初三数学二次函数中考易错题集四.docx
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初三数学二次函数中考易错题集四
151.求出抛物线y=-3/4x2+3/2x+9/4的最大值,并说明该抛物线是由哪一条形如y=ax2的抛物线经过怎样的变换得到的?
152.已知m,n是关于x的方程x2-2ax+a+6=0的两实根,求y=(m-1)2+(n-1)2的最小值.
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153.已知二次函数的图象开口向上且不过原点0,顶点坐标为(1,-2),与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,且满足关系式OC2=OA•OB.
(1)求二次函数的解析式;
(2)求△ABC的面积.
154.抛物线y=-x2+bx+c过点(0,-3)和(2,1),试确定抛物线的解析式,并求出抛物线与x轴的交点坐标.
155.y=ax2+bx+c图象与x轴交于A、B与y轴交于C,OA=2,OB=1,OC=1,求函数解析式.(求出所有可能的情况)
156.已知mn是两位数,二次函数y=x2+mx+n的图象与x轴交于不同的两点,这两点间的距离不超过2,
(1)求证:
0<m-4n≤4;
(2)求出所有这样的两位数mn.
157.已知正方形地砖的边长为xcm面积为ycm2
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)画出它的图象;
(3)当x=60时,100块这样的地砖面积是多大?
158.某商场将进价为2600元的彩电以3000元售出,平均每天能销售出6台.为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:
这种彩电的售价每降低50元,平均每天就能多售出3台.
(1)商场要想在这种彩电销售中每天盈利3600元,同时又要使百姓得到最大实惠,每台彩电应降价多少元?
(2)每台彩电降价多少元时,商场每天销售这种彩电的利润最高?
最高利润是多少?
159.如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长是8m,宽是2m,抛物线可以用y=-1/4x2+4表示.
(1)一辆货运卡车高4m,宽2m,它能通过该隧道吗?
(2)如果该隧道内设双行道,那么这辆货运卡车是否可以通过?
160.某饮料经营部每天的固定成本为200元,其销售的饮料每瓶进价为5元.销售单价与日平均销售的关系如下:
销售单价(元)
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
日平均销售量(瓶)
480
460
440
420
400
380
360
(1)若记销售单价比每瓶进价多x元,则销售量为
161.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于55元,市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天可销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.设销售价为x(元/箱).
(1)平均每天销售量是多少箱?
(用含x的代数式表示)
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式.
(3)当每箱苹果的销售价为多少元时,可以获得最大利润?
最大利润是多少?
162.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克,为了促销,该经营户决定降价销售,经调查发现,这种小型西瓜每降价0.1元/千克,每天可多售出40千克,另外,每天的房租等固定成本共24元,设每千克降价x元每天销量为y千克.
(1)求y与x的函数关系式;
(2)如何定价,才能使每天获得的利润为200元,且使每天的销量较大?
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163.某小区要用篱笆围成一直角三角形花坛,花坛的斜边用足够长的墙,两条直角边所用的篱笆之和恰好为17米.围成的花坛是如图所示的直角△ABC,其中∠ACB=90°.设AC边的长为x米,直角△ABC的面积为S平方米.
(1)求S和x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围);
(2)根据小区的规划要求,所修建的直角三角形花坛面积是30平方米,直角三角形的两条直角边
的边长各为多少米?
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164.某公司生产的一种时令商品每件成本为20元,经过市场调研发现,这种商品在未来20天内的日销售量m(件)与时间t(天)的关系如下表:
时间t(天)
1
3
6
10
36
…
日销售量m(件)
94
90
84
76
24
…
未来20天内每天的价格y(元/件)与时间t(天)的函数关系式为y=1/4t+25(1≤t≤20,且t为整数).
(1)认真分析上表的数据,用所学过的函数知识,确定满足这些数据的m(件)与t(天)之间的函数关系式;
(2)设未来20天日销售利润为p(元),请求出p(元)与t(天)之间的关系式,并预测未来20天中哪一天的日销售利润最大,最大日销售利润是多少?
(3)当该公司预计日销售利润不低于560元时,请借助
(2)小题的函数图象,求出t的取值范围?
165.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴的右交点为A,顶点D在矩形OABC的边BC上,当y≤0时,x的取值范围是1≤x≤5.
