高考数学-圆锥曲线(习题版)Word文件下载.doc
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10.若圆以抛物线的焦点为圆心,截此抛物线的准线所得弦长为6,则该圆的标准方程是;
11.设F是抛物线C1:
的焦点,点A是抛物线与双曲线C2:
的一条渐近线的一个公共点,且轴,则双曲线的离心率为
【答案】
【解析】抛物线的焦点为.双曲线的渐近线为,不妨取,因为,所以,所以,不妨取,又因为点也在上,所以,即,所以,即,所以,即,所以双曲线的离心率为。
12.已知双曲线的方程为,则双曲线的离心率是.
13.若焦点在x轴上的椭圆的离心率为,则=.
【解析】因为焦点在轴上。
所以,所以。
椭圆的离心率为,所以,解得。
14.已知点P是抛物线上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A的坐标是(4,a),则当时,的最小值是。
三、解答题:
15.(本小题满分13分)
已知椭圆过点,其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线与轴正半轴和轴分别交于点、,与椭圆分别交于点、,各点均不重合且满足
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若,试证明:
直线过定点并求此定点.
(2)由题意设,设l方程为,
由知
∴,由题意,∴-----------------7分
同理由知
∵,∴(*)------8分
联立得
∴需(**)
且有(***)-------10分
(***)代入(*)得,∴,
由题意,∴(满足(**)),----12分
得l方程为,过定点(1,0),即P为定点.---------------13分
16.(本大题满分13分)
已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴直线与椭圆C相交于A、B两点。
(1)求椭圆C的方程;
(2)求的取值范围;
(3)若B点在于x轴的对称点是E,证明:
直线AE与x轴相交于定点。
(2)解:
由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为
由得:
4分
设A(x1,y1),B(x2,y2),则 ① 6分
∴
17.若椭圆:
和椭圆:
满足,则称这两个椭圆相似,是相似比.
(Ⅰ)求过(且与椭圆相似的椭圆的方程;
(Ⅱ)设过原点的一条射线分别与(Ⅰ)中的两椭圆交于、点(点在线段上).
①若是线段上的一点,若,,成等比数列,求点的轨迹方程;
②求的最大值和最小值.
(Ⅱ)①当射线的斜率不存在时,
设点P坐标P(0,,则,.即P(0,).………………5分
当射线的斜率存在时,设其方程,P(
由,则
得
同理………………………7分
又点P在上,则,且由,
即所求方程是.
又(0,)适合方程,
故所求椭圆的方程是.………………9分
②由①可知,当的斜率不存在时,,当的斜率存在时,,
………………11分
综上,的最大值是8,最小值是4.………………12分
18.(本小题满分12分)已知长方形ABCD,,BC=1。
以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy.
(Ⅰ)求以A、B为焦点,且过C、D两点的椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点P(0,2)的直线交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得弦MN为直径的圆恰好过原点?
若存在,求出直线的方程;
若不存在,说明理由。
(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.
设M,N两点的坐标分别为.
联立方程:
消去整理得,
有………………7分
若以MN为直径的圆恰好过原点,则,所以,…………8分
所以,,
即
所以,
即,……………………9分
得.……………………10分
所以直线的方程为,或.………………11分
所在存在过P(0,2)的直线:
使得以弦MN为直径的圆恰好过原点。
…12分
19.(本小题满分12分)
如图,直线l:
y=x+b与抛物线C:
x2=4y相切于点A。
(1)求实数b的值;
(11)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.
【解析】
(I)由得()
因为直线与抛物线C相切,所以,解得………………4分
双曲线
题组一
双曲线的定义及标准方程
1.(2010·
汕头一模)中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等,一个焦点到一条渐近线的距离为,则双曲线方程为 ( )
A.x2-y2=1B.x2-y2=2
C.x2-y2=D.x2-y2=
解析:
由题意,设双曲线方程为-=1(a>
0),
则c=a,渐近线y=x,∴=,∴a2=2.
∴双曲线方程为x2-y2=2.
答案:
B
2.已知双曲线的两个焦点为F1(-,0)、F2(,0),M是此双曲线上的一点,且满足·
=0,||·
||=2,则该双曲线的方程是( )
A.-y2=1B.x2-=1
C.-=1D.-=1
∵·
=0,∴⊥,∴MF1⊥MF2,
∴|MF1|2+|MF2|2=40,
∴(|MF1|-|MF2|)2=|MF1|2-2|MF1|·
|MF2|+|MF2|2=40-2×
2=36,
∴||MF1|-|MF2||=6=2a,a=3,
又c=,∴b2=c2-a2=1,
∴双曲线方程为-y2=1.
A
题组二
双曲线的几何性质
3.(2009·
宁夏、海南高考)双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为( )
A.2B.2C.D.1
双曲线-=1的焦点为(4,0)或(-4,0).渐近线方程为y=x或y=-x.由双曲线的对称性可知,任一焦点到任一渐近线的距离相等,d==2.
