天津市高考数学试卷理科Word格式文档下载.doc
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13.(4分)已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称.直线4x﹣3y﹣2=0与圆C相交于A、B两点,且|AB|=6,则圆C的方程为 .
14.(4分)如图,在平行四边形ABCD中,,则= .
15.(4分)已知数列{an}中,,则= .
16.(4分)设a>1,若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a,2a],都有y∈[a,a2]满足方程logax+logay=c,这时a的取值的集合为 .
三、解答题(共6小题,满分76分)
17.(12分)已知cos(x﹣)=,x∈(,).
(1)求sinx的值;
(2)求sin(2x)的值.
18.(12分)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与p,且乙投球2次均未命中的概率为.
(Ⅰ)求乙投球的命中率p;
(Ⅱ)若甲投球1次,乙投球2次,两人共命中的次数记为ξ,求ξ的分布列和数学期望.
19.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2,∠PAB=60°
.
(Ⅰ)证明AD⊥平面PAB;
(Ⅱ)求异面直线PC与AD所成的角的大小;
(Ⅲ)求二面角P﹣BD﹣A的大小.
20.(12分)已知函数,其中a,b∈R.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点P(2,f
(2))处的切线方程为y=3x+1,求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅲ)若对于任意的,不等式f(x)≤10在上恒成立,求b的取值范围.
21.(14分)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(﹣3,0),一条渐近线的方程是.
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M,N,且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求k的取值范围.
22.(14分)在数列{an}与{bn}中,a1=1,b1=4,数列{an}的前n项和Sn满足nSn+1﹣(n+3)Sn=0,2an+1为bn与bn+1的等比中项,n∈N*.
(Ⅰ)求a2,b2的值;
(Ⅱ)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(Ⅲ)设.证明|Tn|<2n2,n≥3.
参考答案与试题解析
1.(5分)(2008•天津)i是虚数单位,=( )
【分析】复数的分子复杂,先化简,然后再化简整个复数,可得到结果.
【解答】解:
,
故选A.
2.(5分)(2008•天津)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=5x+y的最大值为( )
【分析】本题主要考查线性规划的基本知识,先画出约束条件的可行域,再求出可行域中各角点的坐标,将各点坐标代入目标函数的解析式,分析后易得目标函数Z=5x+y的最小值.
满足约束条件的可行域如图,
由图象可知:
目标函数z=5x+y过点A(1,0)时
z取得最大值,zmax=5,
故选D.
3.(5分)(2008•天津)设函数,则函数f(x)是( )
【分析】首先利用余弦的二倍角公式把原函数转化为y=Asinωx的形式,然后由y=Asinωx的性质得出相应的结论.
f(x)=
=﹣
=﹣sin2x
所以T=π,且为奇函数.
4.(5分)(2008•天津)设a,b是两条直线,α,β是两个平面,则a⊥b的一个充分条件是( )
【分析】根据题意分别画出错误选项的反例图形即可.
A、B、D的反例如图.
故选C.
5.(5分)(2008•天津)设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3,到右焦点的距离为1,则P点到右准线的距离为( )
【分析】根据椭圆定义,求出m,利用第二定义求出到右准线的距离,注意右焦点右准线的对应关系.
由椭圆第一定义知a=2,所以m2=4,
椭圆方程为
所以d=2,故选B
6.(5分)(2008•天津)设集合S={x||x﹣2|>3},T={x|a<x<a+8},S∪T=R,则a的取值范围是( )
【分析】根据题意,易得S={x|x<﹣1或x>5},又有S∪T=R,可得不等式组,解可得答案.
根据题意,S={x||x﹣2|>3}={x|x<﹣1或x>5},
又有S∪T=R,
所以,
7.(5分)(2008•天津)设函数的反函数为f﹣1(x),则( )
【分析】根据本题所给出的选项,利用排除法比较方便,这样可以简化直接求解带来的繁琐.
∵为减函数,
由复合函数单调性知f(x)为增函数,
∴f﹣1(x)单调递增,排除B、C;
又f﹣1(x)的值域为f(x)的定义域,
∴f﹣1(x)最小值为0
故选D
8.(5分)(2008•天津)已知函数,则不等式x+(x+1)f(x+1)≤1的解集是( )
【分析】对f(x+1)中的x分两类,即当x+1<0,和x+1≥0时分别解不等式可得结果.