(1)求b,c的值;
(2)直线y=mx+n经过抛物线的顶点D,该直线在矩形OABC内部分割出的三角形的面积记为S,求S与m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围.
166.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象经过A(1,1)、B (2,4)和C三点.
(1)用含a的代数式分别表示b、c;
(2)设抛物线y=ax2+bx+c顶点坐标(p,q),用含a的代数式分别表示p、q;
(3)当a>0时,求证:
p<3/2,q≤1.
167.如图,抛物线与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点c(0,3).
(1)求此抛物线所对应函数的表达式;
(2)若抛物线的顶点为D,在其对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PCD为等腰三角形?
若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
168.已知关于x的一元二次方程x2-4x+2(k-1)=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)如果抛物线y=x2-4x+2(k-1)与x轴的两个交点的横坐标为整数,求正整数k的值;
(3)直线y=x与
(2)中的抛物线在第一象限内的交点为点C,点P是射线OC上的一个动点(点P不与点O、点C重合),过点P作垂直于x轴的直线,交抛物线于点M,点Q在直线PC上,距离点P为√2
个单位长度,设点P的横坐标为t,△PMQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式.
169.已知二次函数y=-x2+3x+k的图象经过点C(0,-2),与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),直线x=m(m>2)与x轴交于点D
(1)在直线x=m(m>2)上有一点E(点E在第四象限),使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似,求E点坐标(用含m的代数式表示);
(2)在
(1)成立的条件下,抛物线上是否存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形?
若存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由.
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170.已知:
二次函数y=ax2-4ax+b图象,开口向上,且b<0,与x轴的两个交点分别为A、B,且满足
,(O为坐标原点),与y轴的交点为C(0,t),顶点的纵坐标为k,且满足
(1)求A、B两点的坐标.
(2)求t的取值范围.
(3)当t取最小值时,求出这个二次函数式.
171.函数y=-3/16x2+3的图象与x轴正半轴交于点A,与y轴交于点B,过点A、B分别作y轴、x轴的平行线交直线y=kx于点M、N.
(1)用k表示S△OBN:
S△MAO的值.
(2)当S△OBN=1/4S△MAO时,求图象过点M、N、B的二次函数的解析式.
172.已知,如图,点M在x轴上,以点M为圆心,2.5长为半径的圆交y轴于A、B两点,交x轴于C
(x1,0)、D(x2,0)两点,(x1<x2),x1、x2是方程x(2x+1)=(x+2)2的两根.
(1)求点C、D及点M的坐标;
(2)若直线y=kx+b切⊙M于点A,交x轴于P,求PA的长;
(3)⊙M上是否存在这样的点Q,使点Q、A、C三点构成的三角形与△AOC相似?
若存在,请求出点的坐标,并求出过A、C、Q三点的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.
173.如图,在直角坐标系中,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC=
,AB=4,CD=2.抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点E是x轴上一点,且以E、A、D、C为顶点的四边形是平行四边形.若过B点的直线把这个四边形的面积分成相等的两部分,求该直线的函数表达式;
(3)P是抛物线对称轴上一点,连接PB、PA,是否存在△PAC是直角三角形?
若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
174.已知抛物线y=x2+x+4.
(1)求此抛物线对称轴与横轴交点A的坐标;
(2)设原点为O,在抛物线上任取点P,求三角形OAP的面积的最小值;
(3)若x为整数,在使得y为完全平方数的所有x的值中,设x的最大值为a,最小值为b,次小值为c.(注:
一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数.)求a、b、c的值.
175.如图,已知直线y=-x+2与坐标轴交于A、B两点,点P在x轴上.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)圆⊙P半径r=√2,当⊙P与直线AB相切时,求圆心P的坐标;
(3)当⊙P与直线AB相切时,恰有一条顶点坐标为C(2,2)的抛物线y=ax2+bx+c经过圆心P,若该抛物线与x轴的两个交点中右边的交点为M,在x轴上方同时也在直线AB上方的抛物线上是否存在一点Q,使四边形ABMQ的面积最大?
若存在,请求出这个最大面积;若不存在,请说明理由.
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176.已知:
抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=
且经过点C(0,-3)和点F(3,-2
).
