江苏专版高考数学大一轮复习第十章解析几何初步练习文05310110Word文件下载.docx
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x+ay+3=0平行,那么实数a= .
4.已知直线l到直线l1:
2x-y+3=0和l2:
2x-y-1=0的距离相等,那么直线l的方程为 .
5.已知直线l1:
(m+3)x+2y=5-3m与l2:
4x+(5+m)y=16,求分别满足下列条件的m的值.
(1)l1与l2相交;
(2)l1与l2平行;
(3)l1与l2重合;
(4)l1与l2垂直.
6.已知直线l1:
ax-by+4=0与直线l2:
(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a,b的值:
(1)直线l1过点(-3,-1),且直线l1与l2垂直;
(2)直线l1与直线l2平行,且坐标原点到l1,l2的距离相等.
1.已知直线l:
x+2y-2=0,那么点P(-2,-1)关于直线l的对称点的坐标为 .
2.(2016·
南师附中调研)已知直线l经过点P(3,4),点A(-2,2),B(4,-2)到直线l的距离相等,那么直线l的方程为 .
3.已知直线l:
y=3x+3,那么直线x-y-2=0关于直线l对称的直线的方程为 .
4.(2016·
南京、盐城调研)若点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,则m2+n2的最小值是 .
2x-y+a=0(a>
0),l2:
-4x+2y+1=0和l3:
x+y-1=0,且l1与l2间的距离是.
(1)求a的值.
(2)能否找到一点P,使得点P同时满足下列三个条件:
①与P在第一象限;
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的;
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶?
若能,求点P的坐标;
若不能,请说明理由.
6.若直线y=2x是△ABC中∠ACB的平分线所在的直线,且顶点A,B的坐标分别为A(-4,2),B(3,1),求顶点C的坐标,并判断△ABC的形状.
第56课 圆的方程
1.与圆(x+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为 .
2.若直线y=x+b平分圆x2+y2-8x+2y+8=0的周长,则实数b的值为 .
3.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则实数a的取值范围是 .
4.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为 .
5.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0,0),B(1,1),C(4,2),求△ABC外接圆的方程.
6.若方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆,求实数a的取值范围,并求出半径最小的圆的方程.
1.(2015·
全国卷改编)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,0),B(0,),C(2,),那么△ABC外接圆的圆心到原点的距离为 .
2.已知实数x,y满足(x-2)2+(y+1)2=1,那么2x-y的最大值与最小值的和为 .
3.已知点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上,若点P的坐标满足不等式x+y+m≥0,则实数m的取值范围是 .
南京一中)已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0),且被x轴分成的两段圆弧的长度之比为1∶2,那么圆C的方程为 .
扬州中学)已知曲线C:
x2+y2-4mx+2my+20m-20=0.
(1)求证:
不论m取何实数,曲线C恒过一定点;
(2)求证:
当m≠2时,曲线C是一个圆.
6.如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:
新桥BC与河岸AB垂直,保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan∠BCO=.
(1)求新桥BC的长;
(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?
(第6题)
第57课 直线与圆的位置关系
北京卷改编)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为 .
山东卷改编)已知圆M:
x2+y2-2ay=0(a>
0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,那么圆M与圆N:
(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是 .
3.以点(2,-1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为 .
4.若PQ是圆x2+y2=9的弦,PQ的中点坐标是(1,2),则直线PQ的方程是 .
5.已知圆x2+y2-6mx-2(m-1)y+10m2-2m-24=0(m∈R).
不论m取什么值,圆心在同一条直线l上;
(2)与l平行的直线中,哪些与圆相交、相切、相离?
6.已知圆M:
x2+(y-2)2=1,Q是x轴上的动点,QA,QB分别切圆M于点A,B.
(1)若AB=,求MQ的长度及直线MQ的方程;
直线AB过定点.
扬州模拟)已知过点A(3,1)的直线l与圆C:
x2+y2-4y-1=0相切于点B,那么·
= .
苏北四市模拟)已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,则当S△AOB=1时,直线l的倾斜角为 .
青岛一模)已知过点P(1,)作圆O:
x2+y2=1的两条切线,切点分别为A和B,那么弦长AB= .
南京、盐城一模)在平面直角坐标系中,已知过点P(-4,0)的直线l与圆C:
(x-1)2+y2=5相交于A,B两点.若A恰好是线段PB的中点,则直线l的方程为 .
5.已知圆P满足:
①截y轴所得的弦长为2;
②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1;
③圆心到直线l:
x-2y=0的距离为.求该圆的方程,并判断该圆与直线x-y+2=0的位置关系.
