江苏省高考数学二轮复习讲义专题五 第一讲 小题考法函数.docx
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江苏省高考数学二轮复习讲义专题五第一讲小题考法函数
2019年4月
[江苏卷5年考情分析]
小题考情分析
大题考情分析
常考点
1.函数的基本性质(5年4考)
2.函数的零点问题(5年4考)
3.导数与函数的单调性、最值(5年2考)
4.基本不等式(5年3考)
本部分内容在高考解答题中是必考内容.2014年第19题,考查函数与不等式;2015年第19题,考查函数的单调性及应用函数零点确定参数值;2016年第19题,考查函数与不等式、零点问题;2017年第20题,考查函数与导数、函数的极值、零点问题;2018年第19题,考查函数的定义、函数零点以及导数应用于函数的性质问题.题目难度较大,多体现分类讨论思想.
偶考点
1.一元二次不等式恒成立问题
2.线性规划问题
第一讲小题考法——函数
考点
(一)函数的基本性质
主要考查函数的三要素以及函数的单调性、奇偶性、周期性的应用,常结合分段函数命题.
[题组练透]
1.(2018·江苏高考)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)=则f(f(15))的值为________.
详细分析:
由函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),
可知函数f(x)的周期是4,
所以f(15)=f(-1)==,
所以f(f(15))=f=cos=.
答案:
2.(2017·江苏高考)已知函数f(x)=x3-2x+ex-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是________.
详细分析:
由f(x)=x3-2x+ex-,
得f(-x)=-x3+2x+-ex=-f(x),
所以f(x)是R上的奇函数.
又f′(x)=3x2-2+ex+≥3x2-2+2=3x2≥0,当且仅当x=0时取等号,
所以f(x)在其定义域内单调递增.
因为f(a-1)+f(2a2)≤0,
所以f(a-1)≤-f(2a2)=f(-2a2),
所以a-1≤-2a2,解得-1≤a≤,
故实数a的取值范围是.
答案:
3.(2018·扬州期末)已知函数f(x)=若存在实数k使得该函数的值域为[-2,0],则实数a的取值范围是________.
详细分析:
作出函数f(x)的图象如图所示,
①当x∈[-1,k]时,f(x)=log(-x+1)-1在[-1,1)上是单调递增,且f(-1)=-2,f=0,因为原函数在[-1,a]上的值域为[-2,0],所以必有-1 ②当x∈(k,a]时,f(x)=-2|x-1|,在(-∞,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减,且f(0)=f (2)=-2,f (1)=0,因为原函数的值域为[-2,0],所以必有0≤k 综合①②,要求存在实数k使得该函数的值域为[-2,0],则必须0≤k≤ 答案: [方法技巧] 函数性质的应用技巧 奇偶性 具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解+析式和单调性联系密切,研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上.尤其注意偶函数f(x)的性质: f(|x|)=f(x) 单调性 可以比较大小,求函数最值,解不等式,证明方程根的唯一性 周期性 利用周期性可以转化函数的解+析式、图象和性质,把不在已知区间上的问题,转化到已知区间上求解 对称性 利用其轴对称或中心对称可将研究的问题,转化到另一对称区间上研究 考点 (二) 基本初等函数 主要考查基本初等函数的图象和性质以及由基本初等函数复合而成的函数的性质问题. [题组练透] 1.(2018·南通检测)已知幂函数f(x)=xα,其中α∈.则使f(x)为奇函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数的α的所有取值的集合为________. 详细分析: 幂函数f(x)为奇函数,则α=-1,1,3,f(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数,则α的所有值为1,3. 答案: {1,3} 2.已知函数y=与函数y=的图象共有k(k∈N*)个公共点: A1(x1,y1),A2(x2,y2),…,Ak(xk,yk),则(xi+yi)=________. 详细分析: 如图,函数y=与函数y=的图象都关于点(0,1)成中心对称, 所以它们的交点也关于点(0,1)成中心对称,且只有两个交点, 所以i=0,i=2,则(xi+yi)=2. 答案: 2 3.(2018·镇江期末)不等式logax-ln2x<4(a>0且a≠1)对任意x∈(1,100)恒成立,则实数a的取值范围为________________. 