1、 弧长公式:l|r扇形面积公式:S扇形lr|r22. 任意角的三角函数(1) 任意角的三角函数的定义设P(x,y)是角终边上任意一点,且|PO|r(r0),则有sin,cos,tan,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数(2) 三角函数在各象限内的正值口诀是:全正、正弦、正切、余弦3. 三角函数线设角的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P,过P作PM垂直于x轴于M,则点M是点P在x轴上的正射影由三角函数的定义知,点P的坐标为(cos,sin),其中cosOM,sinMP,单位圆与x轴的正半轴交于点A,单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T,则tanA
2、T我们把有向线段OM、MP、AT叫做的余弦线、正弦线、正切线三角函数线备课札记题型1 三角函数的定义例1 是第二象限角,P(x,)为其终边上一点,且cosx,求sin的值解: OP, cosx.又是第二象限角, x0,得x, sin.已知角的终边经过点P(x,) (x0),且cosx,求sin的值 P(x,) (x0), 点P到原点的距离r.又cosx, cosx. x0, x. r2.当x时,P点坐标为(,),由三角函数的定义,有sin, sin;当x时,同理可求得sin.题型2 三角函数值的符号及判定例2 (1) 如果点P(sincos,2cos)位于第三象限,试判断角所在的象限;(2)
3、若是第二象限角,试判断sin(cos)的符号(1) 点P(sincos,2cos)位于第三象限, sincos0,2cos0,即 为第二象限角(2) 2k2k(kZ), 10, sin(cos)0),当为多少弧度时,该扇形有最大面积?(1) 设弧长为l,弓形面积为S弓 60,R10, l(cm) S弓S扇S10102sin6050 cm2.(2) 扇形周长C2Rl2RR, R, S扇R2,当且仅当,即2(2舍去)时,扇形面积有最大值.(1) 已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆心角;(2) 一个扇形OAB的面积是1 cm2,它的周长是4 cm,求圆心角的弧度数和弦长AB.(1) 设圆心角是
4、,半径是r,则解得或(舍去) 扇形的圆心角为.(2) 设圆的半径为r cm,弧长为l cm,则解得 圆心角2.如图,过O作OHAB于H,则AOH1弧度 AH1sin1sin1 (cm), AB2sin1 (cm)1. 若角与的终边相同,则在0,2内终边与的终边相同的角是_,由题意,得2k(kZ),(kZ)又0,2,所以k0,1,2,3,.2. (2014全国)已知角的终边经过点(4,3),则cos_根据题意,cos.3. 已知扇形的周长为8 cm,则该扇形面积的最大值为_cm2.4设扇形半径为r cm,弧长为l cm,则2rl8,Srlr(82r)r24r(r2)24,所以Smax4(cm2)
5、4. 若角的终边与直线y3x重合且sin0,又P(m,n)是角终边上一点,且|OP|,则mn_2依题意知解得m1,n3或m1,n3.又sin0, 的终边在第三象限, n0, m1,n3, mn2.1. 设集合M,N|,则MN_由,得k. kZ, k1,0,1,2,故MN.2. 已知,回答下列问题(1) 写出所有与终边相同的角;(2) 写出在(4,2)内与终边相同的角;(3) 若角与终边相同,则是第几象限的角? (1) 所有与终边相同的角可表示为.(2) 由(1) 令42k2(kZ),则有2k1. kZ, 取k2、1、0.故在(4,2)内与终边相同的角是、.(3) 由(1) 有2k(kZ),则k
6、(kZ) 是第一、三象限的角3. (2014宿迁市调研)角终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a0),角终边上的点Q与A关于直线yx对称,求sincossincostantan的值由题意得,点P的坐标为(a,2a),点Q的坐标为(2a,a)所以,sin,cos,tan2;sin,cos,tan.故有sintan(2)1.4. 已知扇形的周长为40,当它的半径和圆心角分别取何值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少? 扇形的周长为40, R2R40.SR2R2R100.当且仅当R2R,即R10,2时扇形面积取得最大值,最大值为100.1. (1) 要求适合某种条件且与已知角终边相同,其方
7、法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式,再根据条件解方程或不等式(2) 已知角的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来求相关问题若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出角2. 已知角终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解的三角函数值3. 弧度制下的扇形的弧长与面积公式,比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多,用起来也方便得多因此,我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式4. 利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤(1) 用边界值定出角的终边位置(2) 根据不等式(组)定出角的范围(3) 求交集,找单
8、位圆中公共的部分(4) 写出角的表达式请使用课时训练(B)第1课时(见活页)第2课时同角三角函数的基本关系式 与诱导公式(对应学生用书(文)、(理)4243页) 会运用同角三角函数进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明. 能运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明 理解同角三角函数的基本关系式:sin2cos21, tan. 理解正弦、余弦、正切的诱导公式2k(kZ),1. (必修4P16例1改编)已知是第二象限角,tan,则sin_由解得sin. 为第二象限角, sin0, sin.2. cos_coscoscos(17)