依题意得
所以
故选:
C.
9.(5分)(2008•天津)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是增函数.令a=f(sin),b=f(cos),c=f(tan),则( )
【分析】通过奇偶性将自变量调整到同一单调区间内,根据单调性比较a、b、c的大小.
因为,又由函数在区间[0,+∞)上是增函数,
所以,所以b<a<c,
故选A
10.(5分)(2008•天津)有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出6张卡片排成3行2列,要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5,则不同的排法共有( )
【分析】根据题意,分2步进行,首先确定中间行的数字只能为1,4或2,3,然后确定其余4个数字的排法数,使用排除法,用总数减去不合题意的情况数,可得其情况数目,由乘法原理计算可得答案.
根据题意,要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5,则中间行的数字只能为1,4或2,3,共有C21A22=4种排法,
然后确定其余4个数字,其排法总数为A64=360,
其中不合题意的有:
中间行数字和为5,还有一行数字和为5,有4种排法,
余下两个数字有A42=12种排法,
所以此时余下的这4个数字共有360﹣4×
12=312种方法;
由乘法原理可知共有4×
312=1248种不同的排法,
故选B.
11.(4分)(2008•天津)在(x﹣)5的二次展开式中,x2的系数为 40 (用数字作答).
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为2求出x2的系数.
令
所以r=2,
所以x2的系数为(﹣2)2C52=40.
故答案为40
12.(4分)(2008•天津)一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该球的体积为,则该正方体的表面积为 24 .
【分析】由题意球的直径等于正方体的体对角线的长,求出球的半径,再求正方体的棱长,然后求正方体的表面积.
设球的半径为R,由得,
所以a=2,表面积为6a2=24.
故答案为:
24
13.(4分)(2008•天津)已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称.直线4x﹣3y﹣2=0与圆C相交于A、B两点,且|AB|=6,则圆C的方程为 x2+(y﹣1)2=10 .
【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标,进而求得圆心,进而求得圆心到直线4x﹣3y﹣2=0的距离,根据勾股定理求得圆的半径.则圆的方程可得.
依题意可知抛物线的焦点为(1,0),
∵圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称.
所以圆心坐标为(0,1),
∴,
圆C的方程为x2+(y﹣1)2=10
故答案为x2+(y﹣1)2=10
14.(4分)(2008•天津)如图,在平行四边形ABCD中,,则= 3 .
【分析】选一对不共线的向量做基底,在平行四边形中一般选择以最左下角定点为起点的一对边做基底,把基底的坐标求出来,代入数量积的坐标公式进行运算,得到结果.
令,,
则
∴.
3
15.(4分)(2008•天津)已知数列{an}中,,则= .
【分析】首先由求an可以猜想到用错位相加法把中间项消去,即可得到an的表达式,再求极限即可.
因为
所以an是一个等比数列的前n项和,所以,且q=2.代入,
所以.
所以答案为
16.(4分)(2008•天津)设a>1,若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a,2a],都有y∈[a,a2]满足方程logax+logay=c,这时a的取值的集合为 {2} .
【分析】由logax+logay=c可以用x表达出y,转化为函数的值域问题求解.
∵logax+logay=c,
∴=c
∴xy=ac
得,单调递减,所以当x∈[a,2a]时,
所以,因为有且只有一个常数c符合题意,所以2+loga2=3,解得a=2,所以a的取值的集合为{2}.
{2}
17.(12分)(2008•天津)已知cos(x﹣)=,x∈(,).
【分析】
(1)利用x的范围确定x﹣的范围,进而利用同角三角函数的基本关系求得sin(x﹣)的值,进而根据sinx=sin[(x﹣)+]利用两角和公式求得答案
(2)利用x的范围和
(1)中sinx的值,利用同角三角函数的基本关系求得cosx的值,进而根据二倍角公式求得sin2x和cos2x的值,
最后代入正弦的两角和公式求得答案.
(1)因为x∈(,),
所以x﹣∈(),
sin(x﹣)==.
sinx=sin[(x﹣)+]
=sin(x﹣)cos+cos(x﹣)sin
=×
+×
=.
(2)因为x∈(,),
故cosx=﹣=﹣=﹣.
sin2x=2sinxcosx=﹣,
cos2x=2cos2x﹣1=﹣.
