六年级上册第一单元 圆一熊晶晶.docx
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六年级上册第一单元圆一熊晶晶
第一单元圆
(一)
【知识概要】
一、圆的认识:
圆是由一条曲线围成的封闭图形。
二、圆的构成:
1、圆心:
用圆规画出圆以后,针尖固定的一点就是圆心。
通常用字母O表示,圆心决定圆的位置。
2、半径:
连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。
一般用字母r表示。
把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径,半径确定圆的大小。
3、直径:
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
一般用字母d表示。
直径是一个圆内最长的线段。
三、圆的特征:
1、在同圆或等圆内,有无数条半径,有无数条直径。
同圆中所有的半径都相等,所有的直径都相等。
要比较两圆的大小,就是比较两圆的直径或半径。
2、在同圆或等圆内,直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的1/2。
用字母表示为:
d=2r或r=
或r=d÷2
3、如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。
圆是轴对称图形且有无数条对称轴。
四、圆的周长:
1、围成圆的曲线的长叫做圆的周长。
2、周长与圆的直径有关,圆的直径越长,圆的周长就越大。
3、圆周率及圆的周长公式
(1)圆周率:
任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数,我们把它叫做圆周率。
用字母π(pai)表示,π是一个无限不循环小数,在计算时,一般取π≈3.14。
(2)圆的周长公式:
—→
或
—→
4、区分周长的一半和半圆的周长:
(1)周长的一半:
等于圆的周长÷2计算方法:
即
。
(2)半圆的周长:
等于圆的周长的一半加直径。
计算方法:
即
。
5、正方形里最大的圆。
两者联系:
边长=直径;圆的面积=78.5%正方形的面积
画法:
(1)画出正方形的两条对角线;
(2)以对角线交点为圆心,以边长为直径画圆。
6、长方形里最大的圆。
两者联系:
宽=直径
画法:
(1)画出长方形的两条对角线;
(2)以对角线交点为圆心,以宽为直径画圆。
7、常用的3.14的倍数:
3.14×2=6.283.14×3=9.423.14×4=12.563.14×5=15.7
3.14×6=18.843.14×7=21.983.14×8=25.123.14×9=28.26
3.14×12=37.683.14×14=43.963.14×16=50.243.14×18=56.52
3.14×24=75.363.14×25=78.53.14×36=113.043.14×49=153.86
3.14×64=200.963.14×81=254.34
五、圆的面积:
1、把圆拼成近似的长方形,只是形状改变了,图形的面积大小并没有发生变化,因此圆的面积=拼成的近似长方形的面积
2、圆的面积推导:
圆可以切拼成近似的长方形,长方形的面积与圆的面积相等(即
);
长方形的宽是圆的半径(即
);
长方形的长是圆周长的一半(即
)。
即:
所以,
注意:
切拼后的长方形的周长比圆的周长多了两条半径。
六、圆环及面积的计算
1、圆环的意义:
以同一点为圆心,半径不相等的两个圆组成的图形,两圆之间的部分就是圆环。
2、圆环中半径较大的圆叫做外圆,半径较小的圆叫做内圆。
外圆半径与内圆半径的差叫做环宽,两圆中间的部分大大小叫做圆环的面积。
3、外圆的半径=内圆半径+1个环宽;外圆的直径=内圆直径+2个环宽
4、
求圆环的面积一般是用外圆的面积减去内圆的面积,
还可以利用乘法分配律进行简便计算。
5、几个直径和为n的圆的周长=直径为n的圆的周长(如图)
几个直径和为n的圆的面积<直径为n的圆的面积
6、常用的平方数:
112=121122=144132=169
142=196152=225162=256
172=289182=324192=361202=400
