重庆市高考数学试卷理科答案与解析Word文档下载推荐.doc
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∵直线z=2x+y过可行域内B(3,0)的时候z最大,最大值为6,
故选C.
【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题.目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题,这类问题一般要分三步:
画出可行域、求出关键点、定出最优解.
5.(5分)(2010•重庆)函数的图象( )
A.关于原点对称 B.关于直线y=x对称
C.关于x轴对称 D.关于y轴对称
【考点】奇偶函数图象的对称性.菁优网版权所有
【分析】题设条件用意不明显,本题解题方法应从选项中突破,由于四个选项中有两个选项是与奇偶性有关的,故先验证奇偶性较好,
,
∴f(x)是偶函数,图象关于y轴对称
故选D.
【点评】考查函数的对称性,宜从奇偶性入手研究.
6.(5分)(2010•重庆)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则( )
A.ω=1,φ= B.ω=1,φ=﹣ C.ω=2,φ= D.ω=2,φ=﹣
【考点】y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义;
由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.菁优网版权所有
【专题】计算题;
综合题.
【分析】通过图象求出函数的周期,再求出ω,由(,1)确定φ,推出选项.
由图象可知:
T==π,∴ω=2;
(,1)在图象上,
所以2×
+φ=,φ=﹣.
【点评】本题考查y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义,由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,考查视图能力,逻辑推理能力.
7.(5分)(2010•重庆)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是( )
A.3 B.4 C. D.
【考点】基本不等式.菁优网版权所有
【分析】首先分析题目由已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,求x+2y的最小值,猜想到基本不等式的用法,利用代入已知条件,化简为函数求最值.
考察基本不等式,
整理得(x+2y)2+4(x+2y)﹣32≥0
即(x+2y﹣4)(x+2y+8)≥0,又x+2y>0,
所以x+2y≥4
【点评】此题主要考查基本不等式的用法,对于不等式在求最大值最小值的问题中应用非常广泛,需要同学们多加注意.
8.(5分)(2010•重庆)直线y=与圆心为D的圆(θ∈[0,2π))交与A、B两点,则直线AD与BD的倾斜角之和为( )
A. B. C. D.
【考点】圆的参数方程;
直线的倾斜角;
直线和圆的方程的应用.菁优网版权所有
【分析】根据题目条件画出圆的图象与直线的图象,再利用圆的性质建立两个倾斜角的等量关系,化简整理即可求出.
数形结合,∠1=α﹣30°
,∠2=30°
+π﹣β,
由圆的性质可知∠1=∠2,∴α﹣30°
=30°
故α+β=,
【点评】本题主要考查了圆的参数方程,以及直线的倾斜角和直线和圆的方程的应用,属于基础题.
9.(5分)(2010•重庆)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天1人,每人值班1天,若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有( )
A.504种 B.960种 C.1008种 D.1108种
【考点】排列及排列数公式;
排列、组合的实际应用.菁优网版权所有
【专题】压轴题.
【分析】本题的要求比较多,有三个限制条件,甲、乙排在相邻两天可以把甲和乙看做一个元素,注意两者之间有一个排列,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则可以甲乙排1、2号或6、7号,或是甲乙排中间,丙排7号或不排7号,根据分类原理得到结果.
分两类:
第一类:
甲乙相邻排1、2号或6、7号,这时先排甲和乙,有2×
种,然后排丁,有种,剩下其他四个人全排列有种,因此共有2×
A22A41A44=384种方法
第二类:
甲乙相邻排中间,
若丙排7号,先排甲和乙,因为相邻且在中间,则有4×
种,然后丙在7号,剩下四个人全排列有种,
若丙不排7号,先排甲和乙,因为相邻且在中间,则有4×
种,然后排丙,丙不再1号和7号,有种,接着排丁,丁不排在10月7日,有种,剩下3个人全排列,有种,
因此共有(4A22A44+4A22A31A31A33)=624种方法,
故共有1008种不同的排法
【点评】本题主要考查分类计数原理,分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数.本题限制条件比较多,容易出错,解题时要注意.