(1)求抛物线的解析式:
(2)如图1,设抛物线y=ax2+bx+c与x 轴交于A、B两点,与y 轴交于点C,过A、B、C三点的⊙M交y 轴于另一点D,连接AD、DB,设∠CDB=α,∠ADC=β,求cos(α-β)的值;
(3)如图2,作∠CDB的平分线DE交⊙M于点E,连接BE,问:
在坐标轴上是否存在点P,使得以P、D、E为顶点的三角形与△DEB相似.若存在,求出所有满足条件的点P的坐标(不包括点B);若不存在,请说明理由.
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177.如图1,已知抛物线y=1/2x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且OB=2OA=4.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)设P是
(1)中抛物线上的一个动点,以P为圆心,R为半径作⊙P,求当⊙P与抛物线的对称轴l及x轴均相切时点P的坐标.
(3)动点E从点A出发,以每秒1个单位长度的速度向终点B运动,动点F从点B出发,以每秒
个单位长度的速度向终点C运动,过点E作EG∥y轴,交AC于点G(如图2).若E、F两点同时出发,运动时间为t.则当t为何值时,△EFG的面积是△ABC的面积的
178.如图,已知抛物线C1的解析式为y=-x2+2x+8,图象与y轴交于D点,并且顶点A在双曲线上.
(1)求过顶点A的双曲线解析式;
(2)若开口向上的抛物线C2与C1的形状、大小完全相同,并且C2的顶点P始终在C1上,证明:
抛物线C2一定经过A点;
(3)设
(2)中的抛物线C2的对称轴PF与x轴交于F点,且与双曲线交于E点,当D、O、E
、F四点组成的四边形的面积为16.5时,先求出P点坐标,并在直线y=x上求一点M,使|MD-MP|的值最大.
179.如图1,抛物线y=a(x-2)2-2的顶点为C,抛物线与x轴交于A,B两点(其中A点在B点的左边),CH⊥AB于H,且tan∠ACH=1/2
(1)求抛物线的解析式;
(2)在坐标平面内是否存在一点D,使得以O、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形?
若存在,求所有的符合条件的D点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,将
(1)中的抛物线平移,使其顶点在y轴的正半轴上,在y轴上是否存在一点M,使得平移后的抛物线上的任意一点P到x轴的距离与P点到M的距离相等?
若存在,求出M点的坐标;若不存在,请说明理由.
180.如图,在直角坐标系xOy中,点A的坐标为(12,-8),点B、C在x轴上,tan∠ABC=4/3,AB=AC,AH⊥BC于H,D为AC边上一点,BD交AH于点M,且△ADM与△BHM的面积相等.
(1)求点D坐标;
(2)求过B、C、D三点的抛物线的解析式,并求出抛物线顶点E的坐标;
(3)过点E且平行于AB的直线l交y轴于点G,若将
(2)中的抛物线沿直线l平移,平移后的抛物线交y轴于点F,顶点为E′(点E′在y轴右侧).是否存在这样的抛物线,使△E′FG为等腰三角形?
若存在,请求出此时顶点E′的坐标;若不存在,请说明理由.
181.在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数y=ax2-2ax+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),AB=4,与y轴交于点C,且过点(2,3).
(1)求此二次函数的表达式;
(2)若抛物线的顶点为D,连接CD、CB,问抛物线上是否存在点P,使得∠PBC+∠BDC=90°?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)点K为抛物线上C关于对称轴的对称点,点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、K、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?
如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.
182.已知:
抛物线y1=x2以点C为顶点且过点B,抛物线y2=a2x2+b2x+c2以点B为顶点且过点C,分别过点B、C作x轴的平行线,交抛物线y1=x2、y2=a2x2+b2x+c2于点A、D,且AB=AC.
(1)如图1,①求证:
△ABC为正三角形;②求点A的坐标;
(2)①如图2,若将抛物线“y1=x2”改为“y1=x2+1”,其他条件不变,求CD的长;
②如图3,若将抛物线“y1=x2”改为“y1=3x2+b1x+c1”,其他条件不变,求a2的值;
(3)若将抛物线“y1=x2”改为抛物线“y1=a1x2+b1x+c1”,其他条件不变,直接写出b1关于b2的关系式.