详细分析: 不等式logax-ln2x<4可化为-ln2x<4, 即<+lnx对任意x∈(1,100)恒成立. 因为x∈(1,100),所以lnx∈(0,2ln10), 所以+lnx≥4,故<4, 解得lna<0或lna>,即0<a<1或a>e . 答案: (0,1)∪ 4.(2018·扬州期中)已知函数f(x)=x(1-a|x|)+1(a>0),若f(x+a)≤f(x)对任意的x∈R恒成立,则实数a的取值范围是__________. 详细分析: ∵f(x)=x(1-a|x|)+1 = =(a>0), f(x+a)=(x+a)(1-a|x+a|)+1, 又∵f(x+a)≤f(x)对任意的x∈R恒成立, 在同一直角坐标系中作出满足题意的y=f(x+a)与y=f(x)的图象如图所示. ∴x(1+ax)+1≥(x+a)[1-a(x+a)]+1恒成立, 即x+ax2+1≥-a(x2+2ax+a2)+x+a+1, 整理得: 2x2+2ax+a2-1≥0恒成立, ∴Δ=4a2-4×2×(a2-1)≤0,解得a≥. 即实数a的取值范围是[,+∞). 答案: [,+∞) [方法技巧] 基本初等函数图象与性质的应用技巧 (1)指数函数与对数函数的单调性都取决于其底数,当底数a的值不确定时,要注意分a>1和0 (2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数,其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质,然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断. (3)对于幂函数y=xα的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同. 考点(三) 函数的零点问题 主要考查函数零点个数问题以及根据函数零点个数求参数的取值范围. [典例感悟] [典例] (1)(2018·苏锡常镇一模)若函数f(x)=则函数y=|f(x)|-的零点个数为________. (2)(2018·镇江期末)已知k为常数,函数f(x)=若关于x的方程f(x)=kx+2有且只有四个不同解,则实数k的取值构成的集合为________. [详细分析] (1)当x≥1时,y=-, 则=,即lnx=x2, 令g(x)=lnx-x2,x≥1, 则函数g(x)是连续函数且先增后减, g (1)=-<0,g (2)=ln2->0, g(4)=ln4-2<0,由函数的零点判定定理可知g(x)=lnx-x2有2个零点. 当x<1时,y= 函数的图象与y=的图象如图,则两个函数有2个交点,综上,函数y=|f(x)|-有4个零点. (2)作函数y=f(x)和y=kx+2的图象,如图所示,两图象除了(0,2)还应有3个公共点. 当k≥0时,直线应与曲线y=f(x)(x>1)相切, 设切点(x0,lnx0),则切线斜率为k=,又k=,则=,解得x0=e3,此时k=; 当k<0时,当y=kx+2与曲线y=相切于点(0,2)时,k=-1,函数y=f(x)和y=kx+2的图象只有3个公共点,不符合题意, 当-1 当直线y=kx+2与y=f(x)(0 设切点(x0,-lnx0),则切线的斜率k=-, 又k=,则-=, 解得x0=e-1,此时k=-e不符合题意, 当k<-e时,两图象只有两个公共点,不合题意, 而当-e [答案] (1)4 (2)∪(-e,-1) [方法技巧] 利用函数零点的情况求参数值或范围的方法 [演练冲关] 1.(2018·南通二调)已知函数f(x)=其中m>0.若函数y=f(f(x))-1有3个不同的零点,则m的取值范围是________. 详细分析: 令f(x)=t,则f(t)=1,所以t=或t=m-1,即f(x)=与f(x)=m-1有3个不同解. 画出函数f(x)的图象,结合题意解得 解得0 答案: (0,1) 2.(2018·南京、盐城一模)设函数f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)=若函数y=f(x)-m有4个不同的零点,则实数m的取值范围是________. 详细分析: 由函数f(x)是偶函数及当x≥0时函数f(x)的解+析式作出函数f(x)的图象如图所示.若函数y=f(x)-m有4个不同的零点,则y=f(x)与y=m的函数图象有4个交点,由图象可知,要满足题意,则m∈. 答案: 3.(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)设函数f(x)=(其中e为自然对数的底数)有3个不同的零点,则实数m的取值范围是________. 详细分析: 法一: (直接法)当x>0时,令f(x)=e-x-=0,解得x=ln2>0,此时函数f(x)有1个零点,因为要求函数f(x)在R上有3个不同的零点,则当x≤0时,f(x)=x3-3mx-2有2个不同的零点,因为f′(x)=3x2-3m,若m≤0,则函数f(x)为增函数,不合题意,若m>0,由f′(x)>0,得x<-;由f′(x)<0,得- 以函数f(x)在(-∞,-)上为增函数,在(-,0]上为减函数,即f(x)max=f(-)=-m+3m-2=2m-2,f(0)=-2<0,要使f(x)=x3-3mx-2在(-∞,0]上有2个不同的零点,则f(x)max=2m-2>0,即m>1,故实数m的取值范围是(1,+∞). 