课堂过关第03章 三角函数三角恒等变换及解三角形Word文档格式.docx
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④弧长公式:
l=|α|r.
扇形面积公式:
S扇形=lr=|α|r2.
2.任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数的定义
设P(x,y)是角α终边上任意一点,且|PO|=r(r>0),则有sinα=,cosα=,tanα=,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.
(2)三角函数在各象限内的正值口诀是:
Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦.
3.三角函数线
设角α的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P,过P作PM垂直于x轴于M,则点M是点P在x轴上的正射影.由三角函数的定义知,点P的坐标为(cosα,sinα),其中cosα=OM,sinα=MP,单位圆与x轴的正半轴交于点A,单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T,则tanα=AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线.
三角函数线
[备课札记]
题型1 三角函数的定义
例1α是第二象限角,P(x,)为其终边上一点,且cosα=x,求sinα的值.
解:
∵OP=,∴cosα==x.又α是第二象限角,∴x<
0,得x=-,∴sinα==.
已知角α的终边经过点P(x,-)(x≠0),且cosα=x,求sinα+的值.
∵P(x,-)(x≠0),
∴点P到原点的距离r=.
又cosα=x,∴cosα==x.
∵x≠0,∴x=±
.∴r=2.
当x=时,P点坐标为(,-),
由三角函数的定义,有
sinα==-,==-,
∴sinα+=--=-;
当x=-时,同理可求得sinα+=.
题型2 三角函数值的符号及判定
例2
(1)如果点P(sinθ·
cosθ,2cosθ)位于第三象限,试判断角θ所在的象限;
(2)若θ是第二象限角,试判断sin(cosθ)的符号.
(1)∵点P(sinθ·
cosθ,2cosθ)位于第三象限,
∴sinθ·
cosθ<
0,2cosθ<
0,即
∴θ为第二象限角.
(2)∵2kπ+<
θ<
2kπ+π(k∈Z),
∴-1<
0,
∴sin(cosθ)<
0.∴sin(cosθ)的符号是负号.
已知点P(tanα,cosα)在第二象限,则角α的终边在第________象限.
由题意,得tanα<0且cosα>0,所以角α的终边在第四象限.
题型3 弧长公式与扇形面积公式
例3 已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径是R.
(1)若α=60°
,R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积;
(2)若扇形的周长是一定值C(C>
0),当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?
(1)设弧长为l,弓形面积为S弓.
∵α=60°
=,R=10,∴l=π(cm).
∴S弓=S扇-S△=×
π×
10-×
102·
sin60°
=50cm2.
(2)∵扇形周长C=2R+l=2R+αR,∴R=,∴S扇=α·
R2=α=·
=·
≤,当且仅当α=,即α=2(α=-2舍去)时,扇形面积有最大值.
(1)已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆心角;
(2)一个扇形OAB的面积是1cm2,它的周长是4cm,求圆心角的弧度数和弦长AB.
(1)设圆心角是θ,半径是r,则
解得或(舍去).
∴扇形的圆心角为.
(2)设圆的半径为rcm,弧长为lcm,
则解得∴圆心角α==2.
如图,过O作OH⊥AB于H,则∠AOH=1弧度.∴AH=1·
sin1=sin1(cm),
∴AB=2sin1(cm).
1.若角α与的终边相同,则在[0,2π]内终边与的终边相同的角是________.
,,,
由题意,得α=+2kπ(k∈Z),=+(k∈Z).又∈[0,2π],所以k=0,1,2,3,=,,,.
2.(2014·
全国)已知角α的终边经过点(-4,3),则cosα=________.
根据题意,cosα==-.
3.已知扇形的周长为8cm,则该扇形面积的最大值为________cm2.
4
设扇形半径为rcm,弧长为lcm,则2r+l=8,S=rl=r×
(8-2r)=-r2+4r=-(r-2)2+4,所以Smax=4(cm2).
4.若角α的终边与直线y=3x重合且sinα<0,又P(m,n)是角α终边上一点,且|OP|=,则m-n=________.
2
依题意知解得m=1,n=3或m=-1,n=-3.又sinα<0,∴α的终边在第三象限,∴n<0,∴m=-1,n=-3,∴m-n=2.
