答的多样性和差异性,使其有了优与劣、多与少、简与繁的区别。
也正是这种差异的存在,激发了学生的好胜心,使竞争意识悄然地渗入学生的头脑,把竞争机制引入开放题的课堂教学。
7创造性 在开放题的解答过程中,没有固定的、现成的模式可循,靠死记硬背、机械模仿找不到问题的解答,学生必须充分调动自己的知识储备,积极开展智力活动,用多种思维方法(如联想、猜测、直觉、类比,等等)进行思考和探索,因而开放题是提高学生创造能力的有效工具,是培养创造人才的摇篮。
五、开放题教学
《数学全日制义务教育数学课程标准》(实验稿)指出:
“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”,学生要有充分的从事数学活动的时间和空间,在自主探索、合作交流的氛围中学习知识。
由于学生的思维活动是开放的,数学思考的过程应是多样的,因此,数学教学必须以学生的发展为本,发扬教学民主,尊重学生的思维,使我们的教学走向开放。
而数学开放题以其新颖的问题内容、生动的问题形式和问题解决的发散性,给学生发挥创造性思维提供了广阔的空间,为培养学生的创造能力提供了良好的载体。
课堂教学引入开放性问题能使数学教学充满活力:
(1)能激发学生的好奇心和求知欲。
(2)有助于学生形成积极探索的态度和思考问题的策略。
(3)能营造一种学生广泛参与、提出质疑、探讨问题的学习氛围。
(4)能鼓励学生开展相互讨论,学会数学交流。
(5)这种教学方式既能面向全体学生,又能有效地提高学生的思维品质和创造性意识。
(6)教师难以用注入式进行教学,在解题过程中教师的角色是鼓励者、合作者和指导者。
为了更好地将开放性问题引入课堂,学校必须确立了相关教研课题,举行专题讲座以及开展有关问题的研讨,并在平时教学中设计、编写一些开放性的问题,促进教师在教学中渗透开放性问题。
开放题作为一种教学思想反映在以下几个方面:
1.数学开放题强调了数学知识的整体性。
封闭式的例题——习题式的数学教学仅停留在分类介绍技巧和方法的水平,指向知识、技能、原理和它们的适用性,往往会导致学生对某个结论或方法的记忆;重视的是学生计算、演绎等严格推理的能力,忽视的是培养学生的数学实践,寻找相似性等非形式推理的能力。
我市某年中考试题中用相似扇形来考查学生对相似形的最基础的有关知识,而不是通常的用相似三角形,许多学生就不知所云,即证明了这一点。
而数学题开放作为一种教学思想把数学教学作为一个互相联系的有机整体,使学生在数学上得到全面的培养。
2.数学开放题强调了数学教学的思维性。
封闭的数学题教学面向事实性的知识和程序性的技能而不是强调高层次的技能,而数学开放题作为一个教学思想强调反映学生高层次的能力和开放性、创造性的思维。
学生在解答开放题的过程中,以已有认知结构为基础,对问题作出富有个人意义的解释和理解,经历一个从现实条件到用数学语言表述的数学化过程,不断检索或修正、提出解题设想并尝试解决问题。
开放性数学题有利于培养学生关键性思考,应用知识和解决问题,让学生进行数学地思维,更好地培养学生的创新思维能力。
3.数学开放题强调解决问题的过程。
数学开放题教学与封闭的数学题教学的另一不同点是侧重学生解决问题的思路和策略而不是问题的答案,侧重学生获得解答的过程。
因为在数学教学中,不仅要注意其产物,而且要注意其过程,注意对学生解决问题的思路的分析。
4.数学开放题强调了学生在教学活动中的主体作用。
在数学学习中,学生会表现出各种不同的特点,对同一数学问题的理解会有不同侧面深刻程度上的差异,具有强烈的个性特质。
数学开放题把数学教学建立在以学生的学习基础之上,更能反映出学生的主动性和创造性,反映出学生的主体作用,有利于改变以教师为中心的教学方法。
5.数学开放题有利于提高学生学习的积极性,提高学习的内在动力。
数学开放题提供学生以一种数学活动,在活动中展示和提高自己的数学才能,在活动中交流体会,增强主体意识,在解决问题的过程中感受到数学的美感和解决问题的有趣,全体学生都会有收获,特别有利于调动数学成绩较差学生的学习兴趣,让每个学生都有进步。
在平时的教学中应渗透开放题,要循序渐进,要根据学生的身心特点,符合学生的认知规律,由封闭一步一步走向开放,在引入开放题的基础上逐渐进行开放式的教学。
选材要合适,难度要适当;可改造课本上的题为开放题(包括定理发现探索和例习题改编),也可适当引入一些有一定研究性的实际问题让学生研究,可激发学生的积极性,对于一些好的例子的教学,不但可以提高基础差的学生的学习数学的兴趣,也可以激励优生向更高层探索。
如在平行四边形的定义讲完后或者在讲完平行四边形后复习(根据学生基础而定)时要学生研究平行四边形ABCD具有以下性质:
(1)AB//CD
(2)BC//AD
(3)AB=CD(4)BC=AD
(5)∠A=∠C(6)∠B=∠D若满足上述两个条件,能否保证ABCD为平行四边形?