10.(5分)(2010•重庆)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )
A.直线 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线
【考点】抛物线的定义;
双曲线的标准方程.菁优网版权所有
压轴题;
分类讨论.
【分析】先做出两条异面直线的公垂线,以其中一条直线为x轴,公垂线与x轴交点为原点,公垂线所在直线为z轴,过x且垂直于公垂线的平面为xoy平面,建立空间直角坐标系,则两条异面直线的方程可得,设空间内任意点设它的坐标是(x,y,z)根据它到两条异面直线的距离相等,求得z的表达式,把z=0和z=a代入即可求得x和y的关系,根据其方程判断轨迹.
先做出两条异面直线的公垂线,以其中一条直线为x轴,公垂线与x轴交点为原点,公垂线所在直线为z轴,过x且垂直于公垂线的平面为xoy平面,建立空间直角坐标系,则两条异面直线的方程就分别是y=0,z=0和x=0,z=a(a是两异面直线公垂线长度,是个常数)
空间内任意点设它的坐标是(x,y,z)
那么由已知,它到两条异面直线的距离相等,即
=
两边平方,化简可得z=(y2﹣x2+a2)
过一条直线且平行于另一条直线的平面是z=0和z=a
分别代入所得式子
z=0时
代入可以得到y2﹣x2=﹣a2,图形是个双曲线
z=a时
代入可以得到y2﹣x2=a2,图形也是个双曲线
故选D
【点评】本题主要考查了双曲线的方程.考查了学生分析归纳和推理的能力.
二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)
11.(5分)(2010•重庆)已知复数z=1+i,则= ﹣2i .
【考点】复数代数形式的乘除运算.菁优网版权所有
【分析】把复数z=1+I代入要求的式子,应用复数相除的法则化简得到结果.
=,
故答案为﹣2i.
【点评】本题考查复数代数形式的运算法则.
12.(5分)(2010•重庆)设U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若∁UA={1,2},则实数m= ﹣3 .
【考点】补集及其运算.菁优网版权所有
【分析】由题意分析,得到A={0,3},后由根与系数直接间的关系求出m的值
【解答】解;
∵U={0,1,2,3}、∁UA={1,2},
∴A={0,3},
∴0、3是方程x2+mx=0的两个根,
∴0+3=﹣m,
∴m=﹣3,
故答案为:
﹣3.
【点评】本题考查集合的运算即补集的运算及根与系数之间的关系,关键是由题意得出集合A.
13.(5分)(2010•重庆)某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为,则该队员每次罚球的命中率为 .
【考点】互斥事件的概率加法公式.菁优网版权所有
【分析】在两次罚球中至多命中一次的对立事件是两次都命中,设出命中的概率P,由对立事件的概率公式列出方程,求出命中一次的概率.
设罚球的命中的概率为P,
由两次罚球中至多命中一次的概率为,
得
∴,
.
【点评】对立事件公式的应用经常在概率计算中出现,从正面做包含的事件较多,可以从反面来解决,注意区分互斥事件和对立事件之间的关系.
14.(5分)(2010•重庆)已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3,则弦AB的中点到准线的距离为 .
【考点】抛物线的简单性质;
点到直线的距离公式;
抛物线的定义.菁优网版权所有
压轴题.
【分析】设BF=m,由抛物线的定义知AA1和BB1,进而可推断出AC和AB,及直线AB的斜率,则直线AB的方程可得,与抛物线方程联立消去y,进而跟韦达定理求得x1+x2的值,则根据抛物线的定义求得弦AB的中点到准线的距离.
设BF=m,由抛物线的定义知
AA1=3m,BB1=m
∴△ABC中,AC=2m,AB=4m,
直线AB方程为
与抛物线方程联立消y得3x2﹣10x+3=0
所以AB中点到准线距离为
故答案为
【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质.考查了直线与抛物线的关系及焦点弦的问题.常需要利用抛物线的定义来解决.