6.(2016·
江苏卷)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆M:
x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).
(1)若圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)若平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;
(3)若点T(t,0)满足:
存在圆M上的两点P和Q,使得+=,求实数t的取值范围.
第58课 圆与圆的位置关系
1.圆x2+y2=36与圆x2+y2-8x-6y=0的公共弦所在直线的方程为 .
镇江中学)已知集合A={(x,y)|x2+y2=4},B={(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=r2},其中r>
0.若A∩B中有且仅有一个元素,则r的值是 .
如东中学)已知点M在圆C1:
x2+y2+6x-2y+1=0上,点N在圆C2:
x2+y2+2x+4y+1=0上,那么MN的最大值为 .
无锡一中)若两圆相交于点(1,3)和(m,-1),且两圆的圆心都在直线x-y+c=0上,则m+c= .
5.当实数k为何值时,圆C1:
x2+y2+4x-6y+12=0和圆C2:
x2+y2-2x-14y+k=0相交、相切、外离、内含?
6.求经过圆x2+y2=58与直线6x+8y-3=0的交点,且分别满足下列条件的圆的方程:
(1)面积最小的圆;
(2)圆被直线x+y-1=0截得的弦长为3.
1.经过圆4x2+4y2+3x+y-8=0与圆3x2+3y2-2x+4y-10=0的交点,且经过原点的圆的方程是 .
2.若圆O:
x2+y2=5与圆O1:
(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长是 .
前黄中学)已知圆(x-2a)2+(y-a-3)2=4上总存在两个点到原点的距离都为1,那么实数a的取值范围是 .
4.(2015·
南京三模)在平面直角坐标系中,圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=9,直线l:
y=kx+3与圆C相交于A,B两点,M为弦AB上一动点.若以M为圆心、2为半径的圆与圆C总有公共点,则实数k的取值范围为 .
如皋中学)如图,已知圆O:
x2+y2=1和定点A(2,1),由圆O外一点P(a,b)向圆O引切线PQ,切点为Q,且PQ=PA.
(1)求a,b之间的表达式;
(2)求PQ的最小值;
(3)以P为圆心作圆,使它与圆O有公共点,试求出半径最小的圆的方程.
(第5题)
金陵中学)在平面直角坐标系中,已知圆C1:
(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:
(x-4)2+(y-5)2=4.
(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2,求直线l的方程;
(2)设P为坐标平面内一点,存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.
第59课 直线与圆的综合问题
常熟中学)若直线l1:
y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过定点 .
2.若M(x0,y0)是圆x2+y2=r2外一点,则直线x0x+y0y=r2与该圆的位置关系是 .(填“相离”“相交”或“相切”)
淮阴中学)若a>
0,b>
0,4a+b=ab,则在以(a,b)为圆心、a+b为半径的圆中,面积最小的圆的标准方程是 .
启东中学模拟)已知圆O的方程为x2+y2=2,圆M的方程为(x-1)2+(y-3)2=1,过圆M上任一点P作圆O的切线PA.若直线PA与圆M的另一个交点为Q,则当弦PQ的长度最大时,直线PA的斜率是 .
5.已知圆C:
x2+y2-8mx-(6m+2)y+6m+1=0(m∈R,m≠0).
(1)证明圆C恒过一定点M,并求定点M的坐标;
(2)试判断直线4x+3y-3=0与圆C的位置关系,并证明你的结论.
芜湖模拟)如图,在四边形ABCO中,=2,其中O为坐标原点,A(4,0),C(0,2).若M是线段OA上的一个动点(不含端点).设点M的坐标为(a,0),记△ABM的外接圆为圆P.
(1)求圆P的方程;
(2)过点C作圆P的切线CT(T为切点),求CT的取值范围.
1.若过点P(1,1)的直线将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,且使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为 .
武汉模拟)已知AC和BD为圆O:
x2+y2=4的两条互相垂直的弦,垂足为M(1,),那么四边形ABCD面积的最大值为 .
无锡一中)已知直线系M:
xcosθ+(y-2)sinθ=1(0≤θ≤2π),若点P到直线系M的距离为定值,则点P的坐标为 .
南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中,A,B为x轴的正半轴上的两个动点,P(异于原点O)为y轴上的一个定点.若以AB为直径的圆与圆x2+(y-2)2=1外切,且∠APB的大小恒为定值,则线段OP的长为 .
x2+y2=9,点A(-5,0),直线l:
x-2y=0.
(1)求与圆C相切且与直线l垂直的直线方程;
(2)在直线OA(O为坐标原点)上存在点B(不同于点A),满足对于圆C上任一点P,都有为一常数,试求所有满足条件的点B的坐标.
