成考数学专升本分章练习及答案.doc
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成考数学专升本分章练习及答案.doc
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综合练习一函数、极限与连续(答案)
一、填空题
1.函数的定义域是(用区间表示).
2.函数的定义域是(用区间表示).
3.函数的定义域是(用区间表示).
4.复合函数是由简单函数复合而成的.
5.复合函数是由简单函数复合而成的.
6.复合函数是由简单函数复合而成的.
7.;;;;.
8.;;=;=.
9.;;;;
=;.
10.;;若,则.
11.;;;
;.
*12.若,当时,在下面两种情况下,确定的值.
(1)若为无穷大量,则,;
(2)若为无穷小量,则,.
*13.若则的值分别是.
14.函数的间断点有个,分别为.
15.设函数,在处间断.
*16.为使函数在处连续,须补充定义.
二、单项选择题(每小题的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
1.下列极限存在的是【A】.
(A)(B)(C)(D)
2.下列极限正确的是【A】.
(A)不存在 (B)(C)(D)
3.若,则下列说法中错误的是【C】.
(A)(B)与的存在无关;
(C);(D)(=0)
4.下列等式成立的是【B】.
(A)(B)(C)(D)
5.下列极限正确的是【B】.
(A)(B)(C)(D)
6.若,则【A】.
(A)(B)(C)(D)
7.函数的间断点有【C】个.
(A)1(B)2(C)3(D)4
8.函数的间断点【D】.
(A)只有两点(B)只有两点(C)只有两点(D)有三点
9.下列关于函数叙述中,正确的是【D】.
(A)在点处连续(B)在点处间断(C)在点处连续(D)在点处间断
三、求下列极限:
1.解:
.
2.解:
.
3.解:
.4.
解:
.
四、设函数,
(1)求函数在点处的左极限、右极限;
(2)当和取何值时,函数在点处连续.
解:
(1),.
(2)若要使函数在点处连续,必须;
故可得,即,
于是,时,函数在点处连续.
五、设函数,为何值时,才能使函数在上连续?
解:
在区间上,函数是初等函数,故在此区间上连续,
因此只要函数在点处连续,则函数在上连续.
若要使函数在点处连续,必须.
而,,.
故可得.于是当,时,函数在上连续.
综合练习二导数与微分(答案)
一、填空题
1.下列各题中均假定存在,按照导数的定义观察,表示什么?
(1),则.
(2)其中且存在,则.
(3),则.
2.=;=;=,=.
3.若,则.
4.若,则;若,则.
5.若,则;若,则.
6.若,则;若,则.
7.设,则=.
8.设,则,.
9.设,则.
10.设,则.
11.设,则,.
12.曲线上点处的切线斜率是,切线方程是.
*13.设函数由方程所确定,则曲线在点处的法线方程为
.
*14.设物体作变速直线运动,规律为,则该物体在时刻的速度.
二、单项选择题(每小题的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
1.设函数,则【B】.
(A) (B) (C) (D)
2.函数在点处可导是在点处连续的【C】.
(A)必要条件(B)充分必要条件(C)充分条件(D)无关条件
3.设在点处不连续,则【B】.
(A)必存在 (B)必不存在(C)必存在 (D)必不存在
4.函数在点处【C】.
(A)无极限 (B)有极限但不连续(C)连续但不可导(D)可导且可微
5.函数在点处可导是在点处可微的【B】.
(A)必要条件(B)充分必要条件(C)充分条件(D)无关条件
6.以下条件中,【A】不是函数在点处连续的充分条件.
(A)存在 (B)存在 (C)在可微 (D)
7.函数在点处可导的充分必要条件是【B】.
(A)在点连续 (B),其中是常数
(C)与都存在 (D)存在
8.若函数有,则当时,该函数在点处的微分是【C】.
(A)与等价的无穷小 (B)比低阶的无穷小
(C)与同阶的无穷小 (D)比高阶的无穷小
9.设函数可微,,,,则【C】.
(A) (B) (C) (D)
*10.设函数由参数方程确定,则曲线上在点处的法线与轴交点的横坐标是【A】.
