行列式的计算方法.docx
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行列式的计算方法
计算n阶行列式的若干方法举例
n阶行列式的计算方法很多,除非零元素较少时可利用定义计算(①按照某一列或某一行展开②完全展开式)外,更多的是利用行列式的性质计算,特别要注意观察所求题目的特点,灵活选用方法,值得注意的是,同一个行列式,有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法,并举例说明。
1.利用行列式定义直接计算
0
III
0
1
0
0
III
2
0
0
例计算行列式Dn=
+
+
+
f
h
P
R
d
q
4
4
4
n-1
III
0
0
0
0
III
0
0
n
解Dn中不为零的项用一般形式表示为印门_02门_2川a门/心门门二口!
.
(n书(n-2)
故Dn十1)2n!
.
2.利用行列式的性质计算
例:
一个n阶行列式Dn=aj的元素满足aj=-a’i,j=1,2,||j,n,则称Dn为反对称行
列式,证明:
奇数阶反对称行列式为零•
证明:
由aij
=-aj
知aH
=-a
i,即aii
=0,i=1,2
川,
n
0
a12
a13
川
a1n
_ai
20
a23
III
a2n
故行
列式
Dn可表示为
Dn=
_a1
3_a23
0
III
a3n
5
由行列式的性质A=|A",
川
III
HI
HI
in
_ai
n_a2n
_a3n
III
0
0
一盹
一印3
III
Pn
0a12
a13
III
a1n
a12
0
Pa
III
Pn
_ai20
a23
III
a2n
Dn=
a13
a23
0
III
—a3n
=(T)n
_a13_a2:
0
III
a3n
=(T)nDn
HI
in
III
III
III
IIIIII
III
IH
III
a1n
a2n
a3n
III
0
_ain_a2r
_a3n
III
0
当n为奇数时,得Dn=—Dn,因而得Dn=0.
3.化为三角形行列式
若能把一个行列式经过适当变换化为三角形,其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
化三角形法是将原行列式化为上(下)三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。
这是计算行列式的基本方法重要方法之一。
因为利用行列式的定义容易求得上(下)三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。
原则上,每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。
但对于阶数高的行列式,在一般情况下,计算往往较繁。
因此,在许多情况下,总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形,再将其化为三角形行列式。
1
-1
2
-3
1
-3
3
-7
9
-5
例1计算行列式D=
2
0
4
-2
1
3
-5
7
-14
6
4
-4
10
—10
2
解这是一个阶数不高的数值行列式,通常将它化为上(下)三角行列式来计算.
(2門1)
GT1)
1
-
1
2
-3
1
1
-1
2
-3
1
1
-1
2
-3
1
(4T1)
0
0
-1
0
-2
0
2
0
4
-1
0
2
0
4
-1
GT)
(2)W
3)
(4
严⑺
D
0
2
0
4
一1
0
0
-1
0
一2
0
0
-1
0
-2
0
-2
1
-5
3
0
-2
1
-5
3
0
0
1
-1
2
0
0
2
2
-2
0
0
2
2
-2
0
0
2
2
-2
1
-1
2
-3
1
1
-1
2
-3
1
(4)十(3)
0
3
0
4
-1
0
2
0
4
-1
5)+23)
(5
)+24)
—
0
0
-1
0
-2
0
0
-1
0
-2
=T'2(TXT「6)
=
12
0
0
0
-1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
2
0
0
0
0
—6
18
a2
a3
IH
an
a1
1+a2
a3
IH
an
a1
a2
1g
IH
an
川
川
III
IH
IH
a1
a2
a3
川
1+an
例2计算n阶行列式D
解这个行列式每一列的元素,除了主对角线上的外,都是相同的,且各列的结构相似,因此n列之和全同•将第2,3,…,n列都加到第一列上,就可以提出公因子且使第一列的元素全是
a?
a3||(
例3计算n阶行列式D
abbI"b
babI"b
bbal||b
HIIIIIHIIIH
bbbl||a
解:
这个行列式的特点是每行(列)元素的和均相等,根据行列式的性质,把第?
3,…,n
列都加到第1列上,行列式不变,得
例4:
浙江大学?
