全国高考理科数学全国一卷试题和答案解析.docx
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全国高考理科数学全国一卷试题和答案解析
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2018年全国普通高等学校招生全国统一考试
(全国一卷)理科数学
一、选择题:
(本题有12小题,每小题5分,共60分。
)
1、设z=,则∣z∣=()
A.0B.C.1D.
2、已知集合A={x|x
2-x-2>0},则A=()
A、{x|-1 C、{x|x<-1}∪{x|x>2}D、{x|x≤-1}∪{x|x≥2} 3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农 村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图: 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是() A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4、记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=() A、-12B、-10C、10D、12 5、设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线 方程为() A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x 6、在? ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=() 专业知识分享 WORD格式整理 A.-B.-C.+D.+ 7、某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图。 圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A, 圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长 度为() A.2 B.2 C.3 D.2 8.设抛物线C: y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则·=() A.5B.6C.7D.8 9.已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是 () A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞) 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。 此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分 别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为 Ⅱ,其余部分记为Ⅲ。 在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3, 则() A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p3 11.已知双曲线C: -y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点 分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则∣MN∣=() A.B.3C.D.4 12.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面 面积的最大值为() A.B.C.D. 专业知识分享 WORD格式整理 二、填空题: 本题共4小题,每小题5分,共20分。 13.若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为. 14.记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=. 15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有 种.(用数字填写答案) 16.已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是. 三.解答题: 共70分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第17~21题为必考题,每个试 题考生都必须作答。 第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题: 共60分。 17.(12分) 在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=°,AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB; (2)若DC=,求BC. 18.(12分) 如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把? DFC折起,使点C 到达点P的位置,且PF⊥BF. (1)证明: 平面PEF⊥平面ABFD; (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值. 专业知识分享 WORD格式整理 19.(12分) 设椭圆C: +y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0). (1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程; (2)设O为坐标原点,证明: ∠O=∠O. 20、(12分) 某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验 出不合格品,则更换为合格品,检验时,先从这箱产品中任取20件产品作检验,再根据检验结果决 定是否对余下的所有产品做检验,设每件产品为不合格品的概率都为P(0 为不合格品相互独立。 (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(P),求f(P)的最大值点 。 (2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以 (1)中确定的作为P的值,已知 每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔 偿费用。 (i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX; (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验? 专业知识分享 WORD格式整理 21、(12分) 已知函数. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明: . (二)选考题: 共10分。 请考生在第22、23题中任选一题作答。 如果多做,则按所做的第一题计分。 22.[选修4-4: 坐标系与参数方程](10分) 在直角坐标系xOy中,曲线C? 的方程为y=k∣x∣+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立 极坐标系,曲线C? 