新步步高浙江专用高考数学二轮专题突破 专题一 集合与常用逻辑用语函数 第3讲 函数的应用 理文档格式.docx
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新步步高浙江专用高考数学二轮专题突破 专题一 集合与常用逻辑用语函数 第3讲 函数的应用 理文档格式.docx
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c
C.c&
a&
bB.c&
aD.b&
思维升华函数零点(即方程的根)的确定问题,常见的有
(1)函数零点值大致存在区间的确定;
(2)零点个数的确定;
(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法,尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解.
跟踪演练1
(1)函数f(x)=x-2在x∈R上的零点的个数是()
A.0B.1C.2D.3
(2)已知定义在R上的函数f(x)满足:
?
?
x+2,x∈[0,1?
,f(x)=?
2?
2-x,x∈[-1,0?
,?
22x2x+5且f(x+2)=f(x),g(x)=f(x)=g(x)在x+2
区间[-5,1]上的所有实根之和为()
A.-5
C.-7B.-6D.-8
热点二函数的零点与参数的范围
解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题,关键是利用函数方程思想或数形结合思想,构建关于参数的方程或不等式求解.
b,a-b≥1,例2
(1)对任意实数a,b定义运算“?
”:
a?
b=?
a,a-b&
1.设f(x)=(x-1)?
(4+2
x),若函数y=f(x)+k的图象与x轴恰有三个不同交点,则k的取值范围是()
A.(-2,1)B.[0,1]
2
C.[-2,0)D.[-2,1)
(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3|x|的零点个数是()
A.多于4个
C.3个B.4个D.2个
思维升华
(1)f(x)=g(x)根的个数即为函数y=f(x)和y=g(x)图象交点的个数;
(2)关于x的方程f(x)-m=0有解,m的范围就是函数y=f(x)的值域.
跟踪演练2
(1)(2015·
绍兴模拟)若函数f(x)=m+log2x(x≥1)存在零点,则实数m的取值范围是()
A.(-∞,0]
C.(-∞,0)B.[0,+∞)D.(0,+∞)
x
(2)(2015·
湖南)若函数f(x)=|2-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是________.
热点三函数的实际应用问题
解决函数模型的实际应用题,首先考虑题目考查的函数模型,并要注意定义域.其解题步骤是
(1)阅读理解,审清题意:
分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题;
(2)数学建模:
弄清题目中的已知条件和数量关系,建立函数关系式;
(3)解函数模型:
利用数学方法得出函数模型的数学结果;
(4)实际问题作答:
将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.
例3一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池四周围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计.
(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;
(2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16米,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.
3
思维升华
(1)关于解决函数的实际应用问题,首先要耐心、细心地审清题意,弄清各量之间的关系,再建立函数关系式,然后借助函数的知识求解,解答后再回到实际问题中去.
(2)对函数模型求最值的常用方法:
单调性法、基本不等式法及导数法.
跟踪演练3
(1)国家规定某行业征税如下:
年收入在280万元及以下的税率为p%,超过280万元的部分按(p+2)%征税,有一公司的实际缴税比例为(p+0.25)%,则该公司的年收入是
()
A.560万元
C.350万元B.420万元D.320万元
(2)某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未出租的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元,要使租赁公司的月收益最大,则每辆车的月租金应定为________元.
1.f(x)=2sinπx-x+1的零点个数为()
A.4B.5C.6
2-1,x&
gt;
0,2.已知函数f(x)=?
-x-2x,x≤0,?
xD.7若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的
取值范围是________.
3.已知函数f(x)=5+x-2,g(x)=log5x+x-2的零点分别为x1,x2,则x1+x2的值为________.
4.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为
________m.x
提醒:
完成作业专题一第3讲
4
二轮专题强化练
专题一
A组专题通关
21.函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的区间是()x
1A.(,1)2
C.(e-1,2)B.(1,e-1)D.(2,e)
1x2.已知函数f(x)=()-cosx,则f(x)在[0,2π]上的零点个数是()4
A.1
C.3
1?
x-2,x&
0,3.函数f(x)=?
2
x-1,x≥0
A.-2
C.0
22B.2D.4的所有零点的和等于()B.-1D.14.若函数f(x)=x+2a|x|+4a-3的零点有且只有一个,则实数a等于()A.