新海中学)在平面直角坐标系中,已知点A(-4,0),B(4,0),C(0,-2),半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上,且在y轴的右侧,圆M被y轴截得弦长为r.
(1)求圆M的方程.
(2)当r变化时,是否存在定直线l与动圆M均相切?
如果存在,求出定直线l的方程;
如果不存在,请说明理由.
1. 【解析】因为直线的方程为x=tan=1,斜率不存在,所以倾斜角为.
2.-3 【解析】由题意知=tan=-1,解得y=-3.
3.= +=1 2x+y-6=0
4.4 【解析】kAC==1,kAB==a-3.因为A,B,C三点共线,所以a-3=1,即a=4.
5.【解答】因为直线的方程为y=-x+1,
所以k=-,倾斜角α=120°
由题知所求直线的倾斜角为30°
即斜率为.
(1)因为直线经过点(,-1),所以所求直线方程为y+1=(x-),即x-3y-6=0.
(2)因为直线在y轴上的截距为-5,所以由斜截式知所求直线方程为y=x-5,即x-3y-15=0.
6.【解答】方法一:
设直线方程为y-4=k(x-1),则这条直线在x轴、y轴上的截距分别为1-,4-k.由于1->
0且4-k>
0,可得k<
0.直线在两个坐标轴上的截距之和S=+(4-k)=5+(-k)+≥5+4=9,当且仅当-k=-,即k=-2时,S有最小值9.故所求直线方程为y-4=-2(x-1),即2x+y-6=0.
方法二:
设所求直线方程为+=1(a>
0).
由题意知+=1. ①
令S=a+b. ②
①×
②得S=(a+b)=5++≥5+4=9.当且仅当=,即2a=b,即a=3,b=6时,取等号.
故所求直线方程为+=1,即2x+y-6=0.
1.∪[1,+∞) 【解析】由k=tanα,根据正切函数图象可知k∈∪[1,+∞).
2.(1,-2) 【解析】因为k,-1,b成等差数列,所以k+b=-2,即b=-2-k,所以直线方程可化为y=kx-k-2,即y+2=k(x-1),故直线必过定点(1,-2).
3. 【解析】由题意知直线l恒过定点P(2,1),如图所示.若l与线段AB相交,则kPA≤k≤kPB.因为kPA=-2,kPB=,所以-2≤k≤.
(第3题)
4. 【解析】直线x-3y-1=0的斜率k'
=tanα=,曲线y=lnx在点(2,ln2)处的切线的斜率k=tanβ=,故tan(α+β)==1.又0<
α<
0<
β<
所以α+β=.
5.【解答】设直线l的方程为Ax+By+C=0,
所以A(4x+2y)+B(x+3y)+C=0,
整理得(4A+B)x+(2A+3B)y+C=0.
当C≠0时,
所以A=B=0,
此时直线不存在;
当C=0时,两方程表示的直线均过原点,且斜率相等,
故-=-,
所以B=A或B=-2A,
所以直线l的方程为x+y=0或x-2y=0.
6.【解答】
(1)如图,设OA=a,OB=b,△ABO的面积为S,则S=ab,且直线l的截距式方程是+=1.
由直线经过点(2,1),得+=1,
所以==.
因为点A和点B在x轴、y轴的正半轴上,所以上式右端的分母b-1>
0.由此得
S=·
b=·
b==b+1+=b-1++2≥2+2=4.
当且仅当b-1=,即b=2时,面积S取得最小值4,此时a=4,直线l的方程为+=1,即x+2y-4=0.
(2)如图,设∠BAO=θ,
则MA=,MB=,
所以MA·
MB=·
=,
则当θ=45°
时,MA·
MB有最小值4,
此时直线l的斜率为-1,
所以直线l的方程为x+y-3=0.
1. 【解析】d==.
2.3x+2y-1=0 【解析】由题意知直线l的斜率为-,因此直线l的方程为y-2=-(x+1),即3x+2y-1=0.
3.-1或2 【解析】若a=0,则两条直线方程分别为-x+2y+1=0和x=-3,此时两直线相交,不平行,所以a≠0;
若a≠0,因为两直线平行,所以=≠,解得a=-1或2.
4.2x-y+1=0 【解析】因为直线l到两直线的距离相等,所以直线l一定与两直线平行.设直线l的方程为2x-y+m=0,则由两条平行线之间的距离公式有=,解得m=1,所以直线l的方程为2x-y+1=0.
5.【解答】由=,得m2+8m+7=0,解得m1=-1,m2=-7.
由=,得m=-1.
