行程问题基础.题库教师版Word文档下载推荐.doc
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总路程平均速度总时间。
典型例题:
模块一、简单行程公式解题
【例1】韩雪的家距离学校480米,原计划7点40从家出发8点可到校,现在还是按原时间离开家,不过每分钟比原来多走16米,那么韩雪几点就可到校?
【解析】原来韩雪到校所用的时间为20分钟,速度为:
(米/分),现在每分钟比原来多走16米,即现在的速度为(米/分),那么现在上学所用的时间为:
(分钟),7点40分从家出发,12分钟后,即7点52分可到学校.
【巩固】甲、乙两地相距100千米。
下午3点,一辆马车从甲地出发前往乙地,每小时走10千米;
晚上9点,一辆汽车从甲地出发驶向乙地,为了使汽车不比马车晚到达乙地,汽车每小时最少要行驶多少千米?
.
【解析】马车从甲地到乙地需要100÷
10=10小时,在汽车出发时,马车已经走了9-3=6(小时)。
依题意,汽车必须在10-6=4小时内到达乙地,其每小时最少要行驶100÷
4=25(千米).
【巩固】两辆汽车都从北京出发到某地,货车每小时行60千米,15小时可到达。
客车每小时行50千米,如果客车想与货车同时到达某地,它要比货车提前开出几小时?
【解析】北京到某地的距离为:
(千米),客车到达某地需要的时间为:
(小时),(小时),所以客车要比货车提前开出3小时。
【巩固】甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相向而行,甲车先行三小时后乙车从B地出发,乙车出发5小时后两车还相距15千米.甲车每小时行48千米,乙车每小时行50千米.求A、B两地间相距多少千米?
【解析】在整个过程中,甲车行驶了3+5=8=(小时),行驶的路程为:
48×
8=384(千米);
乙车行驶了5小时,行驶的路程为:
50×
5=250(千米),此时两车还相距15千米,所以A、B两地间相距:
384+250+15=649(千米).
【巩固】一天,梨和桃约好在天安门见面,梨每小时走千米,桃每小时走千米,他们同时出发小时后还相距千米,则梨和桃之间的距离是多少千米?
【解析】我们可以先求出小时梨和桃走的路程:
(千米),又因为还差千米,所以梨和桃之间的距离:
(千米).
【巩固】两列火车从相距千米的两城相向而行,甲列车每小时行千米,乙列车每小时行千米,小时后,甲、乙两车还相距多少千米?
【解析】两车的相距路程减去小时两车共行的路程,就得到了两车还相距的路程:
【巩固】小白从家骑车去学校,每小时千米,用时小时,回来以每小时千米的速度行驶,需要多少时间?
【解析】从家到学校的路程:
(千米),回来的时间(小时).
【例2】邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面山里,从邮局开始要走12千米上坡路,8千米下坡路。
他上坡时每小时走4千米,下坡时每小时走5千米,到达目的地停留1小时以后,又从原路返回,邮递员什么时候可以回到邮局?
【解析】法一:
先求出去的时间,再求出返回的时间,最后转化为时刻。
①邮递员到达对面山里需时间:
12÷
4+8÷
5=4.6(小时);
②邮递员返回到邮局共用时间:
8÷
4+12÷
5+1+4.6=2+2.4+1+4.6=l0(小时)③邮递员回到邮局时的时刻是:
7+10-12=5(时).邮递员是下午5时回到邮局的。
法二:
从整体上考虑,邮递员走了(12+8)千米的上坡路,走了(12+8)千米的下坡路,所以共用时间为:
(12+8)÷
4+(12+8)÷
5+1=10(小时),邮递员是下午7+10-12=5(时)回到邮局的。
【例3】一个人站在铁道旁,听见行近来的火车汽笛声后,再过57秒钟火车经过他面前.已知火车汽笛时离他1360米;
(轨道是笔直的)声速是每秒钟340米,求火车的速度?
(得数保留整数)
【解析】火车拉汽笛时离这个人1360米.因为声速每秒种340米,所以这个人听见汽笛声时,经过了(1360÷
340=)4秒.可见火车行1360米用了(57+4=)61秒,将距离除以时间可求出火车的速度.1360÷
(57+1360÷
340)=1360÷
61≈22(米)
【例4】龟兔赛跑,同时出发,全程6990米,龟每分钟爬30米,兔每分钟跑330米,兔跑了10分钟就停下来睡了215分钟,醒来后立即以原速往前跑,问龟和兔谁先到达终点?
先到的比后到的快多少米?
