18年高考真题理科数学(全国2卷)Word格式.doc
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(A)
(B)
(C)
(D)
8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。
哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如。
在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()(A)(B)(C)(D)
9.在长方体中,,,则异面直线与所成角的余弦值为()(A)(B)(C)(D)
10.若在是减函数,则的最大值是()
(A)(B)(C)(D)
11.已知是定义域为的奇函数,满足。
若,则
()
(A)(B)0(C)2(D)50
12.已知是椭圆:
的左,右焦点,是的左顶点,点在过且斜率为的直线上,为等腰三角形,,则的离心率为()
二.填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.曲线在点处的切线方程为____________。
14.若满足约束条件,则的最大值为_________。
15.已知,,则。
16.已知圆锥的顶点为,母线所成角的余弦值为,与圆锥底面所成角为,若的面积为,则该圆锥的侧面积为__________。
三.解答题(共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答)
(一)必考题:
60分。
17.(本小题12分)记为等差数列的前项和,已知,。
⑴求的通项公式;
⑵求,并求的最小值。
18.(本小题12分)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位:
亿元)的折线图。
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了与时间变量的两个线性回归模型。
根据2000年至2016年的数据(时间变量的值依次为)建立模型①:
;
根据2010年至2016年的数据(时间变量的值依次为)建立模型②:
。
⑴分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
⑵你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?
并说明理由。
19.(本小题12分)设抛物线:
的焦点为,过且斜率为的直线与交于两点,。
⑴求的方程;
⑵求过点且与的准线相切的圆的方程。
20.(本小题12分)如图,在三棱锥中,,
,为的中点。
⑴证明:
平面;
⑵若点在棱上,且二面角为,求与平面所成角的正弦值。
21.(本小题12分)已知函数。
⑴若,证明:
当时,;
⑵若在只有一个零点,求。
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4—4:
坐标系与参数方程](本小题10分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数)。
⑴求和的直角坐标方程;
⑵若曲线截直线所得线段的中点坐标为,求的斜率。
23.[选修4—5:
不等式选讲](本小题10分)设函数。
⑴当时,求不等式的解集;
⑵若,求的取值范围。
2018年普通高等学校招生全国统一考试(II卷)解答
一.选择题DABBAABCCACD
二.填空题13.;
14.9;
15.;
16.
17.解:
⑴设的公差为,由题意得。
由得。
所以的通项公式为;
⑵由⑴得,所以当时,取得最小值,最小值为。
18.解:
⑴利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元)。
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元);
⑵利用模型②得到的预测值更可靠。
理由如下:
(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势。
2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠;
(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠。
(以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)
19.解:
⑴由题意得,:
设,由得,故。
而,解得(舍)或,因此:
⑵由⑴得的中点坐标为,所以的中垂线方程为,即。
设所求圆的圆心坐标为,则,解得或。
因此所求圆的方程为或。
20.解:
⑴因,为的中点,故,且。
连,因,故为等腰直角三角形,且,。
故,因此。
又,故平面;
⑵如图,以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系。
由题知,,,,,。
取平面的法向量,设,则。
设平面的法向量为,则,即,可取,所以。
由题得,解得(舍)或,所以。
又,故,所以与平面所成角的正弦值为。
21.解:
⑴当时,。
设函数,则。
当时,故在单调递减。
而,故当时,,即;
⑵设函数,在只有一个零点当且仅当在只有一个零点。
(i)当时,,无零点;
(ii)当时,。
当时,当时。
故在单减,在单增,从而是在的最小值。
①若,即,在没有零点;
②若,即,在只有一个零点;
③若,即,因,故在有一个零点。
由⑴知,当时,所以。
故在有一个零点,因此在有两个零点。
综上,在只有一个零点时,。
22.解:
⑴曲线的直角坐标方程为。
当时,的直角坐标方程为
,当时,的直角坐标方程为;
⑵将的参数方程代入的直角坐标方程,整理得①。
因为曲线截直线所得线段的中点在内,所以①有两个解,设为,则。
又由①得,故,于是直线的斜率。
23.解:
⑴当时,故不等式的解集为;
⑵等价于,而,且当时等号成立。
故等价于。
由可得或,故的取值范围是。
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