9、cos.3. sin2()cos()cos()1_原式(sin)2(cos)cos1sin2cos212.4. (必修4P21例题4改编)已知cos,且,则cos_coscossin.又,所以.所以sin,所以cos.5. (必修4P22习题9(1)改编)已知tan2,则_22.1. 同角三角函数的基本关系(1) 平方关系:sin2cos21(2) 商数关系:tan. 2. 诱导公式组数一二三五六角2k(kZ)正弦sinsincos余弦cos正切tantan口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律:奇变偶不变,符号看象限题型1 同角三角函数的基本关系式例1 (必修4P23第18题改
10、编)已知是三角形的内角,且sincos.(1) 求tan的值;(2) 将用tan表示出来,并求其值(1) (解法1)联立方程由得cossin,将其代入,整理,得25sin25sin120. 是三角形内角, tan.(解法2) sincos, (sincos)2,即12sincos, 2sincos, (sincos)212sincos1. sincos0且00,cos0, sincos.由得 tan.(2) . tan, . 已知关于x的方程2x2(1)xm0的两根为sin和cos,且(0,2)(1) 求的值;(2) 求m的值;(3) 求方程的两根及此时的值(1) 由韦达定理可知而sincos
11、.(2) 由两边平方得12sincos,将代入得m.(3) 当m时,原方程变为2x2(1)x0,解得x1,x2, 或 (0,2), 或.例2 (必修4P23第10(2)题改编)化简:()()原式()()()()已知sincos0,化简:cossin_sin sin0, 为第二或第四象限角tan0, 为第四象限角, 为第二或四象限角 原式cos原式sin.题型2 利用诱导公式进行化简求值例3 已知sin,(0,),求的值 sin, cos.又(0,), sin.原式.已知cos(),且角在第四象限,计算:(1) sin(2);(2) (nZ) cos(), cos,cos.又角在第四象限, si
12、n.(1) sin(2)sin2()sin()sin .(2) 4.1. 已知sin,那么cos_sinsincos.2. 已知an为等差数列,若a1a5a9,则cos(a2a8)_由条件,知a1a5a93a5, a5, cos(a2a8)cos2a5cos.3. 已知tan,则tan_ , tan()tantan.4. 已知sincos,则sincos的值为_(解法1) 0, cossin.又(sincos)212sincos, 2sincos, (sincos)212sincos1, sincos.(解法2) sincos,且, ,sincossin,即sin.又cos, sincos(c
13、ossin)cos.1. 已知0x,sinxcosx.(1) 求sinxcosx的值;(2) 求tanx的值 (1) sinxcosx, 12sinxcosx, 2sinxcosx. 00,2sinxcosx0, cosx0, sinxcosx .(2) ,tanx.2. 已知3cos2(x)5cos1,求6sinx4tan2x3cos2(x)的值由已知得3cos2x5sinx1,即3sin2x5sinx20,解得sinx或sinx2(舍去)这时cos2x1,tan2x,故6sinx4tan2x3cos2(x)643.3. 已知在ABC中,sinAcosA.(1) 求sinAcosA;(2)
14、判断ABC是锐角三角形还是钝角三角形;(3) 求tanA的值(1) 因为 sinAcosA,两边平方得12sinAcosA,所以sinAcosA.(2) 由(1) sinAcosA0,且0A,可知cosA0,cosA所以sinAcosA,所以由,可得sinA,cosA,则tanA.4. 若sin(3)cos,cos()cos(),且0,0,求和的值由已知,得22得sin23cos22(sin2cos2),即sin23(1sin2)2,得sin2, sin 00,0)在一个周期内的图象,则IAsin(t)的解析式为_Isin由图可知A,.代入和,解得,于是Isin.4. (必修4P32练习6改编
15、)函数ycos的单调递增区间是_(kZ)2k2x2k,即kxk(kZ),所求单调递增区间是(kZ)5. (必修4P32第5题改编)函数y2sinx的值域是_1,2根据正弦函数图象,可知x时,函数取到最小值1;x时,函数取到最大值2.1. 周期函数的定义周期函数的概念:对于函数yf(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(xT)f(x)都成立,则称yf(x)为周期函数;函数yAsin(x)和yAcos(x)的周期均为T;函数yAtan(x)的周期为T2. 三角函数的图象和性质三角函数ysinxycosxytanx图象定义域R值域和最值1,1 最大值:1最小值:1无最
16、值周期2奇偶性奇函数偶函数对称性关于xk(kZ)对称关于xk(kZ)对称对称中心是(kZ)单调区间在2k,2k(kZ) 上单调递增在2k,2k(kZ)上单调递减2k,2k2(kZ)单调递增2k,2k(kZ)单调递减在(k,k)(kZ)上单调递增3. “五点法”作图在确定正弦函数ysinx在0,2上的图象形状时,起关键作用的五个点是(0,0)、(,0)、 (2,0)余弦函数呢?4. 函数 yAsin(x)的特征若函数yAsin(x) (A0,0,x(,)表示一个振动量时,则A叫做振幅,T叫做周期,f叫做频率,x叫做相位,叫做初相题型1 依据三角函数的图象求解析式例1 已知函数f(x)2sin(x
17、)(0)的部分图象如图所示,则_由图象可知函数的四分之三周期为T,T3,.已知函数yAsin(x)(其中A0,0,|)的部分图象如图所示,则_3由图知,A2,将(0,)、代入函数,得 题型2 三角函数的图象变换例2 为了得到函数y2sin(xR)的图象,只需把函数y2sinx(xR)的图象上所有的点经过怎样的变换得到?y2sinx用代替x,左移 个单位y2sin再用代替x,各点横坐标伸长到原来的3倍。y2sin.已知函数f(x)2sincossin(x)(1) 求f(x)的最小正周期;(2) 若将f(x)的图象向右平移个单位,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间0,上的最大值和最小值(1) 因为f(x)