C.332232B.-32D.以上都不对
2?
-x+1,-1≤x≤1,?
5.定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)=f(x),f(x)=?
log2?
-|x-2|+2?
,1&
x≤3.
若关于x的方程f(x)-ax=0有5个不同实根,则正实数a的取值范围是()
11A.(,)43
1C.(16-7)6
2-a,x≤0,6.若函数f(x)=?
lnx,x&
0x11B.()641D.(8-15)6有两个不同的零点,则实数a的取值范围是________.
5
7.某企业投入100万元购入一套设备,该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低,该企业________年后需要更新设备.
8.我们把形如y=(a&
0,b&
0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字,故生动地|x|-a
称为“囧函数”,若当a=1,b=1时的“囧函数”与函数y=lg|x|的交点个数为n,则n=________.
9.已知函数f(x)=mx-2x+1有且仅有一个正实数的零点,求实数m的取值范围.
10.随着机构改革工作的深入进行,各单位要减员增效,有一家公司现有职员2a人(140&
2a&
420,且a为偶数),每人每年可创利b万元.据评估,在经营条件不变的前提下,每裁员1人,则留岗职员每人每年多创利0.01b万元,但公司需付下岗职员每人每年0.4b
3万元的生活费,并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的4
益,该公司应裁员多少人?
62b
B组能力提高
11.已知f(x)是定义在R上且以2为周期的偶函数,当0≤x≤1时,f(x)=x.如果函数g(x)=f(x)-(x+m)有两个零点,则实数m的值为()
A.2k(k∈Z)
C.01B.2k或2k+k∈Z)41D.2k或2k-k∈Z)42
12.(2014·
浙江)如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进
行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM
移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大
小(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角).若AB=15m,AC=25m,∠BCM
=30°
,则tanθ的最大值是()A.30304353B.C.D.51099
x+1,x≤0,13.已知函数f(x)=?
log2x,x&
0,?
则函数y=f[f(x)+1]的零点有________个.
14.已知函数f(x)=logax+x-b(a&
0,且a≠1),当2&
3&
4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N*,求n的值
7
学生用书答案精析
高考真题体验
1.C[由题意知,函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,又f
(1)=6-0=6&
0,
f
(2)=3-1=2&
f(4)=-log24=-2=-&
由零点存在性定理,可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点.]
12.(0)2
解析作出函数y=f(x)在[-3,4]上的图象,f(-3)=f(-2)=f(-1)=f(0)=f
(1)=f
(2)
11=f(3)=f(4)=,观察图象可得0&
22
643212
3.24
e=192,解析由题意得?
22k+b?
e=48,?
b
48122k∴e=,1924
111k∴e=2
∴x=33时,y=e33k+b=(e)×
e11k3b
13=?
24.8?
4.
(1)1900
(2)100
解析
(1)当l=6.05时,F=
=76000121v++18276000vv+18v+121v76000760001900.22+18121v·
+18v
8
当且仅当v=11米/秒时等号成立,此时车流量最大为1900辆/时.
(2)当l=5时,F76000v76000v+18v+100100v+182v7600076000==2000.20+18100v+18v
当且仅当v=10米/秒时等号成立,此时车流量最大为2000辆/时.
比
(1)中的最大车流量增加100辆/时.
热点分类突破
例1
(1)C
(2)A
1解析
(1)∵f
(2)=lg2&
0,2
f(3)=lg3-&
∴f
(2)f(3)&
故f(x)的零点在区间(2,3)内.
(2)由f(a)=e+a=0,得a=-e&
0;
aa13
b是函数y=lnx和y=-x图象交点的横坐标,画图可知0&
1;
由h(x)=lnc-1=0知c=e,
所以a&
c.
跟踪演练1
(1)D
(2)C1解析
(1)注意到f(-1)×
f(0)=×
(-1)&
0,因此函数f(x)在(-1,0)上必有零点,又f
(2)2
=f(4)=0,因此函数f(x)的零点个数是3,选D.
2x+52?
x+2?