【解析】先算出兔子跑了(米),乌龟跑了(米),此时乌龟只余下(米),乌龟还需要(分钟)到达终点,兔子在这段时间内跑了(米),所以兔子一共跑(米).所以乌龟先到,快了(米).
【例5】甲、乙两地相距6720米,某人从甲地步行去乙地,前一半时间平均每分钟行80米,后一半时间平均每分钟行60米.问他走后一半路程用了多少分钟?
【解析】方法一:
由于前一半时间与后一半时间的平均速度是已知的,因此可以计算出这人步行的时间.而如果了解清楚各段的路程、时间与速度,题目结果也就自然地被计算出来了.应指出,如果前一半时间平均速度为每分钟80米,后一半时间平均速度为每分钟60米,则这个人从甲走到乙的平均速度就为每分钟走(80+60)÷
2=70米.这是因为一分钟80米,一分钟60米,两分钟一共140米,平均每分钟70米.而每分钟走80米的时间与每分钟走60米的时间相同,所以平均速度始终是每分钟70米.这样,就可以计算出这个人走完全程所需要的时间是6720÷
70=96分钟.由于前一半时间的速度大于后一半时间的速度,所以前一半的时间所走路程大于6720÷
2=3360米.则前一个3360米用了3360÷
80=42分钟;
后一半路程所需时间为96-42=54分钟.
方法二:
设走一半路程时间是x分钟,则80x+60x=6720,解方程得:
x=48分钟,因为80×
48=3840(米),大于一半路程3360米,所以走前一半路程速度都是80米,时间是3360÷
80=42(分钟),后一半路程时间是48+(48-42)=54(分钟).
评注:
首先,从这道题我们可以看出“一半时间”与“一半路程”的区别.在时间相等的情况下,总的平均速度可以是各段平均速度的平均数.但在各段路程相等的情况下,这样做就是不正确的.其次,后一半路程是混合了每分钟80米和每分钟60米两种状态,直接求所需时间并不容易.而前一半路程所需时间的计算是简单的.因此,在几种方法都可行的情况下,选择一种好的简单的方法.这种选择能力也是需要锻炼和培养的.
【巩固】甲、乙两地相距6千米,某人从甲地步行去乙地,前一半时间平均每分钟行80米,后一半时间平均每分钟行70米.问他走后一半路程用了多少分钟?
全程的平均速度是每分钟(米),走完全程的时间是(分
钟),走前一半路程速度一定是80米,时间是(分钟),后一半路程时间是(分钟).
设走一半路程时间是x分钟,则,解得(分钟),因为(米),大于一半路程3000米,所以走前一半路程速度都是80米,时间是(分钟),后一半路程时间是(分钟).
模块二、平均速度问题
【例6】如图,从A到B是12千米下坡路,从B到C是8千米平路,从C到D是4千米上坡路.小张步行,下坡的速度都是6千米/小时,平路速度都是4千米/小时,上坡速度都是2千米/小时.问小张从A到D的平均速度是多少?
【解析】从A到B的时间为:
6=2(小时),从B到C的时间为:
4=2(小时),从C到D的时间为:
4÷
2=2(小时),从A到D的总时间为:
2+2+2=6(小时),总路程为:
12+8+4=24(千米),那么从A到D的平均速度为:
24÷
6=4(千米/时).
【巩固】如图,从A到B是6千米下坡路,从B到C是4千米平路,从C到D是4千米上坡路.小张步行,下坡的速度都是6千米/小时,平路速度都是4千米/小时,上坡速度都是2千米/小时.问从A到D的平均速度是多少?
6÷
6=1(小时),从B到C的时间为:
4=1(小时),从C到D的时间为:
1+1+2=4(小时),总路程为:
6+4+4=14(千米),那么从A到D的平均速度为:
14÷
4=3.5(千米/时)
【巩固】摩托车驾驶员以每小时30千米的速度行驶了90千米到达某地,返回时每小时行驶45千米,求摩托车驾驶员往返全程的平均速度.
【解析】要求往返全程的平均速度是多少,必须知道摩托车“往”与“返”的总路程和“往”与“返”的总时间.摩托车“往”行了90千米,“返”也行了90千米,所以摩托车的总路程是:
90×
2=180(千米),摩托车“往”的速度是每小时30千米,所用时间是:
90÷
30=3(小时),摩托车“返”的速度是每小时45千米,所用时间是:
45=2(小时),往返共用时间是:
3+2=5(小时),由此可求出往返的平均速度,列式为:
2÷
(90÷
30+90÷
45)=180÷
5=36(千米/小时)
【巩固】甲乙两地相距200千米,小强去时的速度是10千米/小时,回来的速度是40千米/小时,求小强往返的平均速度.