法二: (分离参数法)当x>0时,令f(x)=e-x-=0,解得x=ln2>0,此时函数f(x)有1个零点,因为要求函数f(x)在R上有3个不同的零点,则当x≤0时,f(x)=x3-3mx-2有2个不同的零点,令x3-3mx-2=0,显然x=0不是它的根,所以3m=x2-,令y=x2-(x<0),则y′=2x+=,当x∈(-∞,-1)时,y′<0,此时函数单调递减;当x∈(-1,0)时,y′>0,此时函数单调递增,故ymin=3,因此,要使f(x)=x3-3mx-2在(-∞,0)上有2个不同的零点,则需3m>3,即m>1. 答案: (1,+∞) [必备知能·自主补缺] (一)主干知识要牢记 1.函数的定义域 (1)函数的定义域是研究函数问题的先决条件,它会直接影响函数的性质,所以要树立定义域优先的意识. (2)对于复合函数的定义域要注意: ①如果函数f(x)的定义域为A,则f(g(x))的定义域是使函数g(x)∈A的x的取值范围. ②如果f(g(x))的定义域为A,则函数f(x)的定义域是函数g(x)的值域. ③f(g(x))与f(h(x))联系的纽带是g(x)与h(x)的值域相同. 2.函数的值域 求函数值域的常用方法有观察法、不等式法、图象法、换元法、单调性法等. 3.函数的图象 函数的图象包括作图、识图、用图,其中作函数图象有两种基本方法: 一是描点法;二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换. 4.函数的单调性 单调性是函数的一个局部性质,一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.判断函数单调性常用定义法、图象法及导数法. 5.函数的奇偶性 函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质.偶函数的图象关于y轴对称,在关于坐标原点对称的定义域上具有相反的单调性;奇函数的图象关于坐标原点对称,在关于坐标原点对称的定义域上具有相同的单调性.判断函数奇偶性的常用方法有定义法、图象法及性质法. 6.函数的周期性 周期性是函数在定义域上的整体性质.若函数满足f(a+x)=f(x)(a不等于0),则其一个周期T=|a|,最小正数T叫做f(x)的最小正周期. (二)二级结论要用好 1.函数单调性和奇偶性的重要结论 (1)当f(x),g(x)同为增(减)函数时,f(x)+g(x)为增(减)函数. (2)偶函数的和、差、积、商是偶函数,奇函数的和、差是奇函数,积、商是偶函数,奇函数与偶函数的积、商是奇函数. (3)定义在(-∞,+∞)上的奇函数的图象必过原点,即有f(0)=0.存在既是奇函数,又是偶函数的函数: f(x)=0. 2.抽象函数的周期性与对称性的结论 (1)函数的周期性 ①若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a),则f(x)是周期函数,T=2a. ②若函数f(x)满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期函数,T=2a. ③若函数f(x)满足f(x+a)=,则f(x)是周期函数,T=2a. (2)函数图象的对称性 ①若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),或f(x)=f(2a-x),则f(x)的图象关于直线x=a对称. ②若函数y=f(x)满足f(a+x)=-f(a-x),或f(x)=-f(2a-x),则f(x)的图象关于点(a,0)对称. ③若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=对称. 3.函数图象平移变换的相关结论 (1)把y=f(x)的图象沿x轴左右平移|c|个单位(c>0时向左移,c<0时向右移)得到函数y=f(x+c)的图象(c为常数). (2)把y=f(x)的图象沿y轴上下平移|b|个单位(b>0时向上移,b<0时向下移)得到函数y=f(x)+b的图象(b为常数). [课时达标训练] A组——抓牢中档小题 1.(2018·江苏高考)函数f(x)=的定义域为________. 详细分析: 由log2x-1≥0,即log2x≥log22,解得x≥2,所以函数f(x)=的定义域为{x|x≥2}. 答案: {x|x≥2} 2.(2018·苏州期末)已知4a=2,logax=2a,则正实数x的值为________. 详细分析: 由4a=2,得22a=21,所以2a=1,即a=.由log x=1,得x=1=. 答案: 3.函数f(x)=ln的值域是________. 详细分析: 因为|x|≥0,所以|x|+1≥1. 所以0<≤1.所以ln≤0, 即f(x)=ln的值域为(-∞,0]. 答案: (-∞,0] 4.(2018·启东模考)设函数f(x)= 则f(f (2))=________. 