的极坐标方程为2+2cos-3=0. (1)求C? 的直角坐标方程: (2)若C? 与C? 有且仅有三个公共点,求C? 的方程. 专业知识分享 WORD格式整理 23.[选修4-5: 不等式选讲](10分) 已知f(x)=∣x+1∣-∣ax-1∣. (1)当a=1时,求不等式f(x)﹥1的解集; (2)若x∈(0,1)时不等式f(x)﹥x成立,求a的取值范围. 专业知识分享 WORD格式整理 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、选择题 1.C2.B3.A4.B5.D6.A 7.B8.D9.C10.A11.B12.A 二、填空题 13.614.6315.1616. 33 2 三、解答题 17.解: (1)在△ABD中,由正弦定理得 BDAB sinAsinADB . 由题设知, 52 sin45sinADB 所以 sin 2 ADB. 5 由题设知,ADB90,所以 223 cosADB1. 255 (2)由题设及 (1)知, 2 cosBDCsinADB. 5 在△BCD中,由余弦定理得 专业知识分享 WORD格式整理 2222cos BCBDDCBDDCBDC 2582522 25. 2 5 所以BC5. 18.解: (1)由已知可得,BFPF,BFEF,所以BF平面PEF. 又BF平面ABFD,所以平面PEF平面ABFD. (2)作PHEF,垂足为H.由 (1)得,PH平面ABFD. uuruuuur 以H为坐标原点,HF的方向为y轴正方向,|BF|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz. 由 (1)可得,DEPE.又DP2,DE1,所以PE3.又PF1,EF2,故PEPF. 可得 3 PH, 2 3 EH. 2 则H(0,0,0), 3 P(0,0,), 2 3 D(1,,0), 2 uuur DP 33 (1,,) 22 , uuur HP 3 (0,0,) 2 为平面ABFD的法向量. 设DP与平面ABFD所成角为,则 3 uuuruuur HPDP3 4 sin|uuuruuur|. 4 |HP||DP|3 所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为 3 4 . 19.解: (1)由已知得F(1,0),l的方程为x1. 由已知可得,点A的坐标为 2 (1,) 2 或 2 (1,) 2 . 所以AM的方程为 2 yx2或 2 2 yx2. 2 (2)当l与x轴重合时,OMAOMB0. 当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以OMAOMB. 当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为yk(x1)(k0), A(x,y), 11 B(x,y),则x12,x22, 22 直线MA,MB的斜率之和为 kk MAMB yy 12 x12x22 . 由y1kx1k,y2kx2k得 kk MAMB 2kxx3k(xx)4k 1212 (x2)(x2) 12 . 将yk(x1)代入 2 x 2 21 y得 专业知识分享 WORD格式整理 2222 (2k1)x4kx2k20. 所以, 22 4k2k2 xx,xx 122122 2k12k1 . 则 333 4k4k12k8k4k 2kxx3k(xx)4k0 12122 2k1 . 从而0 kk,故MA,MB的倾斜角互补.所以OMAOMB. MAMB 综上,OMAOMB. 20.解: (1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为 2218 f(p)Cp(1p).因此 20 218217217 f(p)C[2p(1p)18p(1p)]2Cp(1p)(110p). 2020 令f(p)0,得p0.1.当p(0,0.1)时,f(p)0;当p(0.1,1)时,f(p)0.所以f(p)的最大值点为 p00.1. (2)由 (1)知,p0.1. (ⅰ)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知YB(180,0.1),X20225Y,即 X4025Y. 所以EXE(4025Y)4025EY490. (ⅱ)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于EX400,故应该对余下的产品作检验. 21.解: (1)f(x)的定义域为(0,), 2 1axax1 f(x)1. 22 xxx (ⅰ)若a≤2,则f(x)≤0,当且仅当a2,x1时f(x)0,所以f(x)在(0,)单调递减. (ⅱ)若a2,令f(x)0得, 24 aa x或 2 24 aa x. 2 当 2424 aaaa x(0,)U(,)时,f(x)0; 22 当 2424 aaaa x(,)时,f(x)0.所以f(x)在 22 24 aa (0,) 2 , 24 aa (,) 2 单调递减,在 2424 aaaa (,) 22 单调递增. (2)由 (1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a2. 210 由于f(x)的两个极值点x1,x2满足xax,所以 x1x21,不妨设 xx,则 12 x21.由于 f(x)f(x)1lnxlnxlnxlnx2lnx 1212122 1a2a2a 1 xxxxxxxxx 12121212 2 x 2 , f(x)f(x) 所以12 xx 12 a2等价于 1 x 2 x2lnx0 22 . 设函数 1 g(x)x2lnx x ,由 (1)知,g(x)在(0,)单调递减,又g (1)0,从而当x(1,)时,g(x)0. 专业知识分享 WORD格式整理 所以 1 x 2 x2lnx0,即 22 f(x)f(x) 12 xx 12 a 2 . 22.解: (1)由xcos,ysin得 C的直角坐标方程为 2 22 (x1)y4. (2)由 (1)知 C是圆心为A(1,0),半径为2的圆. 2 由题设知, C是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由 1 于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与 C只有一个公共点且l1与C2有两个公共点. 2 当 l与 1 C只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以 2 |k2| 2 k1 2 ,故 4 k或k0.经检验,当 3 k0时, l与C2没有公共点;当 1 4 k时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点. 3 当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以 |k2| 2 k1 2 ,故k0或 4 k.经检验,当k0 3 时,l1与C2没有公共点;当 4 k时,l2与C2没有公共点. 3 4 综上,所求C的方程为y|x|2. 1 3 23.解: 2,x≤1, (1)当a1时,f(x)|x1||x1|,即f(x)2x,1x1, 2,x1. ≥ 1 故不等式f(x)1的解集为{x|x}. 2 (2)当x(0,1)时|x1||ax1|x成立等价于当x(0,1)时|ax1|1成立. 若a≤0,则当x(0,1)时|ax1|≥1; 若a0,|ax1|1的解集为 0x 2 a ,所以 2 a ≥,故0a≤2. 1 综上,a的取值范围为(0,2]. 专业知识分享
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