九年级下34《圆周角和圆心角的关系》课时练习含答案解析Word文档格式.docx
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=28°
∴∠ACD=∠B=28°
利用垂直的定义得到∠DPB=90°
,再根据三角形内角和定理求出∠B=180°
,然后根据圆周角定理即可得到∠ACD的度数.
3.如图,AB是⊙O的直径,若∠BAC=35°
,则∠ADC=( )
A.35°
B.55°
C.70°
D.110°
B
:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°
∵∠BAC=35°
∴∠ABC=180°
-35°
=55°
∴∠ADC=∠ABC=55°
故选B.
先根据圆周角定理求出∠ACB=90°
,再由三角形内角和定理得出∠ABC的度数,根据圆周角定理即可得出结论.
4.下列命题中,正确的命题个数是( )
①顶点在圆周上的角是圆周角;
②圆周角度数等于圆心角度数的一半;
③90°
的圆周角所对的弦是直径;
④圆周角相等,则它们所对的弧也相等.
A.1个B.2个C.3个D.4个
解:
①中,该角还必须两边都和圆相交才行.错误;
②中,必须是同弧或等弧所对,错误;
③正确;
④中,必须在同圆或等圆中,错误.
根据圆周角的概念和定理,逐条分析判断.
5.如图,已知A,B,C在⊙O上,
为优弧,下列选项中与∠AOB相等的是( )
A.2∠CB.4∠BC.4∠AD.∠B+∠C
如图,由圆周角定理可得:
∠AOB=2∠C.
故选:
A.
圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.根据圆周角定理,可得∠AOB=2∠C.
6.如图,⊙O的弦CD与直径AB相交,若∠ACD=35°
,则∠BAD=( )
A.55°
B.40°
C.35°
D.30°
∵∠ACD与∠B是AD对的圆周角,
∴∠B=∠ACD=35°
∴∠ADB=90°
∴∠BAD=90°
-∠B=55°
由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可求得∠B的度数,又由AB是⊙O的直径,根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角,即可求得∠ADB=90°
,继而可求得∠BAD的度数.
7.如图,⊙O是△ABC的外接圆,若∠ABC=40°
,则∠AOC的度数为( )
A.20°
C.60°
D.80°
D
∵⊙O是△ABC的外接圆,∠ABC=40°
∴∠AOC=2∠ABC=80°
D.
由⊙O是△ABC的外接圆,若∠ABC=40°
,根据圆周角定理,即可求得答案.
8.如图所示,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的⊙O的圆心O在格点上,则∠AED的正切值等于( )
B.
C.2D.
∵∠E=∠ABD,
∴tan∠AED=tan∠ABD=
故选D.
根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解.
9.如图,△ABC的顶点A.B.C均在⊙O上,若∠ABC+∠AOC=90°
,则∠AOC的大小是( )
A.30°
B.45°
D.70°
C
∵∠ABC=
∠AOC,
而∠ABC+∠AOC=90°
∴
∠AOC+∠AOC=90°
∴∠AOC=60°
C.
先根据圆周角定理得到∠ABC=
∠AOC,由于∠ABC+∠AOC=90°
,所以
,然后解方程即可.
10.如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,连接AC.AD,若∠CAB=35°
,则∠ADC的度数为( )
C.55°
D.65°
连接BC,
∵∠CAB=35°
∴∠B=55°
∴∠ADC=55°
故选C.
连接BC,推出Rt△ABC,求出∠B的度数,即可推出∠ADC的度数.
11.若四边形ABCD是⊙O的内接四边形,且∠A:
∠B:
∠C=1:
3:
8,则∠D的度数是( )
A.10°
B.30°
C.80°
D.120°
设∠A=x,则∠B=3x,∠C=8x,
因为四边形ABCD为圆内接四边形,
所以∠A+∠C=180°
即:
x+8x=180,
∴x=20°
则∠A=20°
,∠B=60°
,∠C=160°
所以∠D=120°
本题可设∠A=x,则∠B=3x,∠C=8x;
利用圆内接四边形的对角互补,可求出∠A.∠C的度数,进而求出∠B和∠D的度数,由此得解.