7、周长相等的平面图形中,圆的面积最大;
面积相等的平面图形中,圆的周长最短。
七、扇形及面积的计算
1、扇形的意义:
一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形。
它是有圆周的一部分与它所对应的圆心角围成。
2、扇形的弧长公式:
扇形的周长公式:
扇形的面积公式:
(
为扇形圆心角的度数)
八、圆的应用
1、方中圆和圆中方;
2、求阴影部分面积的常用方法:
(1)直接法。
根据已知条件,从整体出发,运用图形面积计算公式,直接求出阴影部分的面积。
(2)观察法。
有些图形是由最基本、最简单的几个图形叠加组合而成,不需割补、剪拼,直接通过观察,就能获得解题的方法。
这种方法叫做观察法。
(3)割补法。
有些阴影部分比较零散,且又不规则,通过图形的巧妙割补,把要计算的分散的面积集中在一起,将不规则的图形割补拼成规则的图形。
这种方法叫割补法。
(4)重组法。
根据具体情况和计算的需要,把原来图形拆拼、重组成一个新的图形,然后再通过观察分析思考,很快求出阴影部分的面积。
(5)平移法。
某些图形,纵横交错,相互重叠,很难直接求出它的面积,但我们可通过平移、重新整合,使其变得简单明了。
(6)扩倍法。
某些图形直接求解感觉到非常困难,但若将其扩大一定的倍数,就可顺利获解
(7)旋转法。
有些图形如果直接求其面积,可能无法找到解题思路和解题办法,但只要我们应用变化运动的观点,将静止的图形运动起来,通过旋转图形或某一部分,就能很快找到解题的突破口
(8)等积变形法。
有些图形,表面上看,题中的条件十分隐蔽,但我们可利用等积变形,将图形巧妙进行转化,从而求解。
(9)对称法。
根据对称原理,利用轴对称图形的有关知识巧妙将图形对折,从而求解。
【经典例析】
『例题1』圆是由一条()围成的封闭图形。
圆的中心叫作(),用字母()表示;()决定圆的位置。
连接圆心和圆上任意一点的线段叫作(),一般用字母()表示;通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作(),一般用字母()表示。
【即讲即练】
1、圆的半径和直径都是一条()
A.射线B.线段C.直线
2、圆有()圆心,两端都在圆上的的线段有()条,其中()最长。
3、()决定圆的大小。
4、同圆或等圆中,圆的半径是直径的()。
5、如图,最小圆的半径是最大圆的半径的()
A.
B.
C.
D.
『例题2』分别将下面的图形沿一条直线滚动,在滚动过程中,图形中心留下的痕迹在一条直线上的是()
A.等边三角形B.圆C.正方形D.正六边形
【即讲即练】
1、同一个圆内,所有的()都相等,所有的()都相等。
2、在一个长为21分米,宽为6分米的长方形纸板上,想剪出半径为1.5分米的圆,最多可以剪()个。
3、在一个长为10厘米,宽为8厘米的长方形纸板上画一个最大的圆,那么这个圆的直径为()厘米;如果画一个最大的半圆,这个半圆的半径为()厘米。
4、用圆规在边长为4厘米的正方形中画一个最大的圆,圆规两脚间的距离为()厘米,圆心是正方形()。
『例题3』.如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够(),这个图形就是轴对称图形,折痕所在的直线叫作()。
写出你熟悉的三种轴对称图形:
()、()、()。
【即讲即练】
1、圆是()图形,它的对称轴是();圆有()条对称轴。
2、半圆有()条对称轴;正方形有()条对称轴;长方形有()条对称轴;等腰三角形有()条对称轴;等边三角形有()条对称轴。
3、两个大小不等的同心圆有()条对称轴。
4、圆的对称轴是一条()
A.线段B.直线C.射线
『例题4』.(易错题)判断:
直径是圆的对称轴。
()
【即讲即练】
1、判断:
圆所有的直径都相等,所有的半径也都相等。
()
2、判断:
直径一定比半径长。
()
3、判断:
两端都在圆上的线段叫直径。
()
4、判断:
通过圆心的线段都是直径。
()
5、判断:
直径是由两条半径组成,两条半径就组成一条直径。
()
『例题5』.画出下面各图形的对称轴,有几条画几条。
【即讲即练】
1、操作题:
如下图,A、B两点位置如下,请你画一个圆过A、B两点(即A、B两点都在圆上的),你能有几种画法?
你发现了什么?
