高考数学专题函数零点的个数问题文档格式.docx
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若关于x的函数易于作出图像,则优先进行参变分离。
所以在本题中将方程转变为ax2lnx1,构造函数
gxx2lnx1并进行数形结合。
的取值范围是(
D
小炼有话说:
(1)本题体现了三类问题之间的联系:
即函数的零点方程的根函数图象
的交点,运用方程可进行等式的变形进而构造函数进行数形结合,解决这类问题要选择合适的函数,以便于作图,便于求出参数的取值范围为原则。
(2)本题所求k在图像中扮演两个角色,一方面决定fx左侧图像直线的倾斜角,另一方
面决定水平线的位置与x轴的关系,所以在作图时要兼顾这两方面,进行数形结合。
例4:
已知函数
fx满足fxf3x,当x
1,3,fxlnx,若在区间
1,9
内,
函数
gxf
xax有三个不同零点,
则实数a
的取值范围是()
ln3,1
ln31
ln3
ln3
A.
B.,
C.
D.
3e
93e
92e
9
3
思路:
Qfx
f3xfxf
x
,当x
3,9时,fxf
xln
,所以
lnx,1x3fxx,而gx
ln,3x9
fxax有三个不同零点yfx与yax有三
本题有以下两个亮点。
1)如何利用fx
x,已知x1,3,fx的解析式求x3,9,fx的解析式。
3
2)参数a的作用为直线
yax的斜率,故数形结合求出三个交点时a的范围
例
5:
已知函
数
f(x)
是
定
义在
0
0,
上的偶函数,当x0时,
2|x1|
1,
f
(x)
2,
则函数
g(x)
4f(x)
1的零点个数为()
fx
A
.4
B.
6
C.8
D.10
由fx为偶函数可得:
只需作出正半轴的图像,再利用对称性作另一半图像即可,当
(1)fxfx2类似函数的周期性,但有一个倍数关系。
依然可以考虑利用周期性
的思想,在作图时,以一个“周期”图像为基础,其余各部分按照倍数调整图像即可
(2)周期性函数作图时,若函数图像不连续,则要注意每个周期的边界值是属于哪一段周期,在图像中要准确标出,便于数形结合。
(3)巧妙利用fx的奇偶性,可以简化解题步骤。
例如本题中求交点个数时,只需分析正
半轴的情况,而负半轴可用对称性解决
例6:
对于函数fx,若在定义域内存在..实数x,满足fxfx,称fx为“局部奇函数”,若fx4xm2x1m23为定义域R上的“局部奇函数”,则实数m的取值范
围是()
A.13m13
B.13m
22
C.
22m22
D.22m
13
思路
:
由“局部奇函数”可得:
4x2m2xm234
x2m
2x
2m
30,整理可
得:
4x4x2m2x2x
2m260,考虑到4x
4x
2,从而可将
2x视为整体,方程转化为:
2x2x22m2x
2m2
8
0,利用换元设
t2x2x(t2),则问题转化为只需让方程t22mt2m280存在大于等于2的解即可,故分一个解和两个解来进行分类讨论。
设gtt22mt2m280。
(1)若方程有一个解,则有相切(切点xm大于等于2)或相交(其中交点在x2两侧),
即0或g20,解得:
m22或13m13
m2
022m22
(2)若方程有两解,则g20,解得:
m13,m1313m22,
m2m2
综上所述:
13m22
2x2x视
本题借用“局部奇函数”概念,实质为方程的根的问题,在化简时将
为整体,进而将原方程进行转化,转化为关于2x2x的二次方程,将问题转化为二次方程根
分布问题,进行求解。
已知函数yfx的图像为R上的一条连续不断的曲线,当x0时,
小炼有话说:
1)本题由于fx解析式未知,故无法利用图像解决,所以根据条件考虑构造函数,利用
单调性与零点存在性定理进行解决。
的xfx相联系,从而构造出hx
fx2fx
f1体现的是间隔2个单位的自变量,其函数值差f1,联想到周期性,考虑先求出f1的值,由fx为偶函数,可令x1,得f1
x2
x,fx为周期是2的周期函数。
已知条件中函数
本题有以下几个亮点:
特殊值,解出f1,进而判定周期,配合对称性作图
2)在选择出交点的函数时,若要数形结合,则要选择能够做出图像的函数,例如在本题中,
实数t的取值范围是(
4
A.0,
B.