12.如图,四边形ABCD是圆内接四边形,E是BC延长线上一点,若∠BAD=105°
,则∠DCE的大小是( )
A.115°
B.l05°
C.100°
D.95°
∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠BAD+∠BCD=180°
而∠BCD+∠DCE=180°
∴∠DCE=∠BAD,
而∠BAD=105°
∴∠DCE=105°
根据圆内接四边形的对角互补得到∠BAD+∠BCD=180°
,而∠BCD与∠DEC为邻补角,得到∠DCE=∠BAD=105°
13.如图,⊙C过原点,且与两坐标轴分别交于点A.点B,点A的坐标为(0,3),M是第三象限内
上一点,∠BMO=120°
,则⊙C的半径长为( )
A.6B.5C.3D.3
∵四边形ABMO是圆内接四边形,∠BMO=120°
∴∠BAO=60°
∵AB是⊙C的直径,
∴∠AOB=90°
∴∠ABO=90°
-∠BAO=90°
-60°
=30°
∵点A的坐标为(0,3),
∴OA=3,
∴AB=2OA=6,
∴⊙C的半径长=
=3.
先根据圆内接四边形的性质求出∠OAB的度数,由圆周角定理可知∠AOB=90°
,故可得出∠ABO的度数,根据直角三角形的性质即可得出AB的长,进而得出结论.
14.如图,四边形ABCD内接于⊙O,若它的一个外角∠DCE=70°
,则∠BOD=( )
B.70°
C.110°
D.140°
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠A=∠DCE=70°
∴∠BOD=2∠A=140°
由圆内接四边形的外角等于它的内对角知,∠A=∠DCE=70°
,由圆周角定理知,∠BOD=2∠A=140°
15.如图,已知经过原点的⊙P与x.y轴分别交于A.B两点,点C是劣弧OB上一点,则∠ACB=( )
A.80°
B.90°
D.无法确定
∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角,
∴∠AOB=∠ACB,
∵∠AOB=90°
由∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角,根据圆周角定理,即可求得∠ACB=∠AOB=90°
二.填空题
16.如图,△ABC的顶点A.B.C均在⊙O上,∠OAC=20°
,则∠B的度数是
70°
∵OA=OC,∠OAC=20°
∴∠ACO=∠OAC=20°
∴∠AOC=180°
-∠ACO-∠OAC=180°
-20°
=140°
∴∠B=
∠AOC=
×
140°
=70°
故答案为:
先根据等腰三角形的性质求出∠ACO的度数,再由三角形内角和定理求出∠AOC的度数,由圆周角定理∠B的度数即可.
17.如图,△ABC内接于⊙O,∠ABC=70°
,∠CAB=50°
,点D在⊙O上,则∠ADB的
大小为.
60°
∵∠ABC=70°
∴∠ACB=180°
-∠ABC-∠CAB=60°
∴∠ADB=∠ACB=60°
故答案为60°
先根据三角形内角和定理计算出∠ACB的度数,然后根据圆周角定理求解.
18.如图,A.B.C.D都在⊙O上,∠B=130°
,则∠AOC的度数是
100°
∵A.B.C.D都在⊙O上,即四边形ABCD为⊙O内接四边形,
∴∠D+∠B=180°
,又∠B=130°
∴∠D=180°
-∠B=180°
-130°
=50°
又∠D为⊙O的圆周角,∠AOC为⊙O的圆心角,且两角所对的弧都为
则∠AOC=2∠D=100°
由A.B.C.D四个点都在圆O上,得到四边形ABCD为圆O的内接四边形,根据圆内接四边形的对角互补得到∠B与∠D互补,由∠B的度数求出∠D的度数,∠D为圆O的圆周角,所求的角∠AOC是圆O的圆心角,且两角所对的弧为同一条弧,根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍,由∠D的度数可求出∠AOC的度数.