+11
(2)由题意知g(x)==2+f(x)的周期为2,则函数f(x
),x+2x+2x+2
g(x)在区间[-5,1]上的图象如图所示:
由图形可知函数f(x),g(x)在区间[-5,1]上的交点为A,B,C,
易知点B的横坐标为-3,若设C的横坐标为t(0&
t&
1),则点A的横坐标为-4-t,所以方程f(x)=g(x)在区间[-5,1]上的所有实根之和为-3+(-4-t)+t=-7.
例2
(1)D
(2)B
9
解析
(1)解不等式x-1-(4+x)≥1,
得x≤-2或x≥3,所以,f(x)=
x+4,x∈?
-∞,-2]∪[3,+∞?
x-1,x∈?
-2,3?
.2
函数y=f(x)+k的图象与x轴恰有三个不同交点转化为函数y=f(x)的图象和直线y=-k恰有三个不同交点.
如图,所以-1&
-k≤2,故-2≤k
&
1.
(2)由题意知,f(x)是周期为2的偶函数.
在同一坐标系内作出函数y=f(x)及y=log3|x|的图象,如下:
观察图象可以发现它们有4个交点,
即函数y=f(x)-log3|x|有4个零点.
跟踪演练2
(1)A
(2)(0,2)
解析
(1)m=-log2x(x≥1)存在零点,则m的范围即为函数y=-log2x(x≥1)的值域,∴m≤0.
(2)
将函数f(x)=|2-2|-b的零点个数问题转化为函数y=|2-2|的图象与直线y=b的交点个数问题,数形结合求解.
由f(x)=|2-2|-b=0,xxx
10
得|2x-2|=b.
在同一平面直角坐标系中画出y=|2x-2|与y=b的图象,如图所示.
则当0&
2时,两函数图象有两个交点,从而函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点.例3解
(1)设污水处理池的宽为x米,则长为162x米.
总造价f(x)=400×
(2x+2×
162x)+248×
2x+80×
162
=1296x+1296×
100x12960
=1296(x+100x)+12960≥1296×
2x·
100
x+12960=38880(元),当且仅当x=100
x(x&
0),
即x=10时取等号.
∴当污水处理池的长为16.2米,宽为10米时总造价最低,总造价最低为38880元.
0&
x≤16,
(2)由限制条件知?
x≤16,
∴81
8x≤16.
设g(x)=x+10081
x8x≤16),
g(x)在81
816]上是增函数,∴当x81
8(162
x16),
g(x)有最小值,即f(x)有最小值,即为
818800
81)+12960=38882(元).∴当污水处理池的长为1681
838882元.
跟踪演练3
(1)D
(2)4050
解析
(1)设该公司的年收入为x万元(x&
280),则有
280×
p%+?
x-280?
p+2?
%
x=(p+0.25)%,解得x=320.
故该公司的年收入为320万元.
11
(2)设每辆车的月租金为x(x&
3000)元,则租赁公司月收益为
x-3000x-3000y=(100-x-150)-×
50,5050
整理得y=-+162x-2100050
12=-(x-4050)+307050.50
∴当x=4050时,y取最大值为307050,即当每辆车的月租金定为4050元时,租赁公司的月收益最大为307050元.
高考押题精练
1.B[令2sinπx-x+1=0,则2sinπx=x-1,令h(x)=2sinπx,g(x)=x-1,则x2f(x)=2sinπx-x+1的零点个数问题就转化为两个函数h(x)与g(x)图象的交点个数问
2π题.h(x)=2sinπx的最小正周期为T==2,画出两个函数的图象,如图所示,因为π
h
(1)=g
(1),h(g,g(4)=3&
2,g(-1)=-2,所以两个函数图象的交点一共有5个,所以f(x)=2sinπx-x+1的零点个数为
5.]5252
2.(0,1)
解析画出f(x)=
-x-2x,x≤0x的图象,如图.
由于函数g(x)=f(x)-m有3个零点,结合图象得:
m&
1,
即m∈(0,1).
3.2
解析令f(x)=0,g(x)=0,得5=-x+2,log5x=-x+2.作出函数y=5,y=log5x,y=-x+2的图象,如图所示,因为函数f(x)=5+x-2,g(x)=log5x+x-2的零点分别为xxx
x1,x2,所以x1是函数y=5x的图象与直线y=-x+2交点A的横坐标,x2是函数y=log5x的图象与直线y=-x+2交点B的横坐标.