所以sin(2x+)=sin2xcos+cos2xsin
=﹣.
18.(12分)(2008•天津)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为与p,且乙投球2次均未命中的概率为.
(Ⅰ)根据乙投球2次均未命中的概率为,两次是否投中相互之间没有影响,根据相互独立事件的概率公式写出乙两次都未投中的概率,列出方程,解方程即可.
(II)做出甲投球命中的概率和乙投球命中的概率,因为两人共命中的次数记为ξ,得到变量可能的取值,看清楚变量对应的事件,做出事件的概率,写出分布列和期望.
(Ⅰ)根据乙投球2次均未命中的概率为,两次是否投中相互之间没有影响,
设“甲投球一次命中”为事件A,“乙投球一次命中”为事件B
由题意得
解得或(舍去),
∴乙投球的命中率为.
(Ⅱ)由题设和(Ⅰ)知
ξ可能的取值为0,1,2,3,
P(ξ=1)=P(A)P()+•P(B)P()P()=
∴ξ的分布列为
∴ξ的数学期望.
19.(12分)(2008•天津)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2,∠PAB=60°
(I)由题意在△PAD中,利用所给的线段长度计算出AD⊥PA,在利用矩形ABCD及线面垂直的判定定理及、此问得证;
(II)利用条件借助图形,利用异面直线所称角的定义找到共面得两相交线,并在三角形中解出即可;
(III)由题中的条件及三垂线定理找到二面角的平面角,然后再在三角形中解出角的大小即可.
(Ⅰ)证明:
在△PAD中,由题设PA=2,PD=2,
可得PA2+AD2=PD2于是AD⊥PA.
在矩形ABCD中,AD⊥AB.又PA∩AB=A,
所以AD⊥平面PAB.
(Ⅱ)解:
由题设,BC∥AD,
所以∠PCB(或其补角)是异面直线PC与AD所成的角.
在△PAB中,由余弦定理得
PB=
由(Ⅰ)知AD⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,
所以AD⊥PB,因而BC⊥PB,于是△PBC是直角三角形,故tanPCB=.
所以异面直线PC与AD所成的角的大小为arctan.
(Ⅲ)解:
过点P做PH⊥AB于H,过点H做HE⊥BD于E,连接PE
因为AD⊥平面PAB,PH⊂平面PAB,所以AD⊥PH.又AD∩AB=A,
因而PH⊥平面ABCD,故HE为PE在平面ABCD内的射影.
由三垂线定理可知,BD⊥PE,从而∠PEH是二面角P﹣BD﹣A的平面角.
由题设可得,
PH=PA•sin60°
=,AH=PA•cos60°
=1,
BH=AB﹣AH=2,BD=,
HE=
于是在RT△PHE中,tanPEH=
所以二面角P﹣BD﹣A的大小为arctan.
20.(12分)(2008•天津)已知函数,其中a,b∈R.
(Ⅰ)根据导数的几何意义即为点的斜率,再根据f(x)在点P(2,f
(2))处的切线方程为y=3x+1,解出a值;
(Ⅱ)由题意先对函数y进行求导,解出极值点,因极值点含a,需要分类讨论它的单调性;
(Ⅲ)已知,恒成立的问题,要根据(Ⅱ)的单调区间,求出f(x)的最大值,让f(x)的最大值小于10就可以了,从而解出b值.
(Ⅰ)解:
,由导数的几何意义得f'
(2)=3,于是a=﹣8.
由切点P(2,f
(2))在直线y=3x+1上可得﹣2+b=7,解得b=9.
所以函数f(x)的解析式为.
当a≤0时,显然f'
(x)>0(x≠0).这时f(x)在(﹣∞,0),(0,+∞)上内是增函数.
当a>0时,令f'
(x)=0,解得.
当x变化时,f'
(x),f(x)的变化情况如下表:
x
f′(x)
+
﹣
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
所以f(x)在,内是增函数,在,(0,)内是减函数.
综上,当a≤0时,f(x)在(﹣∞,0),(0,+∞)上内是增函数;
当a>0时,f(x)在,内是增函数,在,(0,)内是减函数.
由(Ⅱ)知,f(x)在上的最大值为与f
(1)的较大者,对于任意的,不等式f(x)≤10在上恒成立,当且仅当,
即,对任意的成立.
