误差理论习题答疑(合肥工业大学_费业泰主编.docx
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误差理论习题答疑目录
1.绪论
2.误差基本原理
3.误差的合成与分解
4.最小二乘法原理
5.回归分析
绪论
绪论1-4
+1-4 在测量某一长度时,读数值为2.31m,其最大绝对误差为20um,试求其最大相对误差。
+解:
最大相对误差≈(最大绝对
误差)/测得值,
□++
绪论1-5
1-5 使用凯特摆时,由公式。
给定。
今测出长度 给定。
今测出长度为(1.04230 0.00005)m,振动时间T为(2.0480 0.0005)s。
试求g及最大相
对误差。
如果 测出为 (1.04220 0.0005)m ,为了使g的误差能小于
,T的测量必须精确到多少?
解:
由得对 进行全微分,令 ,得
,从而的最大相对误差为:
由得
,所以, 。
绪论1-7
1-7为什么在使用微安表时,总希望指针在全量程的2/3范围内使用?
30
解:
设微安表的量程为 ,测量时指针的指示值为X,微安表的精度等级为S,最大
误差,相对误差,一般 故当X越接近 相对误差就越小,故在使用微安表时,希望指针在全量程的2/3范围内使用。
绪论1-9
1-9多级弹导火箭的射程为10000km时,其射击偏离预定点不超过0.1km,优秀选手能在距离50m远处准确射中直径为2cm的靶心,试评述哪一个射击精度高?
解:
火箭射击的相对误差:
选手射击的相对误差:
所以,相比较可见火箭的射击精度高。
绪论1-10
1-10若用两种测量方法测量某零件的长度L1=100mm,其测量误
差分别为而用第三种方法测量另一零件的长度L2=150mm,其测量误差为 ,试比较三种测量方法精度的高低.
解:
第一种方法测量的相对误差为:
第二种方法测量的相对误差为:
□第三种方法测量的相对误差为:
□++相比较可知:
第三种方法测量的精度最高,第一种方法测量的精度最低。
+1.算术平均值
第二章:
误差基本原理
+2.标准差及算术平均值的标准差
+3.测量结果表达方式
+4.粗大误差判断及剔除误差基本原理2-2
2-2测量某物体共8次,测得数据(单位为g)为
236.45,236.37,23.51,236.34,236.39,236.48,236.47,236.40。
试求算术平均值及其标
准差.
解:
算术平均值为:
算术平均值的标准差是:
2-3用别捷尔斯法、极差法和最大误差法计算习题2-2的标准差,并比较之。
解:
①别捷尔斯法:
查表得:
,所以
:
③最大误差法:
查表得:
所以,
综上所述,用贝塞尔公式得到的标准差是0.0212g,别捷尔斯法计算得
到的标准是0.02427g、极差法是0.02109g和最大误差法是0.01941g,故最大误差法计算的得到的标准差最小,别捷尔斯法最大。
2-9 已知某仪器测量的标准差为0.5m+。
①若在该仪器上,对某一轴径测量一次,
测得值为26.2025mm,试写出测量结果。
②若重复测量10次,测得值(单位为mm)为26.2025,26.2028,26.2028,26.2025,26.2026,26.2022,26.2023,26.2025,26.2026,26.
