函数值域求法十一种.doc
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函数值域求法十一种.doc
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函数值域求法十一种
1.直接观察法
对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
例1.求函数的值域。
解:
∵
∴
显然函数的值域是:
例2.求函数的值域。
解:
∵
故函数的值域是:
2.配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3.求函数的值域。
解:
将函数配方得:
∵
由二次函数的性质可知:
当x=1时,,当时,
故函数的值域是:
[4,8]
3.判别式法
例4.求函数的值域。
解:
原函数化为关于x的一元二次方程
(1)当时,
解得:
(2)当y=1时,,而
故函数的值域为
例5.求函数的值域。
解:
两边平方整理得:
(1)
∵
∴
解得:
但此时的函数的定义域由,得
由,仅保证关于x的方程:
在实数集R有实根,而不能确保其实根在区间[0,2]上,即不能确保方程
(1)有实根,由求出的范围可能比y的实际范围大,故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵
代入方程
(1)
解得:
即当时,
原函数的值域为:
注:
由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。
4.反函数法
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例6.求函数值域。
解:
由原函数式可得:
则其反函数为:
,其定义域为:
故所求函数的值域为:
5.函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。
例7.求函数的值域。
解:
由原函数式可得:
∵
∴
解得:
故所求函数的值域为
例8.求函数的值域。
解:
由原函数式可得:
,可化为:
即
∵
∴
即
解得:
故函数的值域为
6.函数单调性法
例9.求函数的值域。
解:
令
则在[2,10]上都是增函数
所以在[2,10]上是增函数
当x=2时,
当x=10时,
故所求函数的值域为:
例10.求函数的值域。
解:
原函数可化为:
令,显然在上为无上界的增函数
所以,在上也为无上界的增函数
所以当x=1时,有最小值,原函数有最大值
显然,故原函数的值域为
7.换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。
例11.求函数的值域。
解:
令,
则
∵
又,由二次函数的性质可知
当时,
当时,
故函数的值域为
例12.求函数的值域。
解:
因
即
故可令
∴
∵
故所求函数的值域为
例13.求函数的值域。
解:
原函数可变形为:
可令,则有
当时,
当时,
而此时有意义。
故所求函数的值域为
例14.求函数,的值域。
解:
令,则
由
且
可得:
∴当时,,当时,
故所求函数的值域为。
例15.求函数的值域。
解:
由,可得
故可令
∵
当时,
当时,
故所求函数的值域为:
8.数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。
例16.求函数的值域。
解:
原函数可化简得:
上式可以看成数轴上点P(x)到定点A
(2),间的距离之和。
由上图可知,当点P在线段AB上时,
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,
故所求函数的值域为:
例17.求函数的值域。
解:
原函数可变形为:
上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和,
由图可知当点P为线段与x轴的交点时,,
故所求函数的值域为
例18.求函数的值域。
解:
将函数变形为:
上式可看成定点A(3,2)到点P(x,0)的距离与定点到点的距离之差。
即:
由图可知:
(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时,如点,则构成,根据三角形两边之差小于第三边,有
即:
(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时,有
综上所述,可知函数的值域为:
注:
由例17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A、B两点在x轴的两侧,而求两距离之差时,则要使A,B两点在x轴的同侧。
如:
例17的A,B两点坐标分别为:
(3,2),,在x轴的同侧;例18的A,B两点坐标分别为(3,2),,在x轴的同侧。
9.不等式法
利用基本不等式,求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例19.求函数的值域。
解:
原函数变形为:
当且仅当
即当时,等号成立
故原函数的值域为:
例20.求函数的值域。
解:
当且仅当,即当时,等号成立。
由可得:
故原函数的值域为:
10.一一映射法
原理:
因为在定义域上x与y是一一对应的。
故两个变量中,若知道一个变量范围,就可以求另一个变量范围。
例21.求函数的值域。
解:
∵定义域为
由得
故或
解得
故函数的值域为
11.多种方法综合运用
例22.求函数的值域。
解:
令,则
(1)当时,,当且仅当t=1,即时取等号,所以
(2)当t=0时,y=0。
综上所述,函数的值域为:
注:
先换元,后用不等式法
例23.求函数的值域。
解:
令,则
∴当时,
当时,
此时都存在,故函数的值域为
注:
此题先用换元法,后用配方法,然后再运用的有界性。
总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。
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- 函数 值域 求法 一种