复合函数知识总结及例题.doc
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复合函数问题
一、复合函数定义:
设y=f(u)的定义域为A,u=g(x)的值域为B,若AB,则y关于x函数的y=f[g(x)]叫做函数f与g的复合函数,u叫中间量.
二、复合函数定义域问题:
(1)、已知的定义域,求的定义域
思路:
设函数的定义域为D,即,所以的作用范围为D,又f对作用,作用范围不变,所以,解得,E为的定义域。
例1.设函数的定义域为(0,1),则函数的定义域为_____________。
解析:
函数的定义域为(0,1)即,所以的作用范围为(0,1)
又f对lnx作用,作用范围不变,所以
解得,故函数的定义域为(1,e)
例2.若函数,则函数的定义域为______________。
解析:
先求f的作用范围,由,知
即f的作用范围为,又f对f(x)作用所以,即中x应满足即,解得
故函数的定义域为
(2)、已知的定义域,求的定义域
思路:
设的定义域为D,即,由此得,所以f的作用范围为E,又f对x作用,作用范围不变,所以为的定义域。
例3.已知的定义域为,则函数的定义域为_________。
解析:
的定义域为,即,由此得
所以f的作用范围为,又f对x作用,作用范围不变,所以
即函数的定义域为例4.已知,则函数的定义域为-------
解析:
先求f的作用范围,由,知
解得,f的作用范围为,又f对x作用,作用范围不变,所以,即的定义域为
(3)、已知的定义域,求的定义域
思路:
设的定义域为D,即,由此得,的作用范围为E,又f对作用,作用范围不变,所以,解得,F为的定义域。
例5.若函数的定义域为,则的定义域为____________。
解析:
的定义域为,即,由此得
的作用范围为,又f对作用,所以,解得
即的定义域为
评注:
函数定义域是自变量x的取值范围(用集合或区间表示)f对谁作用,则谁的范围是f的作用范围,f的作用对象可以变,但f的作用范围不会变。
利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉,值得大家探讨。
三、复合函数单调性问题
(1)引理证明
已知函数.若在区间)上是减函数,其值域为(c,d),又函数在区间(c,d)上是减函数,那么,原复合函数在区间)上是增函数.
证明:
在区间)内任取两个数,使
因为在区间)上是减函数,所以,记,即
因为函数在区间(c,d)上是减函数,所以,即,
故函数在区间)上是增函数.
(2).复合函数单调性的判断
复合函数的单调性是由两个函数共同决定。
为了记忆方便,我们把它们总结成一个图表:
增↗
减↘
增↗
减↘
增↗
减↘
增↗
减↘
减↘
增↗
以上规律还可总结为:
“同向得增,异向得减”或“同增异减”.
(3)、复合函数的单调性判断步骤:
ⅰ 确定函数的定义域;
ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数:
与。
ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性;
ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增函数,或都是减函数),则复合后的函数为增函数; 若两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个是增函数,而另一个是减函数),则复合后的函数为减函数。
(4)例题演练
例1、求函数的单调区间,并用单调定义给予证明
解:
定义域
单调减区间是设则
=
∵∴
∴>又底数
∴即
∴在上是减函数
同理可证:
在上是增函数
[例]2、讨论函数的单调性.
[解]由得函数的定义域为
则当时,若,∵为增函数,∴为增函数.
若,∵为减函数.
∴为减函数。
当时,若,则为减函数,若,则为增函数.
例3、.已知y=(2-)在[0,1]上是x的减函数,求a的取值范围.
解:
∵a>0且a≠1
当a>1时,函数t=2->0是减函数
由y=(2-)在[0,1]上x的减函数,知y=t是增函数,
∴a>1
由x[0,1]时,2-2-a>0,得a<2,
∴1<a<2
当00是增函数
由y=(2-)在[0,1]上x的减函数,知y=t是减函数,
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