2022,试写出测量结果。
③若手头无该仪器测量的标准差值的资料,试由②中10次重复测量的测量值,写出上述①、②的测量结果。
解:
① + ,测量结果:
②
□+测量结果:
③可由测得数据计算得:
所以对①,测量结果为:
□+++
对②,测量结果为:
2-12 甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角+各测量五次,测得值如下:
+甲:
72'20''+,73'0''+,72'35''+,72'20''+,72'15''+
+乙:
72'25''+,72'25''+,72'20''+,72'50''+,72'45''+
试求其测量结果。
解:
对于甲来说
对于乙来说
+所以两个测量者的权是:
不妨取所以,
□+
即为所求。
2-16对某一线圈电感测量10次,前4次是和一个标准线圈比较得到的,后6次是和
另一个标准线圈比较得到的,测得结果如下(单位为mH):
50.82,50.83,50.87,50.89;
50.78,50.78,50.75,50.85,50.82,50.81。
试判断两组数据间有无系统误差。
解:
用秩和检验法有:
将两组数据混合排列,得
因为 所以有根据怀疑存在系统误
差。
2-17等精度测量某一电压10次,测得结果(单位为V)为
25.94,25.97,25.98,26.01,26.04,26.02,26.04,25.98,25.96,26.07。
测量完毕后,发
现测量装置有接触松动现
象,为判断是否接触不良而引入系统误差,将接触改善后,又重新作了10次等精度测量,测得结果(单位为V)为25.93,25.94,25.98,26.02,26.01,25.90,25.93,26.04,
25.94,26.02。
试用t检验法(取+为0.05)判断两测量值之间是否有系统误差。
解:
用t检验法判断:
第一次测量的数据 ,
第二次测量数据:
;
+所以:
因为 ,取 ,查t分布表,得
所以,无根据怀疑测量列中存在系统误差。
2-19对某量进行两组测量,测得数据如下:
;0.62 0.86 1.13 1.13 1.16 1.18 1.20 1.21 1.22 1.26 1.30 1.34 1.39 1.41
1.57
;0.99 1.12 1.21 1.25 1.31 1.31 1.38 1.41 1.48 1.50 1.59 1.60 1.60 1.84
1.95
试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。
解:
将两组混合排列成下表:
得, 因为 秩和T
近似服从正态分布,
所以,数学期望为,标准差,
所以,
故,当置信概率p<98.36%,此时 此时有根据怀疑两组测量值之间存在系统误差。
而当置信概率p>98.76%时,
此时无根据怀疑两组测量值之间存在系统误差。
2-20 对某量进行15次测量,测得数据为
28.53,28.52,28.50,28.52,28.53,28.53,28.50,28.49,28.49,28.51,28.53,28.52,2
8.49,28.40,28.50,若这些测得值以消除系统误差,试用莱以特准则、格罗布斯准则和狄克松准则分别判断该测量列中是否含有粗大误差 测量值。
思路:
① 莱以特准则:
计算得,
++++根据莱以特准则,第14次测量值的残余误差
所以它含有粗大误差,故将它剔除。
再根据剩下的14个测量值重复上述步骤。
②格罗布斯准则:
按照测量值的大小,顺序排列得, ,现在有2个测量值可怀疑,由于
□+故应该先怀疑X
(1)是否含有粗大误差,
计算,
。
故第14个测量值X
(1) 含有粗大误差,应剔
除。
注意:
此时不能直接对x(15)进行判断,一次只能剔除一个粗差。
重复上述步骤,判断是否还含有粗差。
+③狄克松准则同理,判断后每次剔除一个粗差后重复。
+知识点:
第三章:
误差的合成与分解
+1.系统误差合成
+2.随机误差合成
+3.相关系数
+4.微小误差取舍原则
+5.误差的分解及等作用原则
3-2 为求长方体体积V,直接测量其各边长为161.6amm+,44.5bmm+,
11.2cmm+,已知测量的系统误差为1.2amm++,0.8bmm+++,0.5cmm++
,测量的极限误差为0.8amm+++,0.5bmm+++,0.5cmm+++,试求立方体的体积及其体积的极限误差。
思路:
1.按测得值计算得V;
2.根据系统误差的合成原理求得V的系统误差;
3.计算长方体的体积;
4.根据极限误差的合成原理求得极限误差;此时可写出测量结果表达式。
解:
因为
体积的系统误差:
所以,长方体的体积是:
极限误差为(局部误差方和根):
所以,立方体的体积是 ,体积的极限误差是
3-4 测量某电路的电流22.5ImA+,电压12.6UV+,测量的标准差分别为
解:
先求所耗功率:
,求所耗功率PUI+及其标准差p+。
所以,
+
所以,该电路所耗功率为0.2835W,其标准差为
解:
因为
所以,
解:
如图所示,由勾股定理得
+然后对d1,d2,H1,H2分别求偏导,即得出误差传递系数。
3-10 假定从支点到重心的长度为L的单摆振动周期为T,重力加速度可由公式
给出。
若要求测量g的相对标准差 试问按等作用原则分配误差时,测量L和T的相对标准差应该是多少?
