双缝干涉条纹间距公式的推导两种方法Word文档格式.docx
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dl»
x^氐lit匕r:
+r-Q2:
l>
&
所以:
r;
-rF—x即:
S
1
(k=0j±
19±
29±
3>
—)
当6等于光波波长入的整数倍时>
两列波在P点同相加强>
出现壳条纹♦d
即kA=〒x
(k=0,±
2,±
3,…
则x=kL
d
所以△x=*e-xk
ddd
1即二万入
□
当S等于光波半波长-的奇数倍时,两列波在p•点反
相減弱>
出现暗条纹:
3
即(2kH)—=—x(k=O>
±
l>
2>
3^—>
'
21
niia
RIJx=(2k+l)—・—(k=O>
l,±
2,±
—)
d2
121
所以Ax二Xk-xk=(2k+3)—(2kH)—・
d2d
A1
—————A♦1
2d
即△X=—A(5)2
根据(4)、(5)两式可知:
相邻两条明纹(或暗纹)I'
可距离均为△x=1/dA,而I、d和入都为定值,所以屏上的干涉条纹是等间距的。
[应用]相干光经双缝产生于涉现象,为发生如下变化时,干涉条纹如何变化?
(1)屏幕移近;
(2)缝距变小;
(3)波长变长;
[分析]由公式从=1/d入可知,相邻两条明纹(或暗纹)间距离&
与I、入成正比,与d成反比。
(1)若屏幕移近,贝0丨变小,因此条纹间距Ax变小,条纹变得密集。
(2)若缝距d变小,则Ax变大,条纹变得稀疏。
(3)若波长入变长,则山变大。
因此若入射光为口光,则中央明纹(白色)的两侧,出现彩色条纹,且靠近中央明纹的是紫光。
另外在研究干涉现象时,…般不称呼明条纹和暗条纹它们的宽度是多少,这是因为从光的能量角度讲,从明条纹到暗条纹衔接处,是连续变化的,没有分界线。
ny
dO
►
x
如图建立直角坐标系,其
x轴上横坐标为
pl
—的点与
-的点为两波源。
这两个波源的振动情况完全相同,则这两个波源发生干涉时的加强区为到两个波源的距离
d,0、-,0为所有双曲线的公共焦点。
这个双曲线簇的方程为:
22
2nT
解得:
xn
.222
dn
l2
上式中,d的数量级为104m,为107m。
故d2n22d2,x的表达式简化为:
可见,交点横坐标成一等差数列,公差为
(1)条纹是等间距的;
(2)相邻两条纹的间距为—。
-,这说明:
至此,证明了条纹间距公式:
杨氏双缝干涉条纹间距到底是不是相等的
海军航空工程学院李磊梁吉峰选自《物理教师》2008年第11期
在杨氏双缝干涉实验中,在现行的高中物理教科书中得出相邻的明纹(或者暗纹)中心间距为:
Zx=L"
d,其中L为双缝与屏的间距,d为双缝间距,对单色光而
言,其波长入为定值,所以我们得出的结论是干涉图样为等间距的一系列明暗相同的条纹,但是在现行的高中物理教科书中所给的干涉条纹的照片却并非如此,如图1。
我们可以看到只是在照片中央部分的干涉条件是等间距的,但是在其边缘部分的条纹的间距明显与中央部分的条纹间距不同。
问题到底出在哪里呢
首先我们来看现行的教科书上对于杨氏双缝干涉的解释,如图2。
as屛
m2
设定双缝S、9的间距为d,双缝所在平面与光屏P平行。
双缝与屏之间的垂直距离为L,我们在屏上任取一点P1,设定点P1与双缝Si、S2的距离分别为ri和Z
O为双缝S1、S2的中点,双缝S1、S2的连线的中垂线与屏的交点为P0,设P1与P0的距离为x,为了获得明显的干涉条纹,在通常情况下L>
>
d,在这种情况下由双缝S1、S2发出的光到达屏上P1点的光程差&
为
SM=r2—门~dsin0,
(1)
其中B也是OPo与OPi所成的角。
因为d«
L,B很小,所以
sin穴tan0=[
(2)
因此Xdsin0~d[
、“x
当&
注d[=±
k入时,屏上表现为明条纹,其中k=0,1,2,……,(3)
X1
疋d[=±
(k+2)入时,屏上表现为暗条纹,其中是k=0,1,2,……。
(3)
我们继续算得光屏上明条纹和暗条纹的中心位置。
当x=±
kL入时,屏上表现为明条纹,其中k=0,1,2,…。
(4)
1L
(k+)d入时,屏上表现为暗条纹,其中k=0,1,2,…。
(4'
)
我们还可以算出相邻明条纹(或者暗条纹)中心问的距离为
L
ZX=Xk+1—Xk=~入。
(5)
至此我们得出结论:
杨氏双缝干涉条纹是等间距的。
S1M丄S2P1,S1M
问题就在于以上的推导过程中,我们用过两次近似,第1次是在运用公式&
=「2—dsin0的时候,此式近似成立的条件是/S1P1S2很小,因此有
丄OP1,因此/P0OP1=Z9SM,如果要保证/SP1S2很小,只要满足d<
<
L即可,因此虫疋dsin0是满足的。
第2次近似是因为d<
L,0很小,所以sin銓tan0。
下面我们通过表1来比较sin0与tan0的数值。
表1
1°
2°
3°
4°
5°
6°
7°
sin0
tan0
8°
9°
10°
11°
tan0sin0
从表1中我们可以看出当0=6°
寸,—^0—~%。
因此当0>
6时,相对误差就超过了%,因此我们通常说sin0=tan0成立的条件是(X5°
当0>
5时,sin0~
tan0就不再成立。
而在杨氏双缝干涉实验中,0很小所对应的条件应该是x<
L,这应该对应于光屏上靠近Po的点,在此种情况下上述的推导过程是成立的,干涉条纹是
等间距的。
而当x较大时,也就是光屏上离Po较远的点所对应的0角也较大,当0>
5。
时,sin0~tan0就不再成立,上述推导过程也就不完全成立了,
(2)式就不能再用了。
dx
所以,Xdsin0==±
k人屏上表现为明条纹,其中k=0,1,2,…,
x'
L2x2
人屏上表现为暗条纹,其中
k=0,1,2,
〜dsin0=fdx==±
(k+*)L2x2
Ik
因此可以得到光屏上明纹或者暗纹的中心位置为x=±
——k,屏上表现为明条纹,其中k=0,1,2,…,
Jd2k22
则相邻的明条纹中心问距为
L(k1)Lk
Zx明=xk+1明一xk明=
d2(k1)22d2k22
邻暗条纹中心间距为
11
L(k1)L(k)
Zx暗=Xk+1暗—一Xk暗=——:
討(k12)22Jd2(k2)22
由上式可见相邻的明、暗条纹就不再是等间距的了,这也正如教科书上的照片所示的条纹分布。
下面我们通过一个实例来定量计算等间距条纹的条数。
例1:
用氦氖激光器(频率为X1014Hz)的红光照射间距为2mm的双缝时,试求我们能观察到的等间距的条纹的条数。
解:
因为Z=dsin0=k入,所以
dsin0Vsin0亠
k=■~==错误!
入c
考虑到光屏的两侧,我们最终能够在光屏上观察到的等间距的条纹大致为5条。
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