1.设集合M=,N={α|-π<α<π},则M∩N=________.
由-π<-<π,得-<k<.∵k∈Z,
∴k=-1,0,1,2,故M∩N=.
2.已知α=,回答下列问题.
(1)写出所有与α终边相同的角;
(2)写出在(-4π,2π)内与α终边相同的角;
(3)若角β与α终边相同,则是第几象限的角?
(1)所有与α终边相同的角可表示为
.
(2)由
(1)令-4π<2kπ+<2π(k∈Z),
则有-2-<k<1-.
∵k∈Z,∴取k=-2、-1、0.
故在(-4π,2π)内与α终边相同的角是-、-、.
(3)由
(1)有β=2kπ+(k∈Z),则=kπ+(k∈Z).
∴是第一、三象限的角.
3.(2014·
宿迁市调研)角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a>0),角β终边上的点Q与A关于直线y=x对称,求sinα·
cosα+sinβ·
cosβ+tanα·
tanβ的值.
由题意得,点P的坐标为(a,-2a),点Q的坐标为(2a,a).
所以,sinα==-,
cosα==,
tanα==-2;
sinβ==,
cosβ==,
tanβ==.
故有sinα·
tanβ=-×
+×
+(-2)×
=-1.
4.已知扇形的周长为40,当它的半径和圆心角分别取何值时,才能使扇形的面积最大?
最大面积是多少?
∵扇形的周长为40,∴θR+2R=40.
S=θR2=θR·
2R≤=100.
当且仅当θR=2R,即R=10,θ=2时扇形面积取得最大值,最大值为100.
1.
(1)要求适合某种条件且与已知角终边相同,其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式,再根据条件解方程或不等式.
(2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来求相关问题.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出角.
2.已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解α的三角函数值.
3.弧度制下的扇形的弧长与面积公式,比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多,用起来也方便得多.因此,我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式.
4.利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤
(1)用边界值定出角的终边位置.
(2)根据不等式(组)定出角的范围.
(3)求交集,找单位圆中公共的部分.
(4)写出角的表达式.
请使用课时训练(B)第1课时(见活页).
第2课时 同角三角函数的基本关系式
与诱导公式(对应学生用书(文)、(理)42~43页)
①会运用同角三角函数进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.
②能运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.
①理解同角三角函数的基本关系式:
sin2α+cos2α=1,=tanα.
②理解正弦、余弦、正切的诱导公式[2kπ+α(k∈Z),-α,π±
α,±
α].
1.(必修4P16例1改编)已知α是第二象限角,tanα=-,则sinα=________.
由解得sinα=±
.∵α为第二象限角,∴sinα>
0,∴sinα=.
2.cos=________.
cos=cos=cos(17π+)=-cos=-.
3.sin2(π+α)-cos(π+α)·
cos(-α)+1=________.
原式=(-sinα)2-(-cosα)cosα+1=sin2α+cos2α+1=2.
4.(必修4P21例题4改编)已知cos=,且-π<α<-,则cos=________.
cos=cos[-]=sin.
又-π<α<-,所以-π<+α<-.
所以sin=-,所以cos=-.
5.(必修4P22习题9
(1)改编)已知tanθ=2,则=__________.
-2
=
====-2.
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:
sin2α+cos2α=1.
(2)商数关系:
tanα=.
2.诱导公式
组数
一
二
三
五
六
角
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
+α
正弦
sinα
-sinα
cosα
余弦
-cosα
正切
tanα
-tanα
口诀
函数名不变符号看象限
函数名改变符号看象限
记忆规律:
奇变偶不变,符号看象限.
题型1 同角三角函数的基本关系式
例1 (必修4P23第18题改编)已知α是三角形的内角,且sinα+cosα=.
(1)求tanα的值;
(2)将用tanα表示出来,并求其值.
(1)(解法1)联立方程
由①得cosα=-sinα,
将其代入②,整理,得25sin2α-5sinα-12=0.
∵α是三角形内角,∴∴tanα=-.
(解法2)∵sinα+cosα=,∴(sinα+cosα)2=,
即1+2sinαcosα=,∴2sinαcosα=-,
∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1+=.
∵sinαcosα=-<
0且0<
α<
π,
∴sinα>
0,cosα<
0.