(1)当m≠-1且m≠-7时,≠,l1与l2相交.
(2)当m=-7时,l1∥l2.
(3)当m=-1时,l1与l2重合.
(4)当(m+3)·
4+2·
(5+m)=0,即m=-时,l1⊥l2.
(1)因为l1⊥l2,所以a(a-1)+(-b)·
1=0,即a2-a-b=0. ①
又点(-3,-1)在直线l1上,
所以-3a+b+4=0. ②
由①②解得a=2,b=2.
(2)因为l1∥l2,所以=1-a,所以b=,故l1和l2的方程可分别表示为(a-1)x+y+=0,(a-1)x+y+=0.又原点到l1,l2的距离相等,所以4=,解得a=2或,所以a=2,b=-2或a=,b=2.
1. 【解析】设点P关于直线l的对称点为P'
(x0,y0),则线段PP'
的中点M在直线l上,且PP'
⊥l,所以解得即点P'
的坐标为.
2.2x+3y-18=0或2x-y-2=0 【解析】显然直线l的斜率不存在时,不满足题意,故设直线l的方程为y-4=k(x-3),即kx-y+4-3k=0,由题意知=,解得k=2或k=-,所以直线l的方程为2x-y-2=0或2x+3y-18=0.
3.7x+y+22=0 【解析】由得交点为P.又直线x-y-2=0上的点Q(2,0)关于直线l的对称点为Q'
故所求直线(即PQ'
)的方程为=,即7x+y+22=0.
4.4 【解析】因为点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,所以4m+3n-10=0.欲求m2+n2的最小值,可先求的最小值,即求原点(0,0)到直线4m+3n-10=0的距离d.又d=2,所以m2+n2的最小值为4.
5.【解答】
(1)l2:
2x-y-=0,故l1与l2间的距离d==,所以a=3或a=-4.因为a>
0,所以a=3.
(2)设点P的坐标为(x0,y0).
若点P满足条件②,则点P在与直线l1,l2平行的直线l'
:
2x-y+C=0上,且=·
即C=或C=,所以2x0-y0+=0或2x0-y0+=0.
若点P满足条件③,由点到直线的距离公式得=·
即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,
解得x0-2y0+4=0或3x0+2=0.
又由①知点P在第一象限,则3x0+2=0不可能.
联立方程2x0-y0+=0和x0-2y0+4=0,解得x0=-3,y0=,舍去.
联立方程2x0-y0+=0和x0-2y0+4=0,解得x0=,y0=.
所以P即为同时满足三个条件的点.
6.【解答】由题意画出大致图象如图所示,
设点A(-4,2)关于直线l:
y=2x的对称点为A'
(a,b),则点A'
必在直线BC上.
由对称性可得
解得所以A'
(4,-2),
所以直线BC的方程为=,
即3x+y-10=0.
由得C(2,4),
所以kAC=,kBC=-3,所以AC⊥BC,
所以△ABC是直角三角形.
1.(x-2)2+y2=5 【解析】圆心(-2,0)关于原点(0,0)的对称点为(2,0),所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=5.
2.-5 【解析】圆心坐标为(4,-1),由直线y=x+b平分圆,知-1=4+b,所以b=-5.
3.(-1,1) 【解析】因为点(1,1)在圆的内部,所以(1-a)2+(1+a)2<
4,解得-1<
a<
1,即实数a的取值范围是(-1,1).
4.x2+(y-2)2=1 【解析】设圆的方程为x2+(y-b)2=1,此圆过点(1,2),所以12+(2-b)2=1,解得b=2,故所求圆的方程为x2+(y-2)2=1.
5.【解答】方法一:
设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
由题意得
解得所以△ABC外接圆的方程为x2+y2-8x+6y=0.
根据圆的性质可知△ABC外接圆的圆心一定在三边垂直平分线的交点处,易得AB的垂直平分线的方程为y-=-
x-
①
BC的垂直平分线的方程为y-=-3. ②
联立①②得解得
故所求圆的圆心为P(4,-3),半径r=OP=5,
所以所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=25.
6.【解答】因为方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆,所以a≠0,
所以方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0可以写成x2+y2-x+y=0.
因为D2+E2-4F=>
0恒成立,所以a≠0时,方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆.
设圆的半径为r,则r2==2,所以当=,即a=2时,圆的半径最小,半径最小的圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
1. 【解析】△ABC外接圆的圆心在直线BC的垂直平分线上,即在直线x=1上,设圆心D(1,b).由DA=DB,得|b|=⇒b=,所以圆心到原点的距离d==.
2.10 【解析】令b=2x-y,则b为直
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