2、操作题:
如图所示,要满足图中有相应多条的对称轴,图中的小圆应该保留哪几个,请在下面各图中用“√”画出来,并画出整个图的所有对称轴。
1条2条3条无数条
『例题6』如图所示,小猫和小狗都要从A点到B点,小猫沿着大圆弧走,小狗沿着小、中圆弧走,已知小猫和小狗的速度相同,求谁先到达B点。
【即讲即练】
1、如图所示,线段AB长25厘米,求图中组合图形的周长。
2、如图所示,已知AB=10厘米,求各圆的周长总和是多少厘米?
3、AD是大圆的直径(如图所示),长为6厘米,B和C是直径的三等分点。
求图中阴影部分的周长?
『例题7』一根铁丝恰好可以围成一个边长为4.71米的正方形,如果用这根铁丝改围成一个圆,这个圆的半径是多少米?
【即讲即练】
1、一根铁丝正好折成一个等边三角形,它的边长为31.4厘米,如果把同样长的铁丝围成一个圆,这个圆的直径长多少厘米?
2、一个铁环直径是60厘米,从操场东端滚到西端转了90圈,另一个铁环的直径是40厘米,它从东端滚到西端要转多少圈?
3、小明用一根铁丝围成一个长方形,长是宽的3倍,长与宽的差是15.7厘米。
如果将这根线改围成一个圆形,这个圆形的半径是多少?
『例题8』
一块草地的形状如下图的阴影部分,它的周长是多少?
【即讲即练】
1、求下面图形的周长。
(单位:
cm)
2、求下图面图形的周长。
(单位:
cm)
3、在下图中,阴影部分的面积的周长是多少厘米?
(
取3.14)
『例题9』
把两个半径为10cm的圆筒捆扎在一起,如果接头部分用了10cm,如图所示,至少一共需要多少厘米绳子?
【即讲即练】
1、农场上有两根圆木,横截面的半径都是2分米,如果把它们用铁丝捆在一起,两端各捆一圈。
那么,应该准备多长的铁丝(接头处共需5分米)。
2、笑笑帮爸爸到商店买了4瓶饮料,售货员将4个瓶子扎在一起(如图),如果捆了3圈,至少要用多长的包装带?
(不算打结部分)
3、如图所示,把半径是1分米的三个圆筒捆在一起,如果接头处不算,要多少分米长的铁丝才能绕他们一圈?
『例题10』圆形水池四周种了40棵树,每两棵树之间的距离是1.57米,这个水池的半径是多少米?
【即讲即练】
1、有一个圆形花坛,在它的周围放花盆,每相邻两个花盆之间的距离是4分米,一共摆放1256盆。
这个花坛的直径是多少米?
2、在一个直径为30米的圆形池塘周围栽树,沿着它的边线大约每隔3.14米栽一棵,一共可栽多少棵?
3、从小军家到学校要走1800米的路,小军的自行车外轮胎直径约50厘米,他骑车上学,如果车轮每分钟转200转,他从家骑车到学校需多少分钟?
(
取3)
★课堂总结★
我学会了:
【课后验收】
(说明:
这部分是对本讲知识的课后作业或者单元卷的测试)
一、填空题
1、圆的周长总是直径长度的()倍多一些。
这个倍数是个固定的数,我们把它叫做(),用字母()表示。
一个圆的周长总是它半径的()倍。
2、要画一个半径为4厘米的圆,圆规的两脚应叉开()厘米;要画一个周长是50.24厘米的圆,圆规的两脚应叉开()厘米,所画的圆的面积是()平方厘米。
3、一根铁丝正好围成一个直径2米的圆,这根铁丝长()米;如果改围成一个正方形,正方形的边长是()米,面积是()平方米。
4、鼓楼中心岛是半径10米的圆,它的占地面积是()平方米。
5、用铁丝在一个半径25厘米的圆柱形水桶外面加一圈箍,接头处多用5厘米,共需要()厘米长的铁丝。
6、将一个圆平均分成1000个完全相同的小扇形,割拼成近似的长方形的周长比原来圆周长长10厘米,这个长方形的面积是()平方厘米。
7、在一个面积是16平方厘米的正方形内画一个最大的圆,这个圆的面积是()平方厘米;再在这个圆内画一个最大的正方形,正方形的面积是()平方厘米。
8、在一个直径为20厘米的圆内剪一个最大的正方形,正方形的面积占圆面积的()%。