23,2
43,3
D.
3,
x4
解方程可视为
影响yt1
ymaxt)
由
,先做出
件作出fx
的图像(如图),可发现只要在x
2处,f
的图像高于
gx图像且在x6
处fx的图像低于gx图像即可。
所以有
f6
g6
f(6)
g2
f
(2)
,即
2t2
B
例10:
(2014甘肃天水一中五月考)已知函数
sin
1,x
的图像上
logax
0,a
1,x
关于y轴对称的点至少有3对,则实数a的取值范围是
A.0,5
5
55,1
33,1
0,33
考虑设对称点为
转化为方程
fx0
1的图像,通
1logax
gx
x1与hxlogax有三个交点,先做出
ysinx
过观察可知若
ylogax与其有三个交点,则0a1,
进一步观察图
像可得:
只要
则满足题意,所以
sin512
loga52loga5loga2loga5a
125,所以
a2
三、近年模拟题题目精选:
1、已知f(x)是以2为周期的偶函数,当x[0,1]时,f(x)x,那么在区间(1,3)内,
关于x的方程f(x)
kxk(k
R)有4个根,则k的取值范围是().
k
1或k
B.
0k
D.
2、
(2014吉林九校联考二模,
16)若直角坐标平面内
A,B两点满足条件:
①点A,B都在函数
fx的图像上;
点A,B关于原点对称,则称A,B是函数fx的一个“姊妹点对”(A,B
零点,则a的取值范围是
且x00,则a的取值范围是(
等的实根,则实数k的取值范围是
B.12,1
C.1,2
D.2,
7、(2014,天津)已知函数fx
异的实数根,则实数a的取值范围是
8、(2015,江苏)已知函数fx
实根的个数为
9、已知函数f
ax
3x2
围是(
A.2,
10、对于函数
g
mn
A.
11
f(x)
1,则称
xax
2,73
已知偶
3x,xR,
lnx,gx
1,若fx
x,设mx|f
若方程f
10恰有4个互
0,0
x1
2,x
,则方程
存在唯一的零点x0,且x0
0,则a的取值范
2D.
1
x0,nx|gx0
x与gx互为“零点关联函数”,若函数fx
3互为“零点关联函数”,则实数a的取值范围是(
B.73,3
C.2,3
若存在
log2x
D.2,4
m,n使得
数f(x)满足对任意xR,均有f(1x)f(3
x2),x[0,1],若方程3f(x)
m(1
x1,x(1,2]
12、(2016,河南中原第一次联考)已知函数
内恰有9个零点,则实数a的值为
13、(2014,四川)已知函数fxexax2
底数
1x
e与
x)且
x恰有5个实数解,则实数m的取值范围
bx
1)设gx是函数fx的导函数,求函数gx
cos2xasinx在区间0,nnN
1,a,bR,e2.71828L为自然对数的
在区间0,1上的最小值
2)若f10,函数fx在区间0,1内有零点,求a的取值范围
习题答案:
1、答案:
1,0
解析:
根据周期性和对称性可作出fx的图像,直线f(x)kxk(kR)过定点
结合图像可得:
若(1,3)内有四个根,可知k
0,。
若直线与fx在
2,3相切,联立
方程:
x2kykxk
3k0,令
0可得:
63,当
3时,解得
x5
2,3
,综上所述:
0,14
2、答案:
关于原点对称的两个点为
x,y和x,
y,不妨设
0,则有
e,
x2x
从而x2
2x,所以“姊妹点对”的个数为方程
e
的个数,即曲线
yx
2x与
x的交点个数,作出图像即可得有两个交点e
3、答案:
x2,2
2得f(2x)2
D
x,
x
所以
f(2
x)
即y
f(x)f(2
2x
5x
f(x)g(x)
f(2
的4个公共点,
4、答案:
a
gx
x2,
2,x
8,x
(x
x)b,所以
2)2,x
b0有4个不同的解,即函数
由图象可知7b
0U1,
xb由两个零点,
两个交点。
可在同一直角坐标系下作出
yx2有两个交点,故符合题意;
当
2.
