高中数学不等式归纳讲解.doc
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高中数学不等式归纳讲解.doc
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第三章不等式
定义:
用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。
3-1不等式的最基本性质
①对称性:
如果x>y,那么y<x;如果y<x,那么x>y;
②传递性:
如果x>y,y>z;那么x>z;
③加法性质; 如果x>y,而z为任意实数,那么x+z>y+z;
④乘法性质:
如果x>y,z>0,那么xz>yz;如果x>y,z<0,那么xz<yz;(符号法则)
3-2不等式的同解原理
①不等式F(x)<G(x)与不等式G(x)>F(x)同解。
②如果不等式F(x)<G(x)的定义域被解析式H(x)的定义域所包含,那么不等式F(x)<G(x)与不等式F(x)+H(x)<G(x)+H(x)同解。
③如果不等式F(x)<G(x)的定义域被解析式H(x)的定义域所包含,并且H(x)>0,那么不等式F(x)<G(x)与不等式H(x)F(x)<H(x)G(x)同解;如果H(x)<0,那么不等式F(x)<G(x)与不等式H(x)F(x)>H(x)G(x)同解。
④不等式F(x)G(x)>0与不等式或同解
不等式解集表示方式
F(x)>0的解集为x大于大的或x小于小的
F(x)<0的解集为x大于小的或x小于大的
3-3重要不等式
3-3-1均值不等式
1、调和平均数:
2、几何平均数:
3、算术平均数:
4、平方平均数:
这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn
a1、a2、…、an∈R+,当且仅当a1=a2=…=an时取“=”号
3-3-1-1均值不等式的变形
(1)对正实数a,b,有(当且仅当a=b时取“=”号)
(2)对非负实数a,b,有
(6)对非负数a,b,有
(7)若,有≥(等号仅当时成立)
(8)对非负数a,b,c,有
(9)对非负数a,b,
3-3-1-1最值定理
当两个正数的和一定时,其乘积有最大值;当两个正数的乘积一定时,其和有最小值。
均值不等式求最值主要方法:
常见构造条件的变换:
加项变换,系数变换,平方变换,拆项变换,常量代换,三角代换等.当使用均值定理时等号不能成立时,应考虑函数的单调性(例如“对号”函数,导数法).
3-3-2权方和不等式
a,b,n为正整数。
m为正数。
3-4绝对值不等式
|+|≤||+||
3-5不等式例题解析
3-5-1绝对值不等式
1、求的解
2、右边的常数变为代数式
(1)|+1|>2-;
(2)|-2-6|<3
形如||<,||>型不等式
这类不等式的简捷解法是等价命题法,即:
①||<-<<
②||>>或<-
3、两个绝对值不等式
解不等式
(1)|-1|<|+|;
(2)|x-2|+|x+3|>5.
形如||<||型不等式
1)此类不等式的简捷解法是利用平方法,即:
||<||<0
2)所谓零点分段法,是指:
若数,,……,分别使含有|-|,|-|,……,|-|的代数式中相应绝对值为零,称,,……,为相应绝对值的零点,零点,,……,将数轴分为+1段,利用绝对值的意义化去绝对值符号,得到代数式在各段上的简化式,从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解,即令每项等于零,得到的值作为讨论的分区点,然后再分区间讨论绝对值不等式,最后应求出解集的并集。
零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法,这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法,它可以把求解条理化、思路直观化。
例题.不等式|x+3|-|2x-1|<+1的解集为。
解:
|x+3|-|2x-1|=
4、含参数绝对值不等式
解关于x的不等式
[解题]原不等式等价于
当即时,
∴
当即时,∴x¹-6
当即时,xÎR
方法归纳:
形如||<,||>()型不等式
此类不等式的简捷解法是等价命题法,即:
①当>0时,||<-<<;||>>或<-;
②当=0时,||<无解,||>≠0
③当<0时,||<无解,||>有意义。
4、含参数绝对值不等式有解、解集为空和恒成立的问题
若不等式|-4|+|3-|<的解集为空集,求的取值范围。
[思路]此不等式左边含有两个绝对值符号,可考虑采用零点分段法,即令每一项都等于0,得到的值作为讨论的分区点,然后再分区间讨论绝对值不等式,最后应求出解集的并集,这是按常规去掉绝对值符号的方法求解,运算量较大。
若仔细观察不等式左边的结构,利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|+|≤||+||,便把问题简化。
[解题]解法一
(1)当≤0时,不等式的解集是空集。
(2)当>0时,先求不等式|-4|+|3-|<有解时的取值范围。
令-4=0得=4,令3-=0得=3
①当≥4时,原不等式化为-4+-3<,即2-7<
解不等式组,∴>1
②当3<<4时,原不等式化为4-+-3<得>1
③当≤3时,原不等式化为4-+3-<即7-2<
解不等式,∴>1
综合①②③可知,当>1时,原不等式有解,从而当0<≤1时,原不等式解集为空集。
由
(1)
(2)知所求取值范围是≤1
解法二由|-4|+|3-|的最小值为1得当>1时,|-4|+|3-|<有解
从而当≤1时,原不等式解集为空集。
解法三:
∵>|-4|+|3-|≥|-4+3-|=1
∴当>1时,|-4|+|3-|<有解
从而当≤1时,原不等式解集为空集。
方法总结:
1)一题有多法,解题时需学会寻找最优解法。
2)有解;解集为空集;这两者互补。
恒成立。
有解;解集为空集;这两者互补。
恒成立。
有解;解集为空集;这两者互补。
恒成立。
有解;解集为空集;这两者互补。
恒成立。
6、绝对值三参数不等式问题
已知函数,当时,求证:
;
,则当时,求证:
。
[思路]本题中所给条件并不足以确定参数a,b,c的值,但应该注意到:
所要求的结论不是的确定值,而是与条件相对应的“取值范围”,因此,我们可以用、、来表示,。
因为由已知条件得,,。
[解题]证明:
(1)由,从而有
(2)由
从而
将以上三式代入,并整理得
收获
1)二次函数的一般式中有三个参数.解题的关键在于:
通过三个独立条件“确定”这三个参数.
2)本题变形技巧性强,同时运用公式,及已知条件进行适当的放大。
要求同学们做题时要有敏锐的数学观察能力。
例题2.已知函数f(x)=,a,bR,且,求证|f(a)-f(b)|<|a-b|。
分析:
要证,考察左边,是否能产生|a-b|。
证明:
|f(a)-f(b)|=
(其中,同理∴)
回顾:
1、证题时,应注意式子两边代数式的联系,找出它们的共同点是证题成功的第一步。
此外,综合运用不等式的性质是证题成功的关键。
如在本例中,用到了不等式的传递性,倒数性质,以及“三角形不等式”等等。
2、本题的背景知识与解析几何有关。
函数是双曲线,的上支,而(即),则表示该图象上任意两点连线的斜率的绝对值。
(学过有关知识后),很显然这一斜率的范围是在(-1,1)之间。
2.
(1)已知不等式|x-3|+|x+1| (2)已知不等式|x-3|+|x+1| 分析: “有解”即“解集非空”,可见 (1) (2)两小题的答案(集合)互为补集(全集为R) 当然可以用|x-3|+|x+1|=这种“去绝对值”的方法来解,但我们考虑到“三角形不等式”: ||a|-|b||≤|ab|≤|a|+|b| 知|x-3|+|x+1|≥|x-3-x-1|=4
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