004年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第?
小题(重庆大学?
004年攻
123111n-1n
234IIIn1
Dn=345川12
n12|丨丨n-2n-1
[分析]显然若直接化为三角形行列式,计算很繁,所以我们要充分利用行列式的性质。
注意到
从第1列开始;每一列与它一列中有n-1个数是差1的,根据行列式的性质,先从第n-1列开始乘以一1加到第n列,第n-2列乘以一1加到第n-1列,一直到第一列乘以一1加到第2列。
然后把第1行乘以-1加到各行去,再将其化为三角形行列式,计算就简单多了。
解:
1
1
1
III
1
1
1
1
1
IH
1
1
2
1
1
III
1
1-n
(i=2,川,n)
1
0
0
III
0
-n
Dn=
3
1
1
III
1-n
1
2
0
0
III
_n
0
■
*
百
■
1
■
r=-
*
A
■
■
■
I
+
n
+
1-n
+
1
III
1
*
1
+
n-1
*
_n
4
0
III
+
0
4
0
4.降阶法(按行(列)展开法)
降阶法是按某一行(或一列)展开行列式,这样可以降低一阶,更一般地是用拉普拉斯定理,
这样可以降低多阶,为了使运算更加简便,往往是根据行列式的特点,先利用列式的性质化简,使行列式中有较多的零出现,然后再展开
2
3
川
18
19
20
1
2
川
17
18
19
2
1
III
16
17
18
1
2
例1、计算20阶行列式D20=3
201918川321
[分析]这个行列式中没有一个零元素,若直接应用按行(列)展开法逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算,需进行20!
*20-1次加减法和乘法运算,这人根本是无法完成的,更何况是n阶。
但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素,则很快就可算出结果。
注意到此行列式的相邻两列(行)的对应元素仅差1,因此,可按下述方法计算:
解:
in
1
11
in
1
1
1
1
2
3
18
19
20
2
-11
in
1
1
1
2
1
2
IM
17
18
19
—
Cj1-Cj
3
-1-1
in
1
1
1
3
2
1
IM
16
17
18
**
*
■
■
«
*
:
1
(iJ,H|19)
:
**
*
q
4
1!
■1
■f
-
19
-1-1
IM
-1
-1
1
20
19
18
HI
3
2
1
1
20
-1-1
IM
-1
-1
-1
20
a
0
0
III
0
0
a
0
III
0
例2计算n阶行列式Dn=
0
0
a
III
0
F
h
r
F
b
F
q
i
i
p
h
F
0
0
0
HI
a
1
0
0
HI
0
a00III0
0a0川0
0a0III0
00a川0
八nF
I■■■I
将Dn按第1行展开Dna
00a…0
+(T)
|ih1P
ifai
I11•
111+
000…a
000HIa
100川0
解
n—2
a
0
0
III
0
1
0
a
0
III
0
0
D=
0
0
a
IH
III
0
0
II
例3计算n(n》2)阶行列式
III
HI
III
HI
1
0
0
III
0
a
再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开,则可得到
5.递(逆)推公式法
递推法是根据行列式的构造特点,建立起-:
:
与—J的递推关系式,逐步推下去,从而求出f的值。
有时也可以找到f与fl,f的递推关系,最后利用「得到:
的值。
[注意]用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话,即很难找出递推关系式,从而不能使用此方法。
a+P
aP
0
1
cc+P
a?
例1计算行列式Dn=
0
1
ct+
0
0
0
0
0
0
解:
将行列式按第n列展开,有Dn二(-
Dn-:
Dn4二-(Dn4-:
Dn/),Dn-'Dnd=:
(Dnd_'Dn,2),
得Dn-Dn厂"(DnQ八二(。
2「D)="
同理得
-D
=a
Dn
(n1):
n
a_y
X
x…
X
y
X
X
…x
0
a
X…
X
y
a
X
…X
Dn=
0
y
a…
X
+
y
y
a
…x
0
y
y…
a
y
y
y
…a
1y-xy-x
n_1
=(a-y)Dn」y(a-x)
、.nd
同理Dn=(a-x)Dndx(a-y)一
当X=y时,
Dn=(a-x)Dn」x(a-x)n,=(a-x)2Dn工2x(a-x)nJ
(a-x)^D2(n-2)x(a-x)n・(a-x)nJl.a(n-1)x1
Dn二X
这里Dn4与Dn有相同的结构,但阶数是n-1的行列式.
