秋八年级数学上册2实数教学案新版北师大版.docx
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秋八年级数学上册2实数教学案新版北师大版
第二章 实 数
1.了解平方根、立方根、二次根式、最简二次根式、实数及其相关概念;会求平方根、立方根;能进行有关实数的简单四则运算和简单的二次根式化简,发展运算能力.
2.结合具体情境理解估算的意义,能进行简单的估算,进一步发展数感和估算能力.
经历数系扩充、探求实数性质及其运算规律、借助计算器探索数学规律等活动过程,发展抽象概括能力,并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力.
能运用实数的运算解决简单的实际问题,提高应用意识,发展解决问题的能力,从中体会数学的应用价值.
一、本章主要内容及要求
1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程,理解实数.
2.掌握必要的运算(包括估算)技能.
3.了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根.
4.了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求百以内整数的平方根,会用立方运算求百以内整数(对应的负整数)的立方根,会用计算器求平方根和立方根.
5.了解无理数和实数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应,能求实数的相反数与绝对值.
6.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
7.了解近似数,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,并会按问题的要求对结果取近似值.
8.了解二次根式、最简二次根式的概念,了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用它们进行有关的简单四则运算.
二、教材分析
从有理数扩充到实数是初中阶段数系扩充的最后一个阶段,中学阶段的多数问题是在实数范围内进行的,同时实数也是后继内容(如一元二次方程、函数等)学习的基础.因此,本章学习内容具有基础性,应要求学生能熟练掌握有关实数的运算,适应后续学习的需要.学生以前经历过数系的第一次扩充,已经积累了一些数系扩充的学习经验,感受到数系扩充是源于实际生活的需要.本章再次引领学生经历数系扩充的过程,感受数系扩充的必要性.本章大致按照如下线索展开内容:
无理数的引入——无理数的表示——实数的相关概念及其运算(包括简单的二次根式的化简),实数的应用贯穿于内容的始终.
具体地,教材首先通过拼图活动和计算器探索活动,给出无理数的概念;然后通过具体问题的解决,引入平方根、立方根的概念和开方运算.由于在实际生活和生产中,人们常常通过估算来求无理数的近似值,为此教材安排了一节“估算”,介绍估算的方法,包括通过估算比较大小、检验计算结果的合理性等.接着,教材用类比的方法引入实数的相关概念、运算律和运算性质等,最后,介绍了二次根式的概念及其化简和运算.
在呈现具体内容时,教材关注现实性,力求从学生实际出发,以他们熟悉或感兴趣的问题情境引入学习主题.但考虑到本章内容的特点,以及随着学生年龄的增长,他们的思维水平也在不断提高,因此本章在关注现实性的同时,更加关注数学知识内部的挑战性,为此提供了许多有趣而富有数学含义的问题,如a可能是整数吗?
a可能是分数吗?
……让学生进行数学的思考,进一步提高学生的抽象思维水平.
【重点】
1.经历无理数发现的过程,了解无理数的概念和意义.
2.了解算术平方根、平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、立方根;能用平方运算与立方运算求某些数的平方根与立方根;会用计算器求平方根和立方根,并能探索一些有趣的数学规律.
3.能用有理数估计一个无理数的大致范围,包括通过估算比较大小,检验计算结果的合理性等.
4.了解实数的概念,会按要求对实数进行分类,了解实数的相反数和绝对值的意义,知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系,了解有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用.
5.能对带根号的数进行化简,并能利用化简进行有关实数的简单四则运算.
6.能运用实数的运算解决简单的实际问题.
【难点】
1.无理数概念的理解及应用.
2.解决与实数有关的实际问题时的思维转化.
3.运算性质的掌握与应用.
1.注重概念的形成过程,让学生在概念的形成过程中,逐步理解所学的概念.
概念是由具体到抽象、由特殊到一般,经过分析、综合,去掉非本质特征,保持本质属性而形成的.加强概念形成过程的教学,对提高学生的思维水平是很有必要的.如无理数的引入,要让学生亲身经历活动,感受引入的必要性,初步认识无理数是无限不循环小数这一意义,在教学时,教师要鼓励学生动手、动脑、动口,与同伴进行合作,并充分地开展交流.再如平方根的概念,对正数有两个平方根学生不太容易接受,往往丢掉负的平方根,因为这与他们以前的运算结果唯一的经验不符.对此,在平方根的引入时,教师可多提一些具体的问题,如9的算术平方根是3,也就是说,3的平方是9.还有其他的数,它的平方也是9吗?
……旨在引起学生的思考,让学生从具体的例子中抽象出初步的平方根的概念.接着让学生去讨论:
一个正数有几个平方根?
0有几个平方根?
负数呢?
引导学生更深刻地理解平方根的概念,特别是负数的情况,然后再通过具体的求平方根的练习,巩固新学的概念.