【解析】去时的时间(小时),回来的时间(小时),平均速度总路程总时间(千米/小时).
【巩固】一辆汽车从甲地出发到300千米外的乙地去,前120千米的平均速度为40千米/时,要想使这辆汽车从甲地到乙地的平均速度为50千米/时,剩下的路程应以什么速度行驶?
【解析】
求速度首先找相应的路程和时间,平均速度说明了总路程与总时间的关系,剩下的路程为:
300-120=180(千米),计划总时间为:
300÷
50=6(小时),前120千米已用去120÷
40=3(小时),所以剩下路程的速度为:
(300-120)÷
(6-3)=60(千米/时).
【巩固】一个运动员进行爬山训练.从地出发,上山路长30千米,每小时行3千米.爬到山顶后,沿原路下山,下山每小时行6千米.求这位运动员上山、下山的平均速度.
【解析】这道题目是行程问题中关于求上、下山平均速度的问题.解题时应区分平均速度和速度的平均数这两个不同的概念.速度的平均数(上山速度+下山速度),而平均速度上、下山的总路程上、下山所用的时间和.所以上山时间:
(小时),下山时间:
(小时),上、下山平均速度:
(千米/小时).
【例7】一个人从甲地去乙地,骑自行车走完全程的一半时,自行车坏了,又无法修理,只好推车步行到乙地.骑车时每小时行12千米,步行时每小时4千米,这个人走完全程的平均速度是多少?
【解析】①参数法:
设全程的的一半为S千米,前一半时间为,后一半时间为,根据公式平均速度=总路程÷
总时间,可得(千米)。
②题目中没有告诉我们总的路程,给计算带来不便,仔细想一想,前一段路程与后一段路程相等,总路程是不影响平均速度的,我们自己设一个路程好了,路程的一半既是12的倍数又是4的倍数,所以可以假设路程的一半为(千米),来回两段路,每段路程12千米,那么总路程是:
(千米),总时间是:
(小时),所以平均速度是:
(千米/小时)
注意:
在这种特定的题目中,随便选一个方便的数字做总路程并不是不科学的,因为我们可以把总路程设为“单位1”,这样做无非是设了“单位24”,也就是把所有路程扩大了24倍变成整数,没有任何问题,不论总路程设成多少,结论都是一样的,大家可以验证一下.
【巩固】汽车往返于A,B两地,去时速度为40千米/时,要想来回的平均速度为48千米/时,回来时的速度应为多少?
设A、B两地相距S千米,列式为S÷
(2S÷
48-S÷
40)=60千米.
②最小公倍法:
路程2倍既是48的倍数又是40的倍数,所以可以假设路程为〔48,40〕=240千米.根据公式变形可得240÷
(240÷
48-240÷
【巩固】飞机以720千米/时的速度从甲地到乙地,到达后立即以480千米/时的速度返回甲地.求该车的平均速度.
【解析】设两地距离为:
(千米),从甲地到乙地的时间为:
(小时),从乙地到甲地的时间为:
(小时),所以该飞机的平均速度为:
(千米)。
【巩固】汽车以72千米/时的速度从甲地到乙地,到达后立即以48千米/时的速度返回甲地。
求该车的平均速度。
【解析】想求汽车的平均速度=汽车行驶的全程÷
总时间,在这道题目中如果我们知道汽车行驶的全程,进而就能求出总时间,那么问题就迎刃而解了。
在此我们不妨采用“特殊值”法,这是奥数里面非常重要的一种思想,在很多题目中都有应用。
①把甲、乙两地的距离视为1千米,总时间为:
1÷
72+1÷
48,平均速度=2÷
(1÷
48)=57.6千米/时。
②我们发现①中的取值在计算过程中不太方便,我们可不可以找到一个比较好计算的数呢?
在此我们可以把甲、乙两地的距离视为[72,48]=144千米,这样计算时间时就好计算一些,平均速度=144×
(144÷
72+144÷
【巩固】从前有座山,山上有座庙,庙里有个老和尚会讲故事,王先生开车去拜访这位老和尚,汽车上山以30千米/时的速度,到达山顶后以60千米/时的速度下山.求该车的平均速度.
(千米),上山时间为:
(小时),下山时间为:
【巩固】某人上山速度为每小时8千米,下山的速度为每小时12千米,问此人上下山的平均速度是多少?
用设数代入法,设从山脚至山顶路程为48千米,下山用时为(小时),共用时(小时),路程为(千米),平均速度为(千米/小时)
设路程为单位1,上山用时为,下山用时为,共用时,距离为,平均速度为(千米/小时).