∵sinα-cosα>
0,∴sinα-cosα=.
由得∴tanα=-.
(2)==.
∵tanα=-,
∴===-.
已知关于x的方程2x2-(+1)x+m=0的两根为sinθ和cosθ,且θ∈(0,2π).
(1)求+的值;
(2)求m的值;
(3)求方程的两根及此时θ的值.
(1)由韦达定理可知
而+=+=sinθ+cosθ=.
(2)由①两边平方得1+2sinθcosθ=,
将②代入得m=.
(3)当m=时,原方程变为2x2-(1+)x+=0,解得x1=,x2=,∴或
∵θ∈(0,2π),∴θ=或.
例2 (必修4P23第10
(2)题改编)化简:
(-)·
(-).
原式=(-)(-)=(-)(-)=·
已知sinα·
cosα<
0,sinαtanα>
0,化简:
cos·
+sin·
=________.
±
sin
∵sinα·
0,∴α为第二或第四象限角.
tanα>
0,∴α为第四象限角,
∴为第二或四象限角.
∴原式=cos·
∴原式=±
sin.
题型2 利用诱导公式进行化简求值
例3 已知sin=-,α∈(0,π),求的值.
∵sin=-,∴cosα=-.
又α∈(0,π),∴sinα=.
原式==
==-.
已知cos(π+α)=-,且角α在第四象限,计算:
(1)sin(2π-α);
(2)(n∈Z).
∵cos(π+α)=-,∴-cosα=-,cosα=.
又角α在第四象限,∴sinα=-=-.
(1)sin(2π-α)=sin[2π+(-α)]=sin(-α)=-sinα=.
(2)====-=-4.
1.已知sin=,那么cosα=________.
sin=sin=cosα=.
2.已知{an}为等差数列,若a1+a5+a9=π,则cos(a2+a8)=________.
由条件,知π=a1+a5+a9=3a5,∴a5=,∴cos(a2+a8)=cos2a5=cos=-.
3.已知tan=,则tan=________.
∵+=π,
∴tan(π+α)=-tan=-tan=-.
4.已知sinθ+cosθ=,则sinθ-cosθ的值为________.
(解法1)∵0<θ<,∴cosθ>sinθ.
又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=,∴2sinθcosθ=,
∴(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=1-=,
∴sinθ-cosθ=-.
(解法2)∵sinθ+cosθ=,且θ∈,
∴θ+∈,sinθ+cosθ=sin=,
即sin=.
又cos===,
∴sinθ-cosθ=-(cosθ-sinθ)=-cos=-.
1.已知0<
x<
π,sinx+cosx=.
(1)求sinx-cosx的值;
(2)求tanx的值.
(1)∵sinx+cosx=,∴1+2sinxcosx=,
∴2sinxcosx=-.∵0<
π,∴sinx>
0,2sinxcosx=-<
0,∴cosx<
0,∴sinx-cosx>
0,∴sinx-cosx==.
(2)=,=,tanx=-.
2.已知3cos2(π+x)+5cos=1,求6sinx+4tan2x-3cos2(π-x)的值.
由已知得3cos2x+5sinx=1,即3sin2x-5sinx-2=0,解得sinx=-或sinx=2(舍去).这时cos2x=1-=,tan2x==,故6sinx+4tan2x-3cos2(π-x)=6×
+4×
-3×
=-.
3.已知在△ABC中,sinA+cosA=.
(1)求sinA·
cosA;
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形;
(3)求tanA的值.
(1)因为sinA+cosA=①,两边平方得1+2sinAcosA=,所以sinA·
cosA=-.
(2)由
(1)sinAcosA=-<
0,且0<
A<
π,可知cosA<
0,所以A为钝角,所以△ABC是钝角三角形.
(3)(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA=1+=.
又sinA>
0,cosA<
0,sinA-cosA>
所以sinA-cosA=②,
所以由①,②可得sinA=,cosA=-,
则tanA===-.
4.若sin(3π-α)=cos,cos(-α)=-cos(π+β),且0<
π,0<
β<
π,求α和β的值.
由已知,得
①2+②2得sin2α+3cos2α=2(sin2β+cos2β),
即sin2α+3(1-sin2α)=2,得sin2α=,∴sinα=±
∵0<
π,∴sinα=,∴α=或α=.