183.如图,已知直线y=2x+2与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y=ax2-2ax+c过点C且与直线y=2x+2交于点A(5,12).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)D为x轴上方抛物线上一点,若△DCO与△DBO的面积相等,求D点的坐标;
(3)在线段AB上是否存在点P,过P作x轴的垂线交抛物线于E点,使得以P、B、E为顶点的三角形与△BOC相似?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
184.在平面直角坐标系中,矩形ABCD与等边△EFG按如图①所示放置:
点B、G与坐标原点O重合,F、B、G、C在x轴上,E、A、D三点同在平行于x轴的直线上.△EFG沿x轴向右匀速移动,当点G移至与点C重合时,△EFG即停止移动.在△EFG移动过程中,与矩形ABCD的重合部分的面积S(cm2)与移动时间t(s)的一部分函数图象是线段MN如图②所示(即△EFG完全进入矩形ABCD内部时的一段函数图象)
(1)结合图②,求等边△EFG的边长和它移动的速度;
(2)求S与t的函数关系式,并在图②中补全△EFG在整个移动过程中,S与t的函数关系式的大致图象;
(3)当△EFG移动(√3+1)s时,E点到达P点的位置,一开口向下的抛物线y=1/ax2+bx,过P、O两点且与射线AD相交于点H,与x轴相交于点Q(异于原点).请问a是否存在取某一值或某一范围,使OQ+PH的值为定值?
如果存在,求出a值或a的取值范围;如果不存在,请说明理由.
185.操作探究题:
(1)在平面直角坐标系x0y中,画出函数y=-2x2的图象;
(2)将抛物线y=-2x2怎样平移,使得平移后的抛物线满足:
①过原点,②抛物线与x正半轴的另一个交点为Q,其顶点为P,且∠OPQ=90°;并写出抛物线的函数表达式;
(3)在上述直角坐标系中,以O为圆心,OP为半径画圆,交x轴于A、B(A点在左边)两点,在抛物线
(2)上是否存在一点M,使S△MOA:
S△POB=2:
1?
若存在,求出M点的坐标;若不存在,说明理由.
(4)在(3)的条件下,是否存这样的直线过A点且与抛物线只有一个交点?
若存在,直接写出其解析式.若不存在,说明理由.
186.已知:
直角坐标系xoy中,将直线y=kx沿y轴向下平移3个单位长度后恰好经过B(-3,0)及y轴上的C点.若抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点(点A在点B的右侧),且经过点C,
(1)求直线BC及抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为D,点P在抛物线的对称轴上,且∠APD=∠ACB,求点P的坐标.
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187.在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+2x-3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点E.点C是点A关于点B的对称点,点F是线段BC的中点,直线l过点F且与y轴平行.一次函数y=-x+m的图象过
点C,交y轴于D点.
(1)求点C、点F的坐标;
(2)点K为线段AB上一动点,过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H,与抛物线交于点G,求线段HG长度的最大值;
(3)在直线l上取点M,在抛物线上取点N,使以点A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形,求点N的坐标.
188.如图,菱形ABCD的边长为6且∠DAB=60°,以点A为原点、边AB所在的直线为x轴且顶点D在第一象限建立平面直角坐标系.动点P从点D出发沿折线DCB向终点B以2单位/每秒的速度运动,同时动点Q从点A出发沿x轴负半轴以1单位/秒的速度运动,当点P到达终点时停止运动,运动时间为t,直线PQ交边AD于点E.
(1)求出经过A、D、C三点的抛物线解析式;
(2)是否存在时刻t使得PQ⊥DB,若存在请求出t值,若不存在,请说明理由;
(3)设AE长为y,试求y与t之间的函数关系式;
(4)若F、G为DC边上两点,且点DF=FG=1,试在对角线DB上找一点M、抛物线ADC对称轴上找一点N,使得四边形FMNG周长最小并求出周长最小值.
189.如图所示,抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点,A、B两点的坐标分别为(-1,0)、(0,-3).
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)点E为抛物线的顶点,点C为抛物线与x轴的另一交点,点D为y轴上一点,且DC=DE,求出点D的坐标;
(3)在直线DE上存在点P,使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似,请你直接写出所有满足条件的点P的坐标.