【巩固】胡老师骑自行车过一座桥,上桥速度为每小时12千米,下桥速度为每小时24千米,而且上桥与下桥所经过的路程相等,中间也没有停顿,问这个人骑车过这座桥的平均速度是多少?
【解析】千米/小时.
【例8】小明去爬山,上山时每时行2.5千米,下山时每时行4千米,往返共用3.9时。
小明往返一趟共行了多少千米?
路程=总时间×
平均速度,先求出平均速度,设上下山路程为10千米,10×
(10÷
2.5+10÷
4)=20÷
6.5=40/13(千米/时)所以总路程:
40/13×
3.9=12(千米)。
设上山用小时,下山用小时,所以列方程为:
,解得,所以小明往返共走:
【巩固】小明上午九点上山,每小时3千米,在山顶休息1小时候开始下山,每小时4千米,下午一点半到达山下,问他共走了多少千米.
【解析】上午九点上山下午1点半下山,用时4.5小时,除去休息的一个小时,上山和下山共用时3.5小时.上山速度3千米/小时,下山速度4千米/小时,若假设上下山距离为12千米的话,则上山用时4小时,下山用时3小时,总用时应为7小时,而实际用时3.5小时,则实际路程应为千米
【巩固】小明从甲地到乙地,去时每时走2千米,回来时每时走3千米,来回共用了5小时.小明去时用了多长时间?
平均速度,先求出平均速度,设上下山路程为6千米,6×
(6÷
2+6÷
3)=12÷
5=2.4(千米/时)所以总路程:
2.4×
5=12(千米),所以去时用时间为:
(小时)
,解得,所以去时用时间为3小时。
方法三:
因为路程速度时间,来回的路程是一样的,速度不同导致所用的时间不同,同时,速度与时间的乘积是不变的,因为去时的速度与回来时的速度之比为2:
3,所以去时的时间与回来时的时间比为3:
2,把去时用的时间看作3份,那么回来时所用时间为2份,它们的和为5,由和倍关系式,去时所用的时间为(小时).
【巩固】小明从甲地到乙地,去时每时走2千米,回来时每时走3千米,来回共用了15小时.小明去时用了多长时间?
【解析】假设总路程为6千米,那么去时用(小时),回来用(小时),来回共用5小时,而题目中是15小时,是假设时间5小时的3倍,那么总路程就是(千米)。
所以,去时用了(小时)。
【例9】小王每天用每小时15千米的速度骑车去学校,这一天由于逆风,开始三分之一路程的速度是每小时10千米,那么剩下的路程应该以怎样的速度才能与平时到校所用的时间相同
【解析】由于要求大风天和平时到校时间所用时间相同,在距离不变的情况下,平时的15千米/小时相当于平均速度.若能再把总路程“任我意”出来,在已知总距离和平均速度的情况下,总时间是可求的,例如假设总路程是30千米,从而总时间为小时.开始的三分之一路程则为10千米,所用时间为小时,可见剩下的20千米应用时1小时,从而其速度应为20千米/小时.
【例10】有一座桥,过桥需要先上坡,再走一段平路,最后下坡,并且上坡、平路及下坡的路程相等。
某人骑自行车过桥时,上坡、走平路和下坡的速度分别为4米/秒、6米/秒和8米/秒,求他过桥的平均速度。
【解析】假设上坡、走平路及下坡的路程均为24米,那么总时间为:
4+24÷
6+24÷
8=13(秒),过桥的平均速度为(米/秒).
【巩固】有一座桥,过桥需要先上坡,再走一段平路,最后下坡,并且上坡、平路及下坡的路程相等.某人骑电动车过桥时,上坡、走平路和下坡的速度分别为11米/秒、22米/秒和33米/秒,求他过桥的平均速度.
【解析】假设上坡、平路及下坡的路程均为66米,那么总时间=66÷
11+66÷
22+66÷
33=6+3+2=11(秒),过桥的平均速度=66×
3÷
11=18(米/秒)
【巩固】一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开始爬行一周.在三条边上它每分钟分别爬行50cm,20cm,40cm(如右图).它爬行一周平均每分钟爬行多少厘米?
【解析】假设每条边长为200厘米,则总时间=200÷
50+200÷
20+200÷
40=4+10+5=19(分钟),爬行一周的平均速度=200×
19=(厘米/分钟).
【例11】(2007年4月“希望杯”四年级2试)赵伯伯为了锻炼身体,每天步行3小时,他先走平路,然后上山,最后又沿原路返回.假设赵伯伯在平路上每小时行4千米,上山每小时行3千米,下山每小时行6千米,在每天锻炼中,他共行走多少千米?
