三角形全等中的三垂直模型.docx
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三角形全等中的三垂直模型
“三垂直”模型
知识目标
模块一
三垂直基本模型
例1
难度:
★★
模块二
三垂直与婆罗摩笈多
例2
难度:
★★★
模块三
三垂直与八字模型
例3
难度:
★★★★
模块四
三垂直与坐标系
例4、例5、例6
难度:
★★★★
模块一三垂直基本模型
知识导航
一、三垂直模型的构成
等腰直角△ABC
过直角顶点A的直线l
过两底角顶点B、C分别作直线l的垂线,垂足分别为M、N
如图所示:
BM+CN=MN
BM+MN=CN
MN+CN=BM
题型一三垂直模型基本应用
例1
过等腰Rt△ABC的直角顶点C作直线l,过A、B分别作AD⊥l于D,BE⊥l于E,已知AD=5,BE=3,求DE的长.
练习
已知△ABC中,∠BAC=90°,点E在线段BC上,点D在线段AC上,且△BDE为等腰直角三角形,∠BDE=90°,BD=DE,当∠ACB=30°时,试判断AD与CE的数量关系,并加以证明.
模型二三垂直模型与“婆罗摩笈多”
例2
如图,△ABE和△ACD为等腰直角三角形,AM⊥BC于M,MA交ED于N
求证:
EN=DN.
练习
如图,直线AB分别与x轴、y轴相交于点A(2,0)和点B(0,4),以B为顶点在第一象限作等腰Rt△ABC.
(1)在y轴上存在一点M,使得MA+MC最小,请画出点M;(保留画图痕迹)
(2)求点C的坐标;
(3)若P点为y轴正半轴上一个动点,分别以AP、OP为腰在第一象限、第二象限作等腰Rt△APC和等腰Rt△OPD,连接CD交y轴于N点,当点P在y轴正半轴上移动时,求PN的长度.
模型三三垂直模型与“八字”全等综合
例3
(1)如图,已知等腰Rt△ABC,∠C=90°,D在AC上,△BDE为等腰直角三角形,∠DBE=90°,连AE交BC于F,求证:
BF+CF=CD.
(2)如图,D点在AC延长线上,其余条件不变,试探究BF、CF、CD之间的关系.
练习
等腰Rt△ABC中,∠B=90°,点P在BC上,以AP为腰在△ABC外侧作等腰Rt△APQ,连PQ交AB于N,连CQ交AB于M.
(1)如图,当P在边BC上,且CP=2BP时,求
的值.
(2)P点在CB延长线上,且CP=nBP,M、N分别在AB边和AB边的延长线上,求
.
真题演练
(2016年江岸区八上期末第23题)
如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E点为射线CB上一动点,连接AE,作AF⊥AE且AF=AE
(1)如图1,过F点作FD⊥AC交AC于点D,求证:
CE+CD=DF;
(2)如图2,连接BF交AC于点G,若
=3,求证:
E为BC中点;
(3)当E点在射线CB上,连接BF交直线AC于点G,若
,则
=.
模块二三垂直模型与坐标系综合
知识导航
三垂直模型在坐标系中有着非常广泛的应用,尤其是与等腰直角三角形的综合,具体来说:
已知等腰直角三角形三个顶点中任意两个点的坐标,便可以求出第三个点的坐标
情况一如下图:
直角顶点在坐标轴上
情况二如下图:
直角顶点不在坐标轴上
例4
(1)如图,△ABC为等腰直角三角形,AC=BC,AC⊥BC,A(0,3),C(1,0),求B点坐标.
(2)如图,△ABC为等腰直角三角形,AC=BC,AC⊥BC,A(-1,0),C(1,3),求B点坐标.
(3)如图,△ABC为等腰直角三角形,AC=BC,AC⊥BC,B(2,2),C(4,-2),求A点坐标.
练习
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BC与y轴交于D点,点C的坐标为(-2,0),点A的坐标为(-6,3),则D点的坐标是.
真题演练
如图,已知A(-2,0),
(1)如图,以A为顶点,AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC,若B(0,-4),求C点坐标.
(2)如图,P为y轴负半轴上一动点,以P为顶点,PA为腰做等Rt△APD,过D作DE⊥x轴于E点,当P点沿y轴负半轴向下运动时,试问OP-DE的值是否发生变化?
若不变,求其值;若变化,请说明理由.
(3)如图,已知F点坐标为(﹣4,﹣4),G是y轴负半轴上一点,以FG为直角边作等腰Rt△FGH,H点在x轴上,∠GFH=90°.设G(0,m),H(n,0),当G点在y轴负半轴上沿负方向运动时,m+n的值是否变化?
若不变,求其值;若变化,请说明理由.
例5
在平面直角坐标系中,A(2,﹣1),B(1,﹣4),C(5,﹣2),求∠ABC的度数.
练习
如图,在平面直角坐标系中,已知A(a,b),且a、b满足
(1)求点A的坐标;
(2)若点F(1,0),C(0,3),连AC、FC,试确定∠ACO+∠FCO的值是否发生变化.若不变,说明理由.若变化,请求出变化范围.
例6
(2015年粮道街八上期中)
在平面直角坐标系中,点A(4,0),B(0,8),以AB为斜边作等腰直角△ABC,则点C坐标为.
练习
在平面直角坐标系中,已知A(0,4),B(2,0),在第一象限内的点C,使△ABC为面积最小的等腰直角三角形,求点C的坐标以及面积的最小值.
挑战压轴题
如图1,已知A(a,0),点B(0,b)且a、b满足
(1)求A、B两点的坐标;
(2)若点C是第一象限内一点,且∠OCB=45°,过点A作AD⊥OC于点F,求证:
FA=FC;
(3)如图2,若点D的坐标为(0,1),过点A作AE⊥AD,且AE=AD,连接BE交x轴于点G,求S△BOG.
本讲课后作业
基础巩固
1、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BC与y轴交于D点,点C的坐标为(﹣1,0),点A的坐标为(﹣5,2),求点D的坐标.
2、在平面直角坐标系中,点A(2,0),B(0,4),以AB为斜边作一个等腰直角三角形ABC,则点C的坐标为.
3、已知,△ABC是等腰直角三角形,BC=AB,A点在x轴负半轴上,直角顶点B在y轴上,点C在x轴上方.
(1)如图1所示,若A的坐标是(﹣3,0),点B的坐标是(0,1),求点C的坐标;
(2)如图2,过点C作CD⊥y轴于D,请直接写出线段OA、OD、CD之间等量关系;
(3)如图3,若x轴恰好平分∠BAC,BC与x轴交于点E,过点C作CF⊥x轴于F,问CF与AE有怎样的数量关系?
并说明理由.
综合练习
4、如图1,OA=2,OB=4,以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC.
(1)求C点坐标;
(2)如图2,P为y轴负半轴上一个动点,当P点向y轴负半轴向下运动时,以P为顶点,PA为腰作等腰Rt△APD,过D作DE⊥x轴于E点,求OP-DE的值;
(3)如图3,已知点F坐标为(﹣2,﹣2),当点G在y轴负半轴上沿负方向运动时,作Rt△FGH,始终保持∠GFH=90°,FG与y轴负半轴交于点G(0,m),FH与x轴正半轴交于点H(n,0),当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时,以下两个结论:
①m-n为定值;②m+n为定值,其中只有一个结论是正确的,请找出正确的结论,并求出其值.
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- 三角形 全等 中的 垂直 模型