12
因为y=5与y=log5x的图象关于y=x对称,直线y=-x+2也关于y=x对称,且直线y=-x+2与它们都只有一个交点,故这两个交点关于y=x对称.又线段AB的中点是y=x与y=-x+2的交点,即(1,1),所以x1+x2=2.
4.20
解析如图,
x
过A作AH⊥BC交于点H,交DE于点F,易知=?
AF=x?
FH=40-x,则S=BC40ABAHDExADAFx(40-x)≤()2,当且仅当40-x=x,即x=20时取等号,所以满足题意的边长x为20m.402
13
二轮专题强化练答案精析
1321.C[因为f(=4&
0,f
(1)=ln2-2&
0,f(e-1)=1&
0,f
(2)=ln3-1&
0,22e-1
故零点在区间(e-1,2)内.]
1x2.C[f(x)在[0,2π]上的零点个数就是函数y=()和y=cosx的图象在[0,2π]上的交4
1x点个数,而函数y=()和y=cosx的图象在[0,2π]上的交点有3个.]4
1x3.C[令()-2=0,解得x=-1,令x-1=0,解得x=1,所以函数f(x)存在两个零点2
1和-1,其和为0.]
4.C[令|x|=t,原函数的零点有且只有一个,即方程t+2at+4a-3=0只有一个0根或一个0根、一个负根,∴4a-3=0,解得a=222333a满足题意.]222
5.D[f(x)是周期为4的周期函数.做出y=f(x)和y=
ax的图象,
由图可知,要使方程f(x)-ax=0有5个不同实根,即y=f(x)和y=ax的图象有5个交点.由图可知,当x∈(3,5)时,f(x)=-(x-4)+1,此时若y=ax与其相切,则a=8-15;
11又方程f(x)=ax在(5,6)无解,得aa的取值范围是8-15),选D.]66
6.(0,1]
解析当x&
0时,由f(x)=lnx=0,得x=1.
因为函数f(x)有两个不同的零点,
则当x≤0时,
函数f(x)=2-a有一个零点,
令f(x)=0得a=2,
因为0&
2≤2=1,所以0&
a≤1,
所以实数a的取值范围是0&
a≤1.
7.10x02xx
14
解析由题意可知x年的维护费用为2+4+?
+2x=x(x+1),所以x年平均污水处理费用y=100+0.5x+x?
x+1?
100100=x++1.5,由基本不等式得y=x++1.5≥2xxxx·
+1.5=21.5,当且仅当x=
8.4100x=10时取等号,所以该企业10年后需要更新设备.x
x-1?
x≥0且x≠1?
,1解析由题意知,当a=1,b=1时,y=|x|-1?
1-?
x&
0且x≠-1?
.
在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y=lg|x
|的图象如图所示,易知它们有4个交点.
9.解依题意,得
m&
2①?
Δ=?
-2?
-4m&
f?
0?
&
2②?
m≠0,③?
-4m=0.?
或或
显然①无解;
解②,得m&
解③,得m=1,经验证,满足题意.又当m=0时,f(x)=-2x+1,它显然有一个为正实数的零点.
综上所述,m的取值范围是(-∞,0]∪{1}.
10.解设裁员x人,可获得的经济效益为y万元,则
y=(2a-x)(b+0.01bx)-0.4bx
=-[x-2(a-70)x]+2ab.100
3依题意得2a-xa,4
所以0&
x≤2
15b2a
又140&
420,即70&
210.
①当0&
a-70≤70&
a≤140时,x=a-70,y取到最大值;
②当a-70&
,即140&
210时,xy取到最大值.22
故当70&
140时,公司应裁员(a-70)人,经济效益取到最大;
当140&
210时,公司应裁员2
11.D[令g(x)=0,得f(x)=x+m.因为函数f(x)=x在[0,1]上的两个端点分别为(0,0),(1,1),所以过这两点的直线为y=x.当直线y=x+m与f(x)=x(x∈[0,1])的图象相切时,与f(x)在x∈(1,2]上的图象相交,也就是两个交点,此时g(x)有两个零点,可求得此时的
11切线方程为y=x根据周期为2,得m=2k或2k-(k∈Z).]44
12.D[如图,过点P作PO⊥BC于点O,
连接AO,则∠PAO=θ.
设CO=xm,则OP=3
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