详细分析: 因为f (2)=-4+2=-2,f(-2)=-2-1=3,所以f(f (2))=3. 答案: 3 5.已知f(x)是奇函数,g(x)=.若g (2)=3,则g(-2)=________. 详细分析: 由题意可得g (2)==3,解得f (2)=1.又f(x)是奇函数,则f(-2)=-1,所以g(-2)===-1. 答案: -1 6.(2018·南京、盐城一模)设函数y=ex+-a的值域为A,若A⊆[0,+∞),则实数a的取值范围是________. 详细分析: 因为ex>0,所以y=ex+-a≥2-a=2-a,当且仅当ex=1,即x=0时取等号.故函数的值域A=[2-a,+∞).又A⊆[0,+∞),所以2-a≥0,得a≤2,即实数a的取值范围是(-∞,2]. 答案: (-∞,2] 7.(2018·福建模拟)已知函数f(x)=有两个零点,则实数a的取值范围是________. 详细分析: 当x<1时,令ln(1-x)=0,解得x=0,故f(x)在(-∞,1)上有1个零点, ∴f(x)在[1,+∞)上有1个零点. 当x≥1时,令-a=0,得a=≥1. ∴实数a的取值范围是[1,+∞). 答案: [1,+∞) 8.(2018·苏州模拟)设a=log 2,b=log ,c=0.3,则a,b,c按从小到大的顺序排列为_________. 详细分析: 因为log 2 1=0,log =log23>log22=1,0<0.3<0=1,即a<0,b>1,0 答案: a 9.已知函数f(x)=若g(x)=f(x)+ax,x∈[-2,2]为偶函数,则实数a=________. 详细分析: 因为f(x)= 所以g(x)=f(x)+ax= 因为g(x)为偶函数,所以g (1)=g(-1), 即1+a-1=-a-1,整理得2a=-1,解得a=-. 答案: - 10.(2018·南京三模)已知函数f(x)是定义在R上且周期为4的偶函数.当x∈[2,4]时,f(x)=,则f的值为________. 详细分析: 因为函数f(x)是定义在R上且周期为4的偶函数,所以f=f=f,因为当x∈[2,4]时,f(x)=,所以f=f==log42=. 答案: 11.(2018·盐城期中)若函数f(x)=在区间(-∞,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是________. 详细分析: 函数f(x)=根据反比例函数的性质可知,y=在区间(-∞,0)上单调递减,要使函数f(x)在区间(-∞,a)上单调递减,则a≤0.因此函数f(x)=|x+1|在区间(a,+∞)上单调递增,那么a+1≥0,解得a≥-1.所以实数a的取值范围是[-1,0]. 答案: [-1,0] 12.(2018·苏锡常镇调研)已知函数f(x)=(e是自然对数的底数).若函数y=f(x)的最小值是4,则实数a的取值范围为________. 详细分析: 法一: 当x≥1时,f(x)min=f (2)=4,所以当x<1时,a-ex≥4恒成立.转化为a≥ex+4对x<1恒成立.因为ex+4在(-∞,1)上的值域为(4,e+4),所以a≥e+4. 法二: 当x<1时,f(x)=a-ex>a-e;当x≥1时,f(x)=x+≥4,当且仅当x=,即x=2时,取“=”,又函数f(x)的值域是[4,+∞),所以a-e≥4,即a≥e+4. 答案: [e+4,+∞) 13.(2018·南京、盐城、连云港二模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=x2+x.若f(a)+f(-a)<4,则实数a的取值范围为________. 详细分析: 法一: (奇偶性的性质)因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(a)+f(-a)=2f(|a|)<4, 得f(|a|)<2,即|a|2+|a|<2,(|a|+2)(|a|-1)<0,解得-1 法二: (奇偶性的定义)当x≤0时,-x≥0,又因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)=f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x,故f(x)= 当a≥0时,f(a)+f(-a)=(a2+a)+(-a)2-(-a)=2a2+2a<4,解得0≤a<1; 当a≤0时,f(a)+f(-a)=(a2-a)+(-a)2+(-a)=2a2-2a<4,解得-1 综上,-1 答案: (-1,1) 14.(2018·南通三模)已知函数f(x)=若函数g(x)=2f(x)-ax恰有2个不同的零点,则实数a的取值范围是________. 详细分析: 由题意可知,g(x)= 显然当a=2时,g(x)有无穷多个零点,不符合题意; 当x≥a时,令g(x)=0,得x=0, 当x ①若a>0,且a≠2,则g(x)在[a,+∞)上无零点, 在(-∞,a)上存在零点x=0和x=-,
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