(A) (B) (C) (D)
三、计算题
1..解:
.
2.设,求.解:
,.
*3.求函数的二阶导数,其中二阶可导.解:
,.
*4..
解:
,.
5.方程确定是的函数,求.
解:
方程两边同时关于求导,得:
,解出,得:
.
*6.已知,求.
解:
方程两边同时关于求导,得:
,即
解出,得:
.
7.求曲线在点处的切线方程.
解:
曲线方程两边同时关于求导,得:
,
解出,得:
.,于是切线方程为.
*8.求曲线在相应的点处的切线方程和法线方程.
解:
,,,,,
于是切线方程为;法线方程为.
综合练习三导数的应用(答案)
一、填空题
1..
2..
3..
4..
5..
6.函数的可能极值点是和.
7.设在内可导,若,则在内的单调性为单调递减;
若,则在内的单调性为单调递增.
8.函数的可能极值点是和.
9.若函数在内连续,在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增,
则极大值点为,极大值为;极小值点为,极小值为.
10.设在内二阶可导,若,则在内的凹凸性为凸的;若,
则在内的凹凸性为凹的.
11.函数在闭区间上的最小值为,最大值为.
12.函数在上的最小值为,最大值为;在上的最小值为,
最大值为.
*13.设在区间上的最大值为,最小值为,已知,则,
.
14.函数的铅直渐近线为.
15.函数的水平渐近线为.
16.函数的铅直渐近线为;水平渐近线为.
二、单项选择题(每小题的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
1.可导函数在区间内单调增加是函数在区间内的【A】.
(A)必要条件(B)充分条件 (C)充分必要条件 (D)以上都不对
2.函数所有可能极值点是【C】.
(A)驻点 (B)一阶不可导点 (C)驻点和一阶不可导点 (D)不确定
3.设函数在区间内一阶、二阶导存在,且对于区间内所有点都有且,则函数在区间内【B】.
(A)单增且上凹 (B)单增且下凹 (C)单减且上凹 (D)单减且下凹
4.O
p
Q
需求曲线的特征是【C】.
(A) (B)
(C) (D)
5.是函数在点处取得极值的【D】.
(A)必要条件(B)充分条件 (C)充分必要条件 (D)以上都不对
6.设函数在区间内一阶、二阶导存在,且对于区间内所有点都有且,则函数在区间内【D】.
(A)越增越快(B)越增越慢(C)越减越快(D)越减越慢
7.函数在区间内严格单调递增,则应满足【B】.
(A)(B)(C)(D)
三、求下列极限:
1.求.解:
.
2.求.
解:
.
3.求.
解:
.
四、解答题
1.求函数的单调区间和极值.
解:
(1)定义域.
(2),令,得到驻点,定义域内没有不存在的点.
(3)列表讨论
1
+
0
--
↗
极大值
↘
因此该函数在区间单调增加,在区间单调减少.在点处取得极大值.
2.确定曲线的凹向和拐点.
解:
(1)定义域.
(2),,为不存在的点.
(3)列表讨论
0
不是拐点
因此该曲线在区间与内是凸的.没有拐点.
3.求函数在上的最小值和最大值.
解:
,
故函数是单调递增函数,单调递增函数在端点处取得最值.
因此最小值为:
,最大值为:
.
五、铁路线上AB段的距离为100km,工厂C距A处为20km,并AC垂直于AB(如图),为了运输需要,要在AB线上选定一点D向工厂C修筑一条公路.已知铁路与公路每千米货运的运费之比为3:
5,为了使产品从工厂C运到消费点B的运费最省,问D点应选在何处?
解:
设,货物从C点运到B点需要的总运费为y,则
(是某个正数)
即).
.解方程得.
由于,,,其中以为最小,
因此当时总运费最省.
综合练习四不定积分(答案)
一、填空题
1.若在区间上,则叫做在该区间上的一个原函数;的两个
原函数之间有什么关系:
;的带有任意常数的原函数叫
做在该区间上的不定积分,记为.
2.设函数是的一个原函数,则,,.
3.若,则.
4.设,则.
5.一曲线在任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数,且该曲线通过点,则该曲线的方程为
.