2.鼓励学生自主探索和合作交流.
本章为学生提供了许多有趣而富有数学含义的问题,教学中应当让学生进行充分的探索和交流.如面积为2的正方形的边长a是什么数?
教师应引导学生充分进行交流、讨论与探索,从中感受无理数引入的必要性,并体会无限不循环的过程;再如二次根式的相关运算性质,教学中应让学生经历从具体问题到一般规律的探索过程,鼓励学生借助计算器等工具进行探索、猜测、验证,并用自己的语言清楚地表达.
3.注意运用类比的方法,使学生清楚新旧知识的区别和联系.
七年级时,学生已经学习过有理数的有关概念和运算,本章将学习实数的有关概念及运算.在这些概念、运算律、运算法则的教学中,应加强类比教学,通过新旧知识的类比、对比,认识新旧知识的区别和联系,促进知识系统的构建与完善.如实数的相反数、绝对值等概念是完全类比有理数建立起来的,运算律和运算法则也是通过类比得出的.
1 认识无理数
2课时
2 平方根
2课时
3 立方根
1课时
4 估 算
1课时
5 用计算器开方
1课时
6 实 数
1课时
7 二次根式
3课时
回顾与思考
1课时
1 认识无理数
1.通过拼图活动,感受无理数关系到的实际背景和引入的必要性.
2.借助计算器探索无理数,并从中体会无限逼近思想.
3.会判断一个数是不是无理数.
1.在探究的过程中使学生感受到数的扩张,积累解决数学问题的经验和方法.
2.在探索的过程中体会无理数的产生过程,积累解决数学问题的方法和经验.
1.通过现实中的实例,让学生认识到无理数与实际生活是紧密联系的,数学是来源于实践又应用于实践的.
2.通过“再创造”的过程,体会数学发现的方法和乐趣.
【重点】 理解无理数的概念.
【难点】 判断一个数是不是无理数.
第
课时
感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.
经历动手拼图过程,发展动手能力和探索精神.
通过现实中的实例,让学生认识到无理数与实际生活是紧密联系的,数学是来源于实践又应用于实践的.
【重点】 感受无理数产生的背景.
【难点】 会判断一个数是不是无理数.
【教师准备】 两张边长为1的正方形纸片,多媒体课件.
【学生准备】 两张边长为1的正方形纸片,复习有理数的运算法则及勾股定理有关知识.
导入一:
七年级的时候,我们学习了有理数,知道了整数和分数统称为有理数,考虑下面的问题:
(1)一个整数的平方一定是整数吗?
(2)一个分数的平方一定是分数吗?
[设计意图] 做必要的知识回顾,为第二环节埋下伏笔,便于后续问题的说理,为后续环节的进行起了很好的铺垫作用.
导入二:
一个等腰直角三角形的直角边长为1,那么它的斜边长等于多少?
利用勾股定理计算一下.
【总结】 我们在小学学了非负数,在七年级发现数不够用了,引入了负数,即把小学学过的正数、零扩充到有理数的范围,有理数包括整数和分数,那么有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢?
探究活动
[过渡语] 我们研究一下下面的问题.
1.已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2,算一算斜边长x的平方,并提出问题:
x是整数(或分数)吗?
2.把边长为1的两个小正方形,通过剪、拼,设法拼成一个大正方形,你会吗?
出示教材P21图2-1.
图2-1是两个边长为1的小正方形,剪一剪、拼一拼,设法得到一个大的正方形.
问题1
拼成后的正方形是什么样的呢?
问题2
拼成后的大正方形面积是多少?
问题3
若新的大正方形边长为a,a2=2,则:
①a可能是整数吗?
②a可能是分数吗?
【总结】 没有两个相等的整数的积等于2,也没有两个相等的分数的积等于2,因此a不可能是有理数.
[设计意图] 选取客观存在的“无理数”实例,让学生深刻感受“数不够用了”.巧设问题背景,顺利引入本节课题.
[过渡语] 前面的问题中,我们都不能用有理数来表示,再看下面的问题.
思路一
(1)如图所示,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少?
(2)设该正方形的边长为b,b满足什么条件?
(3)b是有理数吗?
【问题解答】
(1)由勾股定理可知,直角三角形的斜边的平方为5,所以正方形的面积是5.
(2)b2=5.
(3)没有一个整数或分数的平方为5,也就是没有一个有理数的平方为5,所以b不是有理数.
思路二
在下列正方形网格中,先找出长度为有理数的线段,再找出长度不是有理数的线段.
【问题解答】 构造直角三角形,利用勾股定理可得,长度为有理数的线段有AB,EF.长度不是有理数的线段有CD,GH,MN.
[设计意图] 创设从感性到理性的认知过程,让学生充分感受“新数”(无理数)的存在,从而激发学习新知的兴趣,让学生感受到无理数产生的过程,确定存在一种数与以往学过的数不同,了解学习“新数”的必要性.