以上一共应有15个命题,其中不能保证ABCD为平行四边形的有:
一组对边平行,另一组对边相等;(如梯形)及一组对边相等,一组对角相等;(反例的构造略)
开放题和常规题互为补充,缺一不可,提倡让开放题进入课堂,并不是要取代常规题,在教学中仍以常规题练习为主体训练的前提下,必须引进开放题,以弥补封闭性练习题的不足。
开放题教学应循序渐进,适当穿插,不要仅靠搞几个专题来完成,应渗透在平时的教学中。
引导学生用分析的眼光看待问题,大胆置疑,提出自己对问题的看法。
在解答过程中强调思维的多解和求异,赞同奇思异想,标新应异。
允许学生出差错,打开他们的思维空间。
勇于向旧传统和习惯挑战,乐意主动否定自己,打破“自我”框框。
开放题解答的完备性是指解题者能否给出全部的不同答案或答案类型,一般可分成以下几种层次:
层次①:
解题者随意的举出一些答案,没有对答案进行哪怕是很不完备的分类。
这一层次不具备完备性,解题者并没有在完备性上做出任何努力和成绩。
其给出的答案多少只是一个量的问题,没有质的提高。
在这种层次上解答,答案个数达到一定的数量后,再增加就没有什么意义了,据此加分就显得不太合理。
因此在评分标准中一般可限定一个上限,在多少答案以内每个答案给若干分,超出这个上限后不再从答案数量角度给予加分。
层次②:
解题者能够注意到对答案进行分类,但分类并不完备,他能举出各出不同类型的答案,但不清楚是否还有其他类型的答案;这一层次具备一定完备性,解题者在完备性上做出了一定的努力和获得了一定的成绩。
层次③:
解题者能够对答案进行了完备的分类,对答案有限可枚举的问题给出了全部的答案(或者给出了一个的“通解”、也可以是一种求出所有答案的“算法”),并有效地证明了所给的是问题的全部答案;对答案结构为其他类型的问题,能证明除给出的答案类型以外,不存在其他的答案类型。
这一层次是对问题的最完备的解答。
要特别说明的是,对于给出问题的全部答案类型,但并未证明这是问题的全部答案类型的情况,不能认为解题者已经达到第③层次。
因为解题者并不清楚除此这外有没有其他答案类型,这与遗漏了一些答案类型的解题者相比,只有量的区别而没有质的区别。
解案的多样性不仅体现在解题者所给出答案的数量上,更重要的是解题者所给出答案类型的多样性。
给出的答案类型越丰富,其解答水平就越高。
开放题解答的深刻性是指解题者能否揭示不同答案之间的一些规律性的东西。
例如:
怎样的两个数,它们的和等于它们的积?
(选自《初中数学开放题集》)
解答①:
(2,2)、(
,5)、(
,3)、(
,
)、(
,
);
解答②:
(2,2)、(0,0)、(
,
)、(3-
,3+
)。
在上例的解答中,从深刻性角度可以有以下几种层次:
层次①:
像上述两种解答那样直接给出本题的一些解答。
这一层次不具备深刻性。
层次②:
给出本题的一个通解(
,
),这当然具有一定的深刻性。
层次③:
运用不同的解题方法给出本题的三种形式的通解:
运用“归纳,猜想,证明”的方得到通解(
,
);
运用“主元思想”:
设这两个数分别( a,x),由条件知a+x=ax,解这个方程得通解( a,1 +
);运用“韦达定理”知,所求两数为一元二次方程x2-tx+t=0的两个根,据求根公式得通解:
(
,
);
能运用多种方法等到不同形式的通解,其深刻性显然优于层次②。
层次④:
在层次③的基础上说明三种通解的一致性,并从解答的优美性考虑把三者统一表述为(1 + x,1 +
):
当x =
时,这就是第一个通解;当x = a -1时,这就变成了第二个通解;当x=
时,这就是第三个通解。
例:
(2002年陕西省中考试题)王老师在课堂上出了一个二元方程x+y=xy,让同学们找出它的解,甲写出的解是
,乙写出的解是
,你找出的与甲、乙不相同的一组解是______________.
本题是根据上例改编的一道试题.该题的命题者提供的参考答案是:
如:
或
…
(m≠0,1,2)
显然评分标准并没有考虑解答的不同水平层次.
六开放题的设计艺术
一道数学题的开放性(开放度)在很大程度上取决于这道题采用何种设问方式。
即使是一道传统的封闭性数学题,也可以通过改变其设问方式而将其改编为具有开放性的习题。
要求学生进行多方面、多角度、多层次探索是一种“开放性的解题要求”,通常使用“试尽可能多地……”一类的词语来提出,它对学生具有“鼓励参与,激励优化,追求卓越”的作用。
1.弱化成题的条件,使其结论多样化。
如求经过三点的抛物线解析式的题,可改为给出两点或一点,写出一个或几个解析式;
又如:
八年级数学下册155页例5可以将三角形改为两三角形ACP、ABC何时相似。
2.隐去成题的结论,使其指向多样化。
如相交弦定理的教学,可以先不给出结论,让学生观察圆内的两条相交弦,作适当的辅助线,探索一些结论(如角相等、三角形相似等),教师顺着学生思维或由学生自己探索,由此得出相交弦定理;再进一步展开:
若两条弦的交点在圆外及有一条弦变为切线的情况有如何?