X
0
-1
X
0
-1
0
0
0
0
例3计算n阶行列式D=
0
0
X
0
0
n
III
HI
HI
HI
III
IH
0
0
0
山
X
-1
an
anJ.
8n_2
III
82
a1+x
解首先建立递推关系式•按第一列展开,得:
现在,利用递推关系式计算结果•对此,只需反复进行代换,得:
Dn巳仪£怙4)5=X2Dn;+环亦+耳=X2(XD肖竹£)5"十4=111川=乂心0+£^^+山+4少2+&仔+耳,
因Dj=x+ai=x+a,故Dn=xn+a1Xn°斗||+an」x+an.
最后,用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的.
当n=1时,显然成立.设对n-1阶的情形结果正确,往证对n阶的情形也正确.由
Dn=xDnl4=xxn」a/2IIIa^xanJ务二xnqxn」|||anJxan,
可知,对n阶的行列式结果也成立.根据归纳法原理,对任意的正整数n,结论成立.
Dn=2
1
2
这样,就有递推关系式:
Dn=2Dn4-D2.
因为已将原行列式的结果给出,我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的.
21
当n=1时,Dj=2,结论正确.当n=2时,D2=〔?
=3,结论正确.
设对k 由Dn=2DnJ-Dn^=2n-<[n-1=n■1可知,对n阶行列式结果也成立. 根据归纳法原理,对任意的正整数n,结论成立. 例5、2003年福州大学研究生入学考试试题第二大题第 III0 III0 Dn=01a+B川0 证明 Dn 其中爲卡- (虽然这是一道证明题,但我们可以直接求出其值,从而证之。 ) [分析]此行列式的特点是: 除主对角线及其上下两条对角线的元素外,其余的元素都为零,这种行列式称“三对角”行列式⑴。 从行列式的左上方往右下方看,即知B-1与D具有相同的结构因此可考虑利用递推关系式计算。 证明: D按第1列展开,再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有: 这是由Dn-i和Dn-2表示Dn的递推关系式。 若由上面的递推关系式从n阶逐阶往低阶递推,计算较繁,注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n阶行列式,因此,可考虑将其变形为: Dn—Dn—1=-Dn——: 订: Dn-2=(Dn-1—Dn-2) 或Dn—: Dn—=〉Dn—厂: 川Dn—2=(Dn-1—: Dn—2) 现可反复用低阶代替高阶,有: Dn—Dn—=(Dn-1—Dn-2)=-Dn—2—Dn—3)=-(Dn—3—Dn-4) =||=: n'(D2—: D1)"n—2[(二心)2_: (—】)]=「川|丨 (1) 同样有: Dn—: Dn-1=(-(Dn—1—Dn—2)=■-Dn-2一Dn-3)=■-'(D.—3—D.—4) =||=2(D2—'■D1)=n_2[(鳥Mj2.: 川•『心Zj]=: •=|川| (2) 因此当mI二时 an+_Bn* 由 (1) (2)式可解得: Dn二,证毕 CL-P 6.利用范德蒙行列式 2行的一1倍加到第3行,以此类推直到把新的 根据行列式的特点,适当变形(利用行列式的性质一一如: 提取公因式;互换两行(列)行乘以适当的数加到另一行(列)去;...)把所求行列式化成已知的或简单的形式。 其中范德蒙行列式就是一种。 这种变形法是计算行列式最常用的方法。 1 1 兀+1 X2+1 例1计算行列式D= X2+X1 X;+x2 n4丄n_2 X1+X1 卜 n」丄n_2 X2十x2 1 Xn1X;Xn Xn nrx2 n 解 把第1行的一1倍加到第2行,把新的第 第n—1行的—1倍加到第n行,便得范德蒙行列式 1 1 III 1 X1 X2 III Xn D= 2 X1 2 X2 III 2 Xn =n(Xi -Xj) h + + a i n注为亘 n4 n-1 X2 III n-1 Xn n a1 a1b n22 a1b III b n a2 n九2 a2b2 III a2b21J bn III HI IH III III hi n an41 an4bn41 6单5单 III anH1bn1 b爲 例2计算n•1阶行列式D二 -其中a1a^|and-0. n_kk 1,2,… ,n. 