[过渡语] 我们所学的有理数已经不够用了,需要再扩大数的范围,先在数轴中感受一下.
[知识拓展] 正方形网格中的线段既可以表示有理数,也可以表示有理数之外的数.数轴上的点可以表示有理数,也可以表示有理数之外的数.比如正方形OCBA的对角线长度就不是有理数,数轴上的点P表示的就是这个非有理数.网格上长方形(包括正方形)的对角线的长度都不一定是有理数.
通过生活中的实例,证实了确实存在不是有理数的数.
1.在直角三角形中两个直角边长分别为2和3,则斜边的长( )
A.是有理数 B.不是有理数
C.不确定D.4
答案:
B
2.下列面积的正方形,边长不是有理数的是( )
A.16B.25
C.2D.4
答案:
C
3.在右面的正方形网格中,按照要求连接格点的线段:
长度是有理数的线段为 ,长度不是有理数的线段为 .
答案:
略
第1课时
1.拼接正方形.
2.做一做.
3.a,b存在,但不是有理数.
一、教材作业
【必做题】
教材第21页随堂练习及教材第22页习题2.1第1题.
【选做题】
教材第22页习题2.1第2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的ΔABC中,边长不是有理数的线段有 ,在图中再画一条边长不是有理数的线段.
【能力提升】
2.在任意两个有理数之间都有无数个有理数.假设a,b是两个有理数,且a
【拓展探究】
3.把下列小数化成分数.
(1)0.6;
(2)0.;(3)0..
4.你会在下面的正方形网格(每个小正方形面积为1)中画出面积为10的正方形吗?
试一试.
【答案与解析】
1.AB,BC,AC 略(解析:
AB2=42+12=17,BC2=22+32=13,AC2=22+42=20.)
2.(解析:
答案不唯一,如插入a和b正中间的数.)
3.解析:
(1)0.6=;
(2)设0.=x,则10x=7.,∴9x=7,从而x=;(3)设0.=x,则100x=34.,∴99x=34,从而x=.
解:
(1)0.6=.
(2)0.. (3)0..
4.略
大量事实证明,与生活贴得越近的东西就越容易引起学生的浓厚兴趣,更能激发学生学习的积极性.为此,本课时通过拼图游戏引发学生学习的欲望,把课程内容通过学生的生活经验呈现出来,然后进行大胆质疑.
在教学过程中,没有刻意安排一些环节,帮助理解能力差的学生加深对“新数”的理解.
设计更多的实例让理解能力差的学生较好地理解“新数”.为进一步学习“新数”,即第二课时的教学埋下伏笔.
随堂练习(教材第21页)
解:
因为等边三角形中BC边上的高平分BC,所以h2=22-12=3,所以h不可能是整数,也不可能是分数.
习题2.1(教材第22页)
1.解:
答案不唯一.如图
(1)所示,线段AB,AD,AE,DE,BD,BC的长度都是有理数;线段AC,CE,BE的长度都不是有理数.
2.解:
答案不唯一.如图
(2)所示的是几个符合要求的直角三角形.
一个正方形木块的面积为8平方厘米,那么它的边长满足什么条件?
可能是整数吗?
可能是分数吗?
解:
它的边长的平方为8,没有整数的平方为8,所以边长不可能为整数,也没有一个分数的平方为8,所以边长不可能为分数.
第
课时
掌握无理数的概念;能用所学定义正确判断所给数的属性.
借助计算器探索无理数是无限不循环小数,从中体会无限逼近的思想.
在掌握估算方法的过程中,发展学生的数感和估算能力.
【重点】 能用所学定义正确判断所给数的属性.
【难点】 无理数概念的建立.
【教师准备】 计算器、立方体、多媒体课件.
【学生准备】 计算器、复习有理数的分类.
导入:
前面我们学习了有理数,有理数是如何分类的呢?
1.有理数是如何分类的?
【问题解决】
有理数
2.除上面的数以外,我们还学习过哪些不同的数?
如圆周率π,0.020020002…上节课又了解到一些数,如a2=2,b2=5中的a,b不是整数,能不能转化成分数呢?
那么它们究竟是什么数呢?
本节课我们就来揭示它们的真面目.
[设计意图] 通过这些问题让学生发现有理数不够用了,存在既不是整数,也不是分数的数,激发学生的求知欲,去揭示它们的真面目.
[过渡语] 上一节我们已经感受到数不够用了,下面我们继续探索用什么数来表示.
一、数的小数表示
面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢?
(1)如图所示,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?
说说你的理由.
(2)边长a的整数部分是几?
十分位是几?
百分位呢?
千分位呢?
……借助计算器进行探索.
(3)小明将他的探索过程整理如下,你的结果呢?
边长a
面积S
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- 八年 级数 上册 实数 教学 新版 北师大