6.,,.
7.,,.
8.,,.
9.设为连续函数,则.
10.若,则(其中).
*11.已知,则.
*12.,.
13.已知是的一个原函数,则.
二、单项选择题(每小题的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
1.为任意常数,且,下列等式成立的是【B】.
(A)(B)
(C)(D)
2.函数的一个原函数是,则【C】.
(A)(B)(C)(D)
3.若,则【C】.
(A)(B)(C)(D)
4.过点,且切线斜率为的曲线方程为【B】.
(A)(B)(C)(D)
5.若,则【D】.
(A)(B)(C)(D)
6.【D】.
(A)(B)(C)(D)
7.下列积分正确的是【D】.
(A)(B)
(C)(D)
8.【B】.
(A)(B)(C)(D)
9.=【A】.
(A)(B)(C)(D)
*10.【C】.
(A)(B)
(C)(D)
三、求下列不定积分:
1.
解:
原式.
2.解:
原式.
3.解:
原式.
*4.解:
原式.
*5.
解:
原式
.
*6.
解:
原式.
7.
解:
令,则,;
原式
.
8.(分部积分公式)
解:
令,则.原式.
9.(分部积分公式)
解:
令,则.
原式.
10.(分部积分公式)
解:
令,则.原式.
*11.已知,求.
解:
.
.(令,则.)
四、解答题
*1.若函数为的一个原函数,求不定积分.
解:
因为为的一个原函数,所以,令,则
令,则.
于是.
综合练习五定积分及其应用(答案)
一、填空题
1.=,,,.
2.若函数在[]上连续,则.
3.利用定积分的几何意义,填空:
=,=,
,.
4.设,由定积分的几何意义,.
5.比较下列积分的大小:
,.
6.=;.
7.已知=,则.
8.=,=.
9.设在区间上连续,则.
10.=,=.
11.由曲线,()及轴所围成图形的面积.
二、单项选择题(每小题的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
1.设有下列4个条件:
(1)函数在上连续;
(2)函数在上有界;(3)函数
在上可导;(4)函数在上可积,则这四个条件之间的正确关系是【B】.
(A)(B)
(C)(D)
2.设为连续函数,下列等式正确的是【A】.
(A)(B)
(C)(D)
*3.设,,,则有【D】.
(A)(B)(C)(D)
4.下列广义积分收敛的是【D】.
(A)(B)(C)(D)
5.下列广义积分收敛的是【C】.
(A)(B)(C)(D)
6.设在区间上,,,,记,,
,则【B】.
(A)(B)(C)(D)
7.如下图所示,函数由4个半圆形构成,设函数,且非负,则的取值范
围内是【A】.
(A)
(B)只有
(C)只有
(D)只有
(E)只有
8.如图,曲线段的方程为,函数在上有连续的导数,则定积分等于
【C】.
(A)曲边梯形的面积(B)梯形的面积
(C)曲边三角形的面积(D)三角形的面积
三、解答题
1.求.
解:
==.
2.求.
解:
.
3.求.
解:
.
*4.求.
解:
令,则.
(令,则.)
于是.
5.求.解:
.
6.求.解:
.
*7.已知,求.
解:
令,,则,当时,,当时,,
.
*8.设连续函数满足,求.
解:
,,于是.
*9.设在上连续,且求.
解:
令,则.
四、定积分的几何应用题
1.求位于曲线下方,该曲线过原点的切线的左方以及轴上方之间的图形的面积.
解:
设切点的坐标为,,切线方程为.
又且.于是.
*2.证明:
由平面图形,绕轴旋转所成的旋转体的体积为.
证明:
取横坐标为积分变量,与区间上任一小区间相应的窄条图形绕轴旋转所成的旋转体近似于一圆柱壳,柱壳的高为,厚为,底面圆周长为,故其体积近似等于,从而有元素法即得结论.
3.求曲线由,及围成的图形,绕轴及轴旋转所成的旋转体体积.
解:
;
.
4.求由,及轴所围图形(右侧一块)的面积,并求该图形分别绕轴、轴旋转所生成的旋转体的体积.
解:
;
;
.
第17页共18页
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