因为测量项目有两个,所以n=2。
按等作用原理分配误差,得
同理,
综上所述,测量L和T的相对标准差分别是0.07072%和0.03536%。
第五章:
最小二乘法原理
+知识点:
+1.最小二乘法原理
+2.正规方程
+3.两种参数估计的方法
+4.精度估计
+推荐掌握:
基于矩阵的的最小二乘法参数估计
参数最小二乘法估计矩阵形式的简单推导及回顾:
由误差方程
□+且要求最小,则:
所以:
理论基础:
5-1 由测量方程试求x、y的最小
二乘法处理及其相应精度。
解:
方法一(常规):
1.列出误差方程组:
即,
由上式可解得结果:
2.直接列表计算给出正规方程常数项和系数
可得正规方程
将yx,的结果代入分别求得:
得,
由题已知, ,得
由不定乘数的方程组
+
□+++
方法二(按矩阵形式计算):
由误差方程
+
上式可以表示为
+
即解得,
将最佳估计值代入误差方程可得,
将计算得到的数据代入式中
为求出估计量y,x,的标准差,首先求出不定常数 由已知,不定常数的系数与正规方程的系数相同,因而是矩阵 中各元素,即
5-3 测力计示值与测量时的温度t的对应值独立测得如下表所示。
t/C+ 15 18 21 24 27 30
/FN 43.6143.6343.6843.7143.7443.78
设t无误差,F值随t的变化呈线性关系 试给出线性方程中系数k0和k的最小二乘估计及其相应精度。
解:
利用矩阵求解,误差方程 可写成
试中,
+所以
+
将最佳估计值代入误差方程 得
□++
+
为求出估计量k0,、k,的标准差,需要求出不定乘数dji的系数,而不定乘数
Dji的系数与正规方程的系数相同,因而Dij是矩阵 中各元素,即
□++++
则
可得估计量的标准差为
5-5不等精度测量的方程组如下:
试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。
解:
利用矩阵计算
+
5-7 将下面的非线性误差方程组化成线性的形式,并给出未知参数
X1,x2,的二乘法处理及其相应精度。
+
所以
解得
则
+知识点:
第六章回归分析
+1.一元线性回归
+2.多元线性回归
+3.方差分析及显著性检验
LOGO
第六章回归分析
6-1 材料的抗剪强度与材料承受的正应力有关。
对某种材料试验的数据如下:
正应力/xPa 26.8 25.4 28.9 23.6 27.7 23.9
抗剪强度/yPa 26.5 27.3 24.2 27.1 23.6 25.9
/xPa 24.7 28.1 26.9 27.4 22.6 25.6
/yPa 26.3 22.5 21.7 21.4 25.8 24.9
假设正应力的数值是精确的,求①抗剪强度与正应力之间的线性回归方程。
②当正应力为24.5Pa时,抗剪强度的估计值是多少?
解:
①
6-7 在4种不同温度下观测某化学反应生成物含量的百分数,每种在同一温度下重复观测三次,数据如
下:
求y对x的线性回归方程,并进行方差分析和显著性检验
6-11用表差法法验证下列数据可以用曲线 表示。
x 0.200.500.701.201.602.10 2.50 2.80 3.20 3.70
y 4.224.324.455.336.688.9111.2213.3916.5321.20
解:
将表中yx,画图得曲线如图所示,从曲线上按 读取
列入下表。
,因表中极接近常数,此组观测数据可用表示
6-12炼焦炉的焦化时间y与炉宽1
x及烟
道管相对温度2
x的数据如下:
y/min 6.40 15.05 18.75 30.25 44.85 48.94 51.55 61.50 100.44 111.42
1
x/m 1.32 2.69 3.56 4.41 5.35 6.20 7.12 8.87 9.80 10.65
x2 1.15 3.40 4.10 8.75 14.82 15.15 15.32 18.18 35.19 40.40
求回归方程 检验显著性,并讨论x1,x2对y的影响。
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