从而得,所以满足条件的b的取值范围是.
21.(14分)(2008•天津)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(﹣3,0),一条渐近线的方程是.
(1)设出双曲线方程,根据焦点坐标及渐近线方程求出待定系数,即得双曲线C的方程.
(2)设出直线l的方程,代入双曲线C的方程,利用判别式及根与系数的关系求出MN的中点坐标,从而得到线段MN的垂直平分线方程,通过求出直平分线与坐标轴的交点,计算围城的三角形面积,由判别式大于0,求得k的取值范围.
设双曲线C的方程为(a>0,b>0).
由题设得,解得,所以双曲线方程为.
设直线l的方程为y=kx+m(k≠0).
点M(x1,y1),N(x2,y2)的坐标满足方程组
将①式代入②式,得,整理得(5﹣4k2)x2﹣8kmx﹣4m2﹣20=0.
此方程有两个不等实根,于是5﹣4k2≠0,且△=(﹣8km)2+4(5﹣4k2)(4m2+20)>0.
整理得m2+5﹣4k2>0.③
由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标(x0,y0)满足,.
从而线段MN的垂直平分线方程为.
此直线与x轴,y轴的交点坐标分别为,.
由题设可得.
整理得,k≠0.
将上式代入③式得,整理得(4k2﹣5)(4k2﹣|k|﹣5)>0,k≠0.
解得或.
所以k的取值范围是.
22.(14分)(2008•天津)在数列{an}与{bn}中,a1=1,b1=4,数列{an}的前n项和Sn满足nSn+1﹣(n+3)Sn=0,2an+1为bn与bn+1的等比中项,n∈N*.
题设有a1+a2﹣4a1=0,a1=1,4a22=b2b1,b1=4,由此可求出a2,b2的值.
(Ⅱ)由题设条件猜想,bn=(n+1)2,n∈N*.再用数学归纳法进行证明.
(Ⅲ)由题设条件知.由此可以导出|Tn|<2n2.
由题设有a1+a2﹣4a1=0,a1=1,解得a2=3.由题设又有4a22=b2b1,b1=4,解得b2=9.
由题设nSn+1﹣(n+3)Sn=0,a1=1,b1=4,及a2=3,b2=9,进一步可得a3=6,b3=16,a4=10,b4=25,猜想,bn=(n+1)2,n∈N*.
先证,n∈N*.
当n=1时,,等式成立.当n≥2时用数学归纳法证明如下:
(1)当n=2时,,等式成立.
(2)假设n=k时等式成立,即,k≥2.
由题设,kSk+1=(k+3)Sk(k﹣1)Sk=(k+2)Sk﹣1
①的两边分别减去②的两边,整理得kak+1=(k+2)ak,从而.
这就是说,当n=k+1时等式也成立.根据
(1)和
(2)可知,等式对任何的n≥2成立.
综上所述,等式对任何的n∈N*都成立
再用数学归纳法证明bn=(n+1)2,n∈N*.
(1)当n=1时,b1=(1+1)2,等式成立.
(2)假设当n=k时等式成立,即bk=(k+1)2,那么.
这就是说,当n=k+1时等式也成立.根据
(1)和
(2)可知,等式bn=(n+1)2对任何的n∈N*都成立.
(Ⅲ)证明:
当n=4k,k∈N*时,Tn=﹣22﹣32+42+52﹣﹣(4k﹣2)2﹣(4k﹣1)2+(4k)2+(4k+1)2.
注意到﹣(4k﹣2)2﹣(4k﹣1)2+(4k)2+(4k+1)2=32k﹣4,故4k(4k+4)﹣4k=(4k)2+3×
4k=n2+3n.
当n=4k﹣1,k∈N*时,Tn=(4k)2+3×
4k﹣(4k+1)2=(n+1)2+3(n+1)﹣(n+2)2=n
当n=4k﹣2,k∈N*时,Tn=(4k)2+3×
4k﹣(4k+1)2﹣(4k)2=3(n+2)﹣(n+3)2=﹣n2﹣3n﹣3.
当n=4k﹣3,k∈N*时,Tn=3×
4k﹣(4k+1)2+(4k﹣1)2=3(n+3)﹣(n+4)2+(n+2)2=﹣n﹣3.
从而n≥3时,有
总之,当n≥3时有,即|Tn|<2n2.
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