190.已知抛物线y=ax2-2x+c与x轴交于A(-1,0)、B两点,与y轴交于点C,对称轴为x=1,顶点为E,直线y=-1/3x+1交y轴于点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求证:
△BCE∽△BOD;
(3)点P是抛物线上的一个动点,当点P运动到什么位置时,△BDP的面积等于△BOE的面积?
191.如图,关于x的二次函数y=x2-2mx-m-2的图象与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点
(x1<0<x2),与y轴交于C点
(1)当m为何值时,AC=BC;
(2)当∠BAC=∠BCO时,求这个二次函数的表达式.
192.仔细阅读并完成下题:
我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”;如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图,已知“蛋圆”是由抛物线y=ax2-2ax+c的一部分和圆心为M的半圆合成的.点A、B、C分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,已知点A的坐标为(-1,0),AB为半圆的直径,
(1)点B的坐标为(,);点C的坐标为(,),半圆M的半径为;
(2)若P是“蛋圆”上的一点,且以O、P、B为顶点的三角形是等腰直角三角形求符合条件的点P的坐标,以及所对应的a的值;
(3)已知直线y=x-7/2是“蛋圆”的切线,求满足条件的抛物线解析式.
193.已知:
如图,直线y=2x+b与x轴、y轴分别相交于点E、点B(0,3).
(1)填空:
b=;
(2)若直线y=-1/2x与直线y=2x+b的交点为A.
①求∠OAB的度数;
②在直线AB的右侧作菱形ABCD,现有抛物线y=(x-m)2+n的顶点T在直线y=-1/2x上移动,若此抛物线同时与边AB、AD都相交,试m的取值范围.
194.已知:
在直角坐标系中,点C的坐标为(0,-2),点A与点B在x轴上,且点A与点B的横坐标是方程x2-3x-4=0的两个根,点A在点B的左侧.
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的关系式.
(2)如图,点D的坐标为(2,0),点P(m,n)是该抛物线上的一个动点(其中m>0,n<0),连接DP交BC于点E.
①当△BDE是等腰三角形时,直接写出此时点E的坐标.
②连接CD、CP,△CDP是否有最大面积?
若有,求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标;若没有,请说明理由.
195.如图,已知矩形OABC,点P在边OA上(不与端点重合),点Q在边CO上(不与端点重合).
(1)如图
(1),若∠BPQ=90°,且△OPQ与△PAB和△QPB相似,请写出表示这三个三角形相似的式子,并探究此时线段OQ、QB、BA之间的数量关系.
(2)若∠PQB=90°,且△OPQ与△PAB、△QPB都相似,如图
(2),请重新写出表示这三个三角形相似的式子,并证明AB:
OA=
(3)在
(1)中,若OA=8√2,OC=8,OP=√2CQ.以矩形OABC的两边OA、OC所在的直线分别为x轴和y轴,建立平面直角坐标系,如图(3),若某抛物线顶点为P,点B在抛物线上.
①求此抛物线的解析式.
②过线段BP上一动点M(点M与点P、B不重合),作y轴的平行线交抛物线于点N,若记点M的横坐标为m,试求线段MN的长L与m之间的函数关系式,画出该函数的示意图,并指出m取何值时,L有最大值,最大值是多少?
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196.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=2/mx2-2x与x轴负半轴交于点A,顶点为B,且对称轴与x轴交于点C.
(1)求点B的坐标 (用含m的代数式表示);
(2)D为BO中点,直线AD交y轴于E,若点E的坐标为(0,2),求抛物线的解析式;
(3)在
(2)的条件下,点M在直线BO上,且使得△AMC的周长最小,P在抛物线上,Q在直线 BC上,若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标.
197.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”,如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图,点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,已知点D的坐标为(0,-3),AB为半圆的直径,半圆圆心M的坐标为(1,0),半圆半径为2.
(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式,并写出自变量的取值范围;
(2)开动脑筋想一想,相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.
(3)如果直线x=m在线段OB上移动,交x轴于点D,交抛物线于点E,交BD于点F.连接DE和BE后,对于问题“是否存在这样的点E,使△BDE的面积最大?
”小明同学认为:
“当E为抛物线的顶点时,△BDE的面积最大.”他的观点是否
正确?
提出你的见解,若△BDE的面积存在最大值,请求出m的值以及点E的坐标.
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198.已知:
正方
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