高考数学总复习 多变量表达式范围放缩消元法.docx
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高考数学总复习多变量表达式范围放缩消元法
多变量表达式的范围——放缩消元法
一、基础知识:
在有些多变量表达式的题目中,所提供的条件为不等关系,则也可根据不等关系进行消元,从而将多变量表达式转化为一元表达式,便于求得最值
1、放缩法求最值的理论基础:
不等式的传递性:
若
,则
2、常见的放缩消元手段:
(1)抓住题目中的不等关系,若含有两个变量间的不等关系,则可利用这个关系进行放缩消元
(2)配方法:
通过利用“完全平方式非负”的特性,在式子中构造出完全平方式,然后令其等于0,达到消元的效果
(3)均值不等式:
构造能使用均值不等式的条件,利用均值不等式达到消元的效果
(4)主元法:
将多元表达式视为某个变量(即主元)的函数,剩下的变量视为常数,然后利用常规方法求得最值从而消去主元,达到消元的效果。
3、放缩消元过程中要注意的地方:
(1)在放缩过程中应注意所求最值与不等号方向的对应关系,例如:
若求最小值,则对应的不等号为“
”;若求最大值,则对应的不等号为“
”。
放缩的方向应与不等号的方向一致
(2)对进行放缩消元后的式子,要明确是求其最大值还是最小值。
放缩法求最值的基础是不等式的传递性,所以在求最值时要满足其不等号的方向一致。
若将关于
的表达式
进行放缩消去
,得到
,例如
,则下一步需要求出
的最小值(记为
),即
,通过不等式的传递性即可得到
。
同理,若放缩后得到:
,则需要求出
的最大值(记为
),即
,然后通过不等式的传递性得到
(3)在放缩的过程中,要注意每次放缩时等号成立的条件能够同时成立,从而保证在不等式中等号能够一直传递下去
二、典型例题:
例1:
设集合
中的最大元素与最小元素分别为
,则
的值为____________
思路:
考虑分别求出
的最大值与最小值,先求
的最大值,只需
取最小,
取最大:
即
,再求
的最小值,由
可知利用
进行放缩,从而消去
,可得:
,再利用均值不等式可得:
,所以
的最小值
,从而
答案:
例2:
已知
是任意三点,
,则
的最小值是_______
思路:
因为
,所以结合不等号的方向可将
消去,从而转化为关于
的表达式:
,然后可从
出发,构造出与第一项互为倒数的性质以便于利用均值不等式解出最值:
,从而有:
,所以
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