将α=或α=代入②,得cosβ=或cosβ=-.
π,∴β=或β=.
∴α=,β=或α=,β=.
1.利用平方关系解决问题时,要注意开方运算结果的符号,需要根据角α的范围进行确定.
2.应熟练应用诱导公式.诱导公式的应用原则是:
负化正、大化小、化到锐角为终了.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤:
①负角变正角,再写成2kπ+α(k∈Z),0≤α<2π;
②转化为锐角.
3.在应用诱导公式时需先将角变形,有一定技巧,如化π+α为π+或2π-.
请使用课时训练(A)第2课时(见活页).
第3课时 三角函数的图象和性质(对应学生用书(文)、(理)44~46页)
①知道三角函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)的周期为T=.
②能根据图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π],正切函数在上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等).
③会画出y=Asin(ωx+φ)的简图,能由正弦曲线y=sinx通过平移、伸缩变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象.
①了解三角函数的周期性.
②能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象,并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π],正切函数在上的性质.
③了解三角函数y=Asin(ωx+φ)的实际意义及其参数A、ω、φ对函数图象变化的影响.
1.(必修4P25练习2改编)函数f(x)=sin,x∈R的最小正周期为________.
4π
函数f(x)=sin的最小正周期为T==4π.
2.(必修4P39第2题改编)将函数y=sinx的图象上所有的点向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是____________________.
y=sin
∵向右平移个单位,∴用x-代替y=sinx中的x;
∵各点横坐标伸长到原来的2倍,∴用x代替y=sin中的x,得y=sin.
3.(必修4P45第9题改编)如图,它表示电流I=Asin(ωt+φ)(A>
0,ω>
0)在一个周期内的图象,则I=Asin(ωt+φ)的解析式为________________.
I=sin
由图可知A=,ω=.代入和,解得φ=,于是I=sin.
4.(必修4P32练习6改编)函数y=cos的单调递增区间是________.
(k∈Z)
-π+2kπ≤2x-≤2kπ,即-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),所求单调递增区间是(k∈Z).
5.(必修4P32第5题改编)函数y=2sinx的值域是________.
[1,2]
根据正弦函数图象,可知x=时,函数取到最小值1;
x=时,函数取到最大值2.
1.周期函数的定义
周期函数的概念:
对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,则称y=f(x)为周期函数;
函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的周期均为T=;
函数y=Atan(ωx+φ)的周期为T=.
2.三角函数的图象和性质
三角函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图象
定义域
R
值域
和最值
[-1,1]
最大值:
1
最小值:
-1
无最值
周期
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
对称性
关于x=kπ+(k∈Z)对称
关于x=kπ(k∈Z)对称
对称中心是(k∈Z)
单调
区间
在[2kπ-,2kπ+](k∈Z)上单调递增在[2kπ-,2kπ+](k∈Z)上单调递减
[2kπ+π,2kπ+2π](k∈Z)单调递增[2kπ,2kπ+π](k∈Z)单调递减
在(kπ-,kπ+)(k∈Z)上单调递增
3.“五点法”作图
在确定正弦函数y=sinx在[0,2π]上的图象形状时,起关键作用的五个点是(0,0)、、(π,0)、、(2π,0).
余弦函数呢?
4.函数y=Asin(ωx+φ)的特征
若函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈(-∞,+∞))表示一个振动量时,则A叫做振幅,T=叫做周期,f=叫做频率,ωx+φ叫做相位,φ叫做初相.
题型1 依据三角函数的图象求解析式
例1 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示,则ω=________.
由图象可知函数的四分之三周期为-=T,T=3π,ω==.
已知函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则ω=________.
3
由图知,A=2,将(0,)、代入函数,得∴
题型2 三角函数的图象变换
例2为了得到函数y=2sin(x∈R)的图象,只需把函数y=2sinx(x∈R)的图象上所有的点经过怎样的变换得到?
y=2sinx
用
代替x,左移
个单位
y=2sin再用
代替x,各点横坐标伸长到原来的3倍。
y=2sin.
已知函数f(x)=2·
sincos-sin(x+π).
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若将f(x)的图象向右平移个单位,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.
(1)因为f(x)=
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