可由学生研究。
3.在既定的条件或关系下,探讨多种结论。
(1).有一块长4米,宽3米的园地,现要在园地上辟一个花圃,使花圃的面积是园地的一半,问如何设计?
给出你设计的图案并作出有关的计算.
(2).试用几种不同的方案将三角形ABC分成面积相等的五个部分,并指出面积相等的是哪五个部分(保留分割痕迹和必要的标注,不写做法)
有的问题只给出情景,其条件、解题策略与结论都要主体自行设定与寻找,这类题称为综合开放题。
4.给出结论,寻求使结论成立的充分条件.
已知梯形ABCD中,AB//CD,若添加一个条件如“BC=AD”,则可判定ABCD为等腰梯形,请问除“BC=AD”外,还可以添加一个什么条件,使梯形ABCD为等腰梯形?
(至少写出两种)
5.比较某些对象的异同点
试比较下列两个单项式的异同:
2a³bc3a²b²d
相同点:
(1)都是单项式
(2)都有三个字母(3)系数都是正整数(4)都含有字母a,(5)最高公因式为a²b(6)都是5次多项式;
不同点:
(1)所含字母不同
(2)系数不同(3)不是同类项(4)尽管都含有a,但字母a的次数不同。
6.设计解决某些实际问题方案或在实际问题中寻求多种解法与结论.
七数学开放题对学生思维的开发
从结构形式上看,开放题具有组成要素的非完备性和解题答案的不确定性;从解答过程和解题策略看,开放题具有发散性、探究性、层次性、发展性、创新性等特性。
开放题的特性决定了开放题教学的开放性,因而在这种教学环境中,学生是以知识的主动发现者、探索者和研究者的身份出现,学生不再是“装”数学,而是“搞”数学,这就可以使他们在一定程度上去体验数学家进行数学研究的活动过程,深切领会数学的实质,有利于形成正确的数学观念和数学意识,掌握数学的灵魂——思想方法,为今后的学习以及成人后用数学的思想方法、思维方式来解决问题做准备。
(一).运用类比和联想,培养丰富独特的想象力
类比是创造性的"模仿",联想是"由此思彼"的思维跳跃,在开放性问题的教学中,引导学生将所求的问题与熟知的信息相类比,进行多方位的联想,将式子结构,运算法则,解答方法,问题的结论等引申,推广或迁移,可由已知探索未知,由旧知发现新知,这既有利于培养学生的创新思维能力,又有利于提高学生举一反三,触类旁通的灵活性.
(二).鼓励别出心裁和标新立异,培养积极的求异意识
别出心裁和标新立异是创新思维的灵魂,是科学发明创造的源泉.在开放性问题的教学中,针对开放性问题的显著特点——答案,方法不唯一,热情鼓励学生大胆创新,敢于求异,积极发表自己的独特见解,可磨练学生独辟蹊径的解题技巧,培养思维的广阔性和发散性.
(三).激励寻根究底,培养强烈的探索发现欲
美国心理学家布鲁纳认为,"探索是数学的生命线".德国教育家第斯多惠也曾说过"一个好的教师应该教人去发现真理".作为开放型问题的数学<>教师,应调动学生的好奇心,激励他们寻根究底,去解决别人未解决的问题,探索别人未涉及的奥秘,发现别人未发现的东西,从而培养学生勇于探索的精神和善于发现的创造品质.从某种意义上说,开放题教学要求教师具有一种新品质.
(四).善于提出挑战性问题,拓展开放性的思维空间。
只会做别人给出的题目,不等于创新,因为那只不过是把别人已经做过的题目重做一遍而已.翻开科学发展史,具有创新精神的人无不具有强烈的问题意识,他们常带着怀疑的目光观察世界,敢于提出问题,从而为科学的发展奠定了基础.从某种意义上说,提出问题比解决问题更重要.在开放性问题的教学中,教师不但要善于提出具有挑战性的问题,增加思考的密度,激发学生的求知欲望,而且也要鼓励学生勤于提出问题,以拓展学生的开放性思维空间,充分发挥学生的主动性和创造性.
传统的封闭题答案是唯一的,学生往往找到一个答案就不再也不必要进一步思考了。
而在开放题的解答过程中,没有固定的、现成的模式可循,靠死记硬背、机械模仿找不到问题的解答,学生必须充分调动自己的知识储备,积极开展智力活动,用多种思维方法进行思考和探索,因而开放题可以培养学生不断进取的精神,强化学生的创新意识,是提高学生创新能力的有效工具。
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5.钱从新,有关开放题的几点探讨[J],数学通报,1999(11)
6.王珍,论数学教学中的问题设计[J],中学教研2005(4)
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