4.(2010·
普宁模拟)已知离心率为e的曲线-=1,其右焦点与抛物线y2=16x的焦点重合,则e的值为( )
A.B.C.D.
抛物线焦点坐标为(4,0),则a2+7=16,
∴a2=9,∴e==.
C
5.(2009·
江西高考)设F1和F2为双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点,若F1,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( )
A.B.2C.D.3
=tan60°
,
=⇒4b2=3c2⇒4(c2-a2)=3c2⇒c2=4a2⇒=4⇒e=2.
6.(2010·
广州模拟)已知点F是双曲线-=1(a>
0,b>
0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A.(1,+∞)B.(1,2)C.(1,1+)D.(2,1+)
如图,要使△ABE为锐角三角形,只需∠AEB为锐角,由双曲线对称性知△ABE为等腰三角形,从而只需满足∠AEF<
45°
.
又当x=-c时,y=,
∴tan∠AEF==<
1,
∴e2-e-2<
0,
又e>
1,∴1<
e<
2.
题组三
直线与双曲线的位置关系
7.(2010·
西安调研)过点P(4,4)且与双曲线-=1只有一个交点的直线有( )
A.1条B.2条C.3条D.4条
如图所示,满足条件的直线共有3条.
8.设双曲线-=1的右顶点为A,右焦点为F,过点F作平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为________.
由题意知,A(3,0),F(5,0),渐近线斜率k=±
则直线方程为y=(x-5),
代入-=1,得x=,
∴y=-,即B(,-),
∴S△AFB=×
2×
=.
题组四
双曲线的综合问题
9.(2010·
德州模拟)P为双曲线x2-=1右支上一点,M、N分别是圆(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为________.
双曲线的两个焦点为F1(-4,0)、F2(4,0),为两个圆的圆心,半径分别为r1=2,r2=1,|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值为(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=5.
5
10.
(1)已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x2+y2=10相交于点P(3,-1),若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行,求此双曲线的方程;
(2)已知双曲线的离心率e=,且与椭圆+=1有共同的焦点,求该双曲线的方程.
解:
(1)切点为P(3,-1)的圆x2+y2=10的切线方程是3x-y=10.
∵双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称,
∴两渐近线方程为3x±
y=0.
设所求双曲线方程为9x2-y2=λ(λ≠0).
∵点P(3,-1)在双曲线上,代入上式可得λ=80,
∴所求的双曲线方程为-=1.
(2)在椭圆中,焦点坐标为(±
,0),
∴c=,又e===,∴a2=8,b2=2.
∴双曲线方程为-=1.
11.已知双曲线C:
-y2=1,P是C上的任意点.
(1)求证:
点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数;
(2)设点A的坐标为(3,0),求|PA|的最小值.
(1)证明:
设P(x1,y1)是双曲线上任意一点,
该双曲线的两条渐近线方程分别是
x-2y=0和x+2y=0,
点P(x1,y1)到两条渐近线的距离分别是和.
它们的乘积是·
==.
∴点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.
(2)设P的坐标为(x,y),则
|PA|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+-1
=(x-)2+.
∵|x|≥2,∴当x=时,|PA|2的最小值为,
即|PA|的最小值为.
12.(文)已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.
(1)求双曲线C2的方程;
(2)若直线l:
y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且·
>2(其中O为原点),求k的取值范围.
(1)设双曲线C2的方程为-=1,
则a2=4-1=3,c2=4,
由a2+b2=c2,得b2=1,
故C2的方程为-y2=1.
(2)将y=kx+代入-y2=1,得
(1-3k2)x2-6kx-9=0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得
∴k2≠且k2<1. ①
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
x1+x2=,x1x2=.
∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+)(kx2+)
=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+2=.
又∵·
>2,得x1x2+y1y2>2,
∴>2,
即>0,解得<k2<3, ②
由①②得<k2<1,
故k的取值范围为(-1,-)∪(,1).
(理)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0).
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线:
y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线C交于不同的两点M、N,且线段MN的垂直平分线过点A(0,-1),求实数m的取值范围.
(1)设双曲线方程为-=1(a>
0).
由已知得a=,c=2.
又a2+b2=c2,得b2=1.
故双曲线C的方程为-y2=1.
(2)联立整理得
(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点,
∴,
可得m2>
3k2-1且k2≠.①
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为B(x0,y0).
则x1+x2=,x0==,
y0=kx0+m=.
由题意,AB⊥MN,
∵kAB==-(k≠0,m≠0).
整理得3k2=4m+1.②
将②代入①,得m2-4m>
0,∴m<
0或m>
4.
又3k2=4m+1>
0(k≠0),即m>
-.
∴m的取值范围是(-,0)∪(4,+∞).
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