15.(5分)(2010•重庆)已知函数f(x)满足:
,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x﹣y)(x,y∈R),则f(2010)= .
【考点】抽象函数及其应用;
函数的周期性.菁优网版权所有
【分析】由于题目问的是f(2010),项数较大,故马上判断函数势必是周期函数,所以集中精力找周期即可;
周期的寻找方法可以是不完全归纳推理出,也可以是演绎推理得出.
取x=1,y=0得
法一:
根据已知知
取x=1,y=1得f
(2)=﹣
取x=2,y=1得f(3)=﹣
取x=2,y=2得f(4)=﹣
取x=3,y=2得f(5)=
取x=3,y=3得f(6)=
猜想得周期为6
法二:
取x=n,y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n﹣1),
同理f(n+1)=f(n+2)+f(n)
联立得f(n+2)=﹣f(n﹣1)
所以f(n)=﹣f(n+3)=f(n+6)
所以函数是周期函数,周期T=6,
故f(2010)=f(0)=
【点评】准确找出周期是此类问题(项数很大)的关键,分别可以用归纳法和演绎法得出周期,解题时根据自己熟悉的方法得出即可.
三、解答题(共6小题,满分75分)
16.(13分)(2010•重庆)设函数f(x)=cos(x+π)+2cos2,x∈R.
(1)求f(x)的值域;
(2)记△ABC内角A、B、C的对边长分别为a,b,c,若f(B)=1,b=1,c=,求a的值.
【考点】正弦函数的定义域和值域;
正弦定理;
余弦定理.菁优网版权所有
【分析】
(I)将f(x)=cos(x+π)+2化简,变形后可以用三角函数的有界性求值域.
(II)由f(B)=1求出∠B,利用余弦定理建立关于a的方程求出a.
(I)f(x)=cos(x+π)+2
=cosxcosπ﹣sinxsinπ+cosx+1
=﹣cosx﹣sinx+cosx+1
=cosx﹣sinx+1
=sin(x+)+1
因此函数f(x)的值域为[0,2]
(II)由f(B)=1得sin(B+)+1=1,即sin(B+)=0,即B+=0或π,B=或﹣
又B是三角形的内角,所以B=
由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB
即1=a2+3﹣3a,整理a2﹣3a+2=0
解得a=1或a=2
答:
(I)函数f(x)的值域为[0,2]
(II)a=1或a=2
【点评】考查利用三角函数的有界性求值域与利用余弦定理解三角形,属基本题型,用来训练答题者熟练三角恒等变形公式与余弦定理.
17.(13分)(2010•重庆)在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个单位的节目集中安排在一起.若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2,…,6),求:
(Ⅰ)甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率;
(Ⅱ)甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.
【考点】等可能事件的概率;
排列、组合及简单计数问题.菁优网版权所有
(1)考虑甲和乙两个单位的排列,甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个,有A62=30种等可能的结果,满足条件的事件是甲和乙的演出序号都是偶数,根据等可能事件的概率公式得到结果.
(2)考虑甲和乙两个单位的排列,甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个,有A62=30种等可能的结果,甲和乙两个单位的演出序号不相邻,的对立事件是甲和乙两个单位的演出序号相邻,根据对立事件的概率公式得到结果.
(1)考虑甲和乙两个单位的排列,
甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个,有A62=30种等可能的结果,
设A表示甲和乙的演出序号都是偶数,共有A32=6种结果,
∴所求的概率P(A)==
(2)考虑甲和乙两个单位的排列,
设B表示甲和乙两个单位的演出序号不相邻,
则表示甲和乙两个单位的演出序号相邻,共有5A22=10种结果
∴P(B)=1﹣P()=1﹣=.
【点评】本题主要考查古典概型和对立事件,正难则反是解题时要时刻注意的,我们尽量用简单的方法来解题,这样可以避免一些繁琐的运算,使得题目看起来更加容易.