9、在一张长40厘米宽30厘米的长方形纸上剪一个最大的圆,圆的半径()厘米,周长()厘米,面积()平方厘米。
剪去的边角料的面积是()平方分米。
10、小华量得一根树干的周长是75.36厘米,这根树干的横截面大约是()平方厘米
二、判断题
1、通过圆心的线段,叫做圆的直径。
()
2、两端都在圆上的线段中,直径最长。
()
3、两个半圆一拼就成一个整圆。
()
4、半径是直径的一半。
()
5、圆的对称轴就是它的直径。
()
6、平面内,通过圆心的直线一定是圆的对称轴。
()
7、周长是所在圆直径的3.14倍。
()
8、任何圆的圆周率都是π。
()
9、半径是2厘米的圆,它的周长和面积相等。
()
10、两个圆的面积相等,则两个圆的半径一定相等。
()
三、选择题
1、圆周率π的值()。
A、等于3.14B、大于3.14C、小于3.14
2、圆的大小与下面哪个条件无关。
()
A、半径B、直径C、周长D、圆心的位置
3、一个圆的半径2米,那么它的周长和面积相比,()。
A、面积大B、周长大C、同样大D、无法比较
4、周长相等的两个圆的面积()。
A、相等B、不相等C、无法比较
5、周长相等的长方形、正方形和圆,()面积最大。
A、长方形B、正方形C、圆D、无法确定
6、面积相等的长方形、正方形和圆,()周长最小。
A、长方形B、正方形C、圆D、无法确定
7、画圆时,()决定圆的位置,()决定圆的大小。
A、圆规B、半径C、圆心D、无法确定
8、小圆半径4厘米,大圆半径6厘米,大、小圆直径的比是();大、小圆周长的比是();大、小圆面积的比是()。
A、2:
3B、3:
2C、4:
9D、9:
4
9、把一个直径10厘米圆分成两个相等的半圆,两个半圆的周长的和是()
A、31.4B、62.8C、41.4D、51.4
10、一根铁丝正好围成一个直径8分米的圆,如果围成正方形,它的边长是()
A、25.12分米B、12.56分米C、6.28分米D、3.14分米
四、解答题
1、一个半圆的周长是20.56分米,这个半圆的面积是多少平方分米?
2、在长10厘米,宽8厘米的长方形纸上剪一个最大的半圆,这个半圆的面积是多少?
周长是多少?
3、
(1)李大爷靠墙围了一个半径是10米的半圆形养鸡场,用了多长的篱笆?
这个养鸡场有多大?
如果不靠墙围,那么需要多长的篱笆?
(2)如果李叔叔买来62.8米长的栅栏,准备在房后的一块空地上围一个鸡舍。
请问:
围成什么样子,鸡舍的面积最大?
最大面积是多少平方米?
4、一辆自行车车轮外直径为0.6米,小华骑自行车从家到学校,如果每分钟转动100周,他从家到学校出发10分钟到达学校,小华家距学校多少米?
5、一根铁丝长6.28米,正好在一棵树的1米高处的树干处绕了10圈,那么这棵树的1米高处的树干的横截面的直径是多少厘米?
6、一个时钟的时针长20厘米,如果走一昼夜,那么它的尖端所走过的路程有多长?
时针所扫过的面积有多大?
7、环形的外圆周长是18.84厘米,内圆直径是4厘米,求环形的面积?
8、校园圆形花池的半径是6米,在花池的周围修一条1米宽的水泥路,求水泥路的面积是多少平方米?
9、把一只羊拴在一块长8m,宽6m的长方形草地上,拴羊的绳长2m,那么这只羊吃到草的最大面积是多少平方米?
如果要使羊吃草的面积最小,应该将羊拴在这个长方形草地的什么位置?
10、一个直径为1米的圆形洞口,一个身高为1.45米的小女孩不能直身过去。
如果把这个洞口周长增加1.57米,请你计算一下,这个小女孩能直身通过吗?
附加题:
1、在下面空白处画一个周长为12.56厘米的圆;
2、在所画圆中,画两条相互垂直的直径;
3、依次连接这两条直径的四个端点,得到一个正方形;
4、这个正方形的面积是()平方厘米。
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