解这个行列式的每一行元素的形状都是a 即ai按降幕排列,bi 按升幕排列,且次数之和都是n,又因a^0,若在第i行(i=1,2,…,n) 提出公因子an,则D 可化为一个转置的范德蒙行列式,即 bi ai D=a1na2Hla;1 b2 III 32 III bn-1 an1 fb、2 b1 /、2 电 III r、2 邑 III III III III bi b2 \\\ fb丫 bn出 n・1 : I丨aiI1 i4 1^j: : iw bi6 — aaj |丨biaj-aibj. 1 .i 例3计算行列式D yz y 2 y xz xy 解: (3)-(yz) (1) D二 xyxz yz y 2 y yzxz yz z 2 z 2 z (3)七 (1) xyyzxz y 2 y y2xyyz xz =(xyyzxz)(y-x)(z-x)(z-y) 例4计算行列式D 1 X1 2 X1 1 X2 2 x2 1 xn 2 xn n X1 n X1 n_2 x2 n x2 n_2 xn n xn 解作如下行列式,使之配成范德蒙行列式 xy+yz+xz Xi X2 P(y)二 2 X1 2 X2 n2 X1- n」 X1- n X2 _2 _2 _2 n ii(y-x)丨【(洛7) i41": : jJ n X1 n_J X2- n_1y_ n X2 易知Dn等于P(y)中ynJ1 的系数的相反数,而P(y)中y2的系数为 nn -Zxk k丄1 n(Xi MW -Xj ),因此, Dn=为Xk k=1 n 1j (Xi-Xj) J 例5、计算 n阶行列式 (a_n+1)nJL (a_n+2)n」 III (a-1)n」 n」a (a_n+1严 (a_n+2)2 III (aW n_2a Dn= + + + f b r F I- h 4 4 1 a—n+1 a-n+2 川 a-1 a 1 1 川 1 1 解: 显然该题与范德蒙行列式很相似,但还是有所不同,所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型。 先将的第n行依次与第n-1行,n-2行,…,2行,1行对换,再将得到到的新的行列式的第n 行与第n-1行,n-2行,…,2行对换,继续仿此作法,直到最后将第n行与第n-1行对换,这样,共经过(n-1)+(n-2)+…+2+1=n(n-1)/2次行对换后,得到 1 1 川 1 n(n4) a-n+1 a-n+2 III a-1 Dn=「1)2 + + + * 4 + + (a_nW (a_n+2)2 III /a、n—2 (a-1) (a_n+1)z (a_n+2)n」 III (a—1) 1a n_2a n」a 上式右端的行列式已是范德蒙行列式,故利用范德蒙行列式的结果得: n(nJ) n(n-1) Dn十1)2ii [(a-ni)-(a-nj)]十1)2i【(i-j) 1勺: i: 印1勺: : i印 7.加边法(升阶法) 加边法(又称升阶法)是在原行列式中增加一行一列,且保持原行列式不变的方法。 它要求: 1保持原行列式的值不变;2新行列式的值容易计算。 根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。 加边法适用于某一行(列)有一个相同的字母外,也可用于其第列(行)的元素分别为n-1个元素的倍数的情况。 x+印a2HI an 31x+a2HI an 例1计算n阶行列式Dn= 3132HI an IIIHI川 III 31a2HI x+an 131川an 1 a1a? 川an 0 第i行减第1行 -1 x0ili0 解: Dn= : Dn i=2JH,n+1 -1 0x川o 0 IIIIIIIIIIIIHI -1 0oilix n aj 1、 ai a2 an III aj III III 例2计算n(n》2)阶行列式Dn 1+q 1 1 川 1
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