18.(13分)(2010•重庆)已知函数,其中实数a≠1.
(1)若a=2,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)若f(x)在x=1处取得极值,试讨论f(x)的单调性.
【考点】利用导数研究函数的单调性;
导数的几何意义.菁优网版权所有
【分析】首先求出函数的导数及在点f(0)处的值,然后求出在该点的切线方程,第二问根据函数的导数与极值的关系求出a的值,然后根据函数的导数与单调性的关系讨论函数的单调性.
(1)=,
当a=2时,f′(0)=,而f(0)=﹣,
所以曲线在点(0,f(0))处的切线方程为:
y﹣(﹣)=(x﹣0),即7x﹣4y﹣2=0.
(2)因为a≠1,由
(1)可知=;
又因为f(x)在x=1处取得极值,
所以,解得a=﹣3;
此时,定义域(﹣1,3)∪(3,+∞);
由f′(x)=0得x1=1,x2=7,当﹣1<x<1或x>7时f′(x)>0;
当1<x<7且x≠3时f′(x)<0;
由上讨论可知f(x)在(﹣1,1],[7,+∞)时是增函数,在[1,3),(3,7]上是减函数.
【点评】掌握函数的导数与极值和单调性的关系.
19.(12分)(2010•重庆)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=,点E是棱PB的中点.
(1)求直线AD与平面PBC的距离;
(2)若AD=,求二面角A﹣EC﹣D的平面角的余弦值.
【考点】点、线、面间的距离计算;
与二面角有关的立体几何综合题.菁优网版权所有
综合题;
空间角.
(1)先根据AD∥BC,推断出AD∥平面PBC,进而可知直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离,根据PA⊥底面ABCD,判断出PA⊥AB,知△PAB为等腰直角三角形,又点E是棱PB的中点,进而可知AE⊥PB,又在矩形ABCD中,BC⊥AB,而AB是PB的底面ABCD内的射影,由三垂线定理得BC⊥PB,从而BC⊥平面PAB,故BC⊥AE,从而AE⊥平面PBC,进而可推断出AE之长即为直线AD与平面PBC的距离.Rt△PAB中,根据PA和AB求得AE.
(2)过点D作DF⊥CE,过点F做FG⊥CE,交AC于G,则∠DFG为所求的二面角的平面角.由
(1)知BC⊥平面PAB,又AD∥BC,得AD⊥平面PAB,故AD⊥AE,从而求得DE在Rt△CBE中,利用勾股定理求得CE,进而可知CE=CD推断出△CDE为等边三角形,求得DF,因为AE⊥平面PBC,故AE⊥CE,又FG⊥CE,知FG平行且等于AE的一半,从而求得FG,且G点为AC的中点,连接DG,则在Rt△ADC中,求得DG,最后利用余弦定理求得答案.
(1)在矩形ABCD中,AD∥BC,从而AD∥平面PBC,故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离,
因PA⊥底面ABCD,故PA⊥AB,知△PAB为等腰直角三角形,
又点E是棱PB的中点,故AE⊥PB,又在矩形ABCD中,BC⊥AB,而AB是PB的底面ABCD内的射影,
由三垂线定理得BC⊥PB,从而BC⊥平面PAB,故BC⊥AE,从而AE⊥平面PBC,
故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离,
在Rt△PAB中,PA=AB=,
所以AE=PB==
(2)过点D作DF⊥CE于F,过点F做FG⊥CE,交AC于G,则∠DFG为所求的二面角的平面角.
由
(1)知BC⊥平面PAB,又AD∥BC,得AD⊥平面PAB,
故AD⊥AE,从而DE==
在Rt△CBE中,CE==,由CD=,
所以△CDE为等边三角形,故F为CE的中点,且DF=CD•sin=
因为AE⊥平面PBC,故AE⊥CE,又FG⊥CE,知FG∥AE.且FG=AE,
从而FG=,且G点为AC的中点,连接DG,则在Rt△ADC中,DG==,
所以cos∠DFG==
【点评】本题主要考查了点,线,面的距离计算.在求两面角问题时关键是找到两个面的平面角.