即方程fx
yx,y
0a1时,
2,
15105
51015
x恰有4个零点等价于方程
yb与函数yf(x)f(2x)的图象
b有两个根,从而yfx与yb有
x2,观察图像可得:
a0时,水平线与
fx为增函数,所以最多只有一个零点,
不符题意;
当a1时,存在水平线与yx3,yx2分别有一个交点,共两个符合题意。
综
上所述:
a
5、答案
C
32ax3x
10
3a
3,令t,依题意可知y
xx
a与y
3tt3应在有唯
一交点且位于t
0的区域。
设gt
3tt3,所以g'
t33t2
31t
1t,则gt
在1,0,0,1单增,在,1,1,单减,g12,g12,作出图像可知只有
当a2时,ya与y3tt3有唯一交点,且在t0的区域。
6、答案:
7、答案:
0,1U9,
数形结合即可得到a0,1U9,
8、答案:
4
方程等价于
xgx1,即fxgx1或fxgx1共多少个
1,0x1
根,
y1gxx21,1x2,数形结合可得:
f
x与y
1gx有两个交点;
7x2,x2
y
1gxx23,1x2,同理可得fx与y
1g
x有两个交点,所以共
5x2,x2
计4个
9、答案:
C
ax3
3x21
33,令tx
1,依题意可知at3
3t只有一个零
点t0且t0
0,即y
a与g
t
t3
3t只有
一个在横轴正半轴的交点。
gt
3t23可
知gt在
1,
减,
在
1,1增,
g
12作出图像可得只有
a2时,
ya与gtt33t只有一个在横轴正半轴的交点。
10、答案:
先从fx
log2x1
e1x入手,可知fx为单增函数,且f1
0,所以fx
有唯一零点x1,即m1;
所以1n1
0n2,即gx
xaxa3在0,2
有零点。
考虑方程x2axa30
2,即ya与
a2,3
11、答案:
837415415837(6,6)U(6,6)
yx1
2在0,2有公共点即可,数形结合可得:
当m0时,方程恰有5个解
方程3m[1(x4)2]
x有两个解且方程
3m[1(x8)2]x无解,考虑这两个方程的判别式可得
154
m
837;
由对称性,
当m0时,方程恰有5个解的范围是837m
12、答案:
g(x)2sinxasinx1,令tsinx,则g(x)2t2at1.考察x(0,2)的函数g(x)的零点个数,即如下图所示为tsinx,x(0,2)的图象,易知:
(1)方程2t2at10的一个根为1,另一个根为(1,0)时,g(x)在(0,2)内有三个零点,此时
,解得a1;
(1)方程2t2at10
根为(0,1)时,g(x)在(0,2
(
1)2
a
(1)1
110
)内有三个零点,此时
解得
1.综上可知当a
1时,f(x)
cos2x
9asinx在(0,2)内有3个解.再由
3可
知,n236.综上可知a1,n6.13、解析:
(1)gxf'
xex2axb
g'
xex2a
当x0,1时,g'
x12a,e2a
1'
当12a0a时,g'
x0
gx单调递增
gxming0b
1e
当12a0e2aa时
gx在0,ln2a单调递减,在ln2a,1单调递增gxmingln2a2a2aln2ab
e'
当e2a0a时,g'
gx单调递减
fx在0,1不单调,且至少有两个极值点
gxf'
x在0,1至少有两个零点
由
(1)可得:
若
或a
,则
gx在0,1
单调,至多一个零点,均不符题意
x在
0,ln
2a
单调递减,
ln2a,1单调递增
ln2a0
2a2aln
b0
1b
e2a
b
由f
0可得:
ab
be1
a,代入到不等式组可得:
2aln2a
a1e
ae2
e1a
a1
e1
1a
a0
下面判断:
ae
2,1时,
2aln2aa
1e0是否恒成立
设h
3a2aln
2a1e
h'
32a
2ln2a
令h'
0解得
在e
2,e单调递增,在
2e,1
单调递减
max
elne1
2aln
1e0在a
e2,1时恒成立
ae2,1
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- 高考 数学 专题 函数 零点 个数 问题