【解析】上山3千米/小时,平路4千米/小时,下山6千米/小时。
假设平路与上下山距离相等,均为12千米,则首先赵伯伯每天共行走千米,平路用时小时,上山用时小时,下山用时小时,共用时小时,是实际3小时的4倍,则假设的48千米也应为实际路程的4倍,可见实际行走距离为千米。
设赵伯伯每天走平路用小时,上山用小时,下山用小时,因为上山和下山的路程相同,所以,即.由题意知,所以.因此,赵伯伯每天锻炼共行(千米),平均速度是(千米/时).
【例12】张师傅开汽车从A到B为平地(见下图),车速是36千米/时;
从B到C为上山路,车速是28千米/时;
从C到D为下山路,车速是42千米/时.已知下山路是上山路的2倍,从A到D全程为72千米,张师傅开车从A到D共需要多少时间?
设BC距离为:
(千米),所以CD距离为(千米),那么B-C-D的平均速度为:
(千米/小时),和平路的速度恰好相等,说明A-B-C-D的平均速度为36千米/小时,所以从A-D共需要的时间为:
设上山路为千米,下山路为千米,则上下山的平均速度是:
(千米/时),正好是平地的速度,所以行总路程的平均速度就是36千米/时,与平地路程的长短无关.因此共需要(小时).
【巩固】老王开汽车从A到B为平地(见右图),车速是30千米/时;
从B到C为上山路,车速是22.5千米/时;
从C到D为下山路,车速是36千米/时.已知下山路是上山路的2倍,从A到D全程为72千米,老王开车从A到D共需要多少时间?
【解析】设上山路为x千米,下山路为2x千米,则上下山的平均速度是:
(x+2x)÷
(x÷
22.5+2x÷
36)=30(千米/时),正好是平地的速度,所以行AD总路程的平均速度就是30千米/时,与平地路程的长短无关.因此共需要72÷
30=2.4(时).
【例13】小明从家到学校有两条一样长的路,一条是平路,另一条是一半上坡路、一半下坡路.小明上学走两条路所用的时间一样多.已知下坡的速度是平路的2倍,那么平路的速度是上坡的多少倍?
设路程为80,则上坡和下坡均是40.设走平路的速度是2,则下坡速度是4.走下坡用时间,走平路一共用时间,所以走上坡时间是,走与上坡同样距离的平路时用时间:
.因为速度与时间成反比,所以平路速度是上坡速度的(倍).
因为距离和时间都相同,所以平均速度也相同,又因为上坡和下坡路各一半也相同,设距离是1份,时间是1份,则下坡时间,上坡时间,上坡速度,则平路速度是上坡速度的(倍).
方法三:
因为距离和时间都相同,所以路程上坡速度路程路程,得上坡速度,则平路速度是上坡速度的(倍).
模块三、假设法解行程题
【例14】王师傅驾车从甲地开往乙地交货.如果他往返都以每小时60千米的速度行驶,正好可以按时返回甲地.可是,当到达乙地时,他发现从甲地到乙地的速度只有每小时50千米.如果他想按时返回甲地,他应以多大的速度往回开?
【解析】假设甲地到乙地的路程为300,那么按时的往返一次需时间300÷
60×
2=10(小时),现在从甲到乙花费了时间300÷
50=6(小时),所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是10-6=4(小时).即如果他想按时返回甲地,他应以300÷
4=75(千米/时)的速度往回开.
【例15】解放军某部开往边境,原计划需要行军18天,实际平均每天比原计划多行12千米,结果提前3天到达,这次共行军多少千米?
【解析】“提前3天到达”可知实际需要天的时间,而“实际平均每天比原计划多行12千米”,则15天内总共比原来15天多行的路程为:
(千米),这180千米正好填补了原来3天的行程,因此原来每天行程为(千米),问题就能很容易求解.原来的速度为:
(千米/天),因此总行程为:
(千米)另外本题通过画矩形图将会更容易解决:
其中矩形的长表示时间,宽表示速度,由路程速度时间可知,矩形的面积表示的是路程,通过题意可以知道甲的面积等于乙的面积,乙的面积为,所以“?
”处应为,而“?
”表示的是原计划的速度,则这次行军的路程为:
【巩固】某人要到60千米外的农场去,开始他以6千米/时的速度步行,后来有辆速度为18千米/时的拖拉机把他送到了农场,总共用了6小时.问:
他步行了多远?
【解析】求步行路程,而且步行速度已知,需要求步行时间.如果6小时全部乘拖拉机,可以行进:
(千米),(千米),其中,这48千米
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