20.(12分)(2010•重庆)已知以原点O为中心,为右焦点的双曲线C的离心率.
(1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程;
(2)如图,已知过点M(x1,y1)的直线l1:
x1x+4y1y=4与过点N(x2,y2)(其中x2≠x1)的直线l2:
x2x+4y2y=4的交点E在双曲线C上,直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点,求△OGH的面积.
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;
双曲线的标准方程;
双曲线的简单性质.菁优网版权所有
(1)设C的标准方程为(a>0,b>0),由题意知a=2,b=1,由此可求出C的标准方程和渐近线方程.
(2)由题意知,点E(xE,yE)在直线l1:
x1x+4y1y=4和l2:
x2x+4y2y=4上,因此直线MN的方程为xEx+4yEy=4.设G,H分别是直线MN与渐近线x﹣2y=0及x+2y=0的交点,则,设MN与x轴的交战为Q,则,由此可求△OGH的面积.
(1)设C的标准方程为(a>0,b>0),
则由题意知,,
∴a=2,b=1,
∴C的标准方程为.
∴C的渐近线方程为,即x﹣2y=0和x+2y=0.
x2x+4y2y=4上,
因此有xEx+4yEy=4上,因此直线MN的方程为xEx+4yEy=4.
设G,H分别是直线MN与渐近线x﹣2y=0及x+2y=0的交点,
由方程组及,解得,
设MN与x轴的交点为Q,则在直线xEx+4yEy=4k,令y=0得,
∵xE2﹣4yE2=4,
∴
=.
【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用,难度较大,解题时要认真审题,注意挖掘隐含条件,仔细解答.
21.(12分)(2010•重庆)在数列{an}中,a1=1,an+1=can+cn+1(2n+1)(n∈N*),其中实数c≠0.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若对一切k∈N*有a2k>azk﹣1,求c的取值范围.
【考点】数列递推式;
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探究型;
归纳法.
(1)根据a1,a2和a3猜测an=(n2﹣1)cn+cn﹣1,进而用数学归纳法证明.
(2)把
(1)中求得的an代入a2k>azk﹣1,整理得(4k2﹣1)c2﹣(4k2﹣4k﹣1)c﹣1>0,分别表示ck和又ck'
,根据ck<<1求得c≥1,再根据ck'
<0,判断出单调递增知ck'
≥c1'
求得<﹣,最后综合答案可得.
(1)由a1=1,a2=ca1+c23=(22﹣1)c2+c
a3=ca2+c3•5=(32﹣1)c3+c2,
猜测an=(n2﹣1)cn+cn﹣1,
下面用数学归纳法证明,
当n=1是,等式成立
假设当n=k,等式成立即ak=(k2﹣1)ck+ck﹣1,
则当n=k+1时ak+1=cak+ck+1(2k+1)=(k2+2k)ck+1+ck=[(k+1)2﹣1]ck+1+ck,
综上an=(n2﹣1)cn+cn﹣1,对任意n∈N都成立.
(2)由a2k>azk﹣1得
[(2k)2﹣1]c2k+c2k﹣1>[(2k﹣1)2﹣1]c2k﹣1+c2k﹣2,
因c2k﹣2>0,所以(4k2﹣1)c2﹣(4k2﹣4k﹣1)c﹣1>0
解此不等式得c>ck,或c<ck'
,其中
ck=
ck'
易知ck=1
又由<=4k2+1,知
ck<<1
因此由c>ck对一切k∈N成立得c≥1
又ck'
=<0,可知
单调递增,故ck'
对一切k∈N*成立,因此由c<ck'
对一切k∈N*成立得c<﹣
从而c的取值范围是(﹣∞,﹣)∪[1,+∞]
【点评】本题主要考查了数列的递推式.考查了学生综合运用所学知识和实际的运算能力.
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