19.如图,A.B.C.D四点在⊙O上,OC⊥AB,∠AOC=40°
,则∠BDC的度数是
20°
∵OC⊥AB,
∴∠CDB=
而∠AOC=40°
∴∠CDB=20°
故答案为20°
由OC⊥AB,根据垂径定理得到弧AC=弧BC,再根据圆周角定理得∠CDB=
∠AOC,而∠AOC=40°
,即可得到∠BDC的度数.
20.如图,在△ABC中,∠B=60°
,∠C=70°
,若AC与以AB为直径的⊙O相交于点D,则∠BOD的度数是度.
100
∵在△ABC中,∠B=60°
∴∠A=50°
∵∠BOD=2∠A,
∴∠BOD=100°
100.
先根据三角形内角和定理求出∠A的度数,再根据圆周角定理即可求得∠BOD的度数.
三.解答题
21.请用科学的方法证明圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
①如图
(1),当点O在∠BAC的一边上时,
∵OA=OC,
∴∠A=∠C,
∵∠BOC=∠A+∠C,
∴∠BAC=
∠BOC;
②如图
(2)当圆心O在∠BAC的内部时,延长BO交⊙O于点D,连接CD,则
∠D=∠A(同弧或等弧所对的圆周角都相等),
∵OC=OD,
∴∠D=∠OCD,
∵∠BOC=∠D+∠OCD(三角形的一个外角等于与它不相等的两个内角的和),
∴∠BOC=2∠A,
即∠BAC=
∠BOC.
③如图(3),当圆心O在∠BAC的外部时,延长BO交⊙O于点E,连接CE,则
∠E=∠A(同弧或等弧所对的圆周角都相等),
∵OC=OE,
∴∠E=∠OCE,
∵∠BOC=∠E+∠OCE(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和),
分别从当点O在∠BAC的一边上时,当圆心O在∠BAC的内部时与当圆心O在∠BAC的外部时,去分析证明,即可证得结论.
22.如图所示,∠BAC是⊙O的圆周角,且∠BAC=45°
,BC=2
,试求⊙O的半径大小.
∵∠BAC=45°
∴∠B0C=90°
∵BC=2
∴OB=OC=2.
即⊙O的半径为2.
根据圆周角定理,可求∠B0C=90°
,即可知△BOC为等腰直角三角形,故可求0B=OC=1.
23.已知⊙O中,弦AB的长等于⊙O的半径,求弦所对的圆心角和圆周角的度数.
画出图形:
连接OA.OB,
∵AB=OA=OB,
∴∠AOB=60°
分两种情况:
①在优弧上任取一点C,连接CA,CB,
则∠C=
∠AOB=30°
②在劣弧上任取一点D,连接AD.BD,
∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形,
∴∠C+∠ADB=180°
∴∠ADB=180°
-∠C=150°
综上所述,弦AB所对的圆心角是60°
,圆周角是30°
或150°
根据已知条件得出△OAB是等边三角形,则∠AOB=60°
,再根据弦AB所对的弧有两段,一段是优弧,一段是劣弧,然后分类讨论,即可得出答案.
24.如图,在⊙O中,弦AB=3cm,圆周角∠ACB=60°
,求⊙O的直径.
2
过A点作直径AD,连接BD,如图,
∠ABD=90°
又∵∠ADB=∠ACB=60°
∴∠BAD=30°
而AB=3cm,
∴BD=
∴AD=2BD=2
(cm),
即⊙O的直径为2
cm.
过A点作直径AD,则∠ABD=90°
,∠ADB=∠ACB=60°
,在Rt△ABD中,AB=3cm,利用三边的数量关系可求出AD.
25.如图,在半径为6cm的圆中,弦AB长6
cm,试求弦AB所对的圆周角的度数.
如图,
设弦AB在优弧上所对的圆周角为∠P,劣弧上所对的圆周角为∠P′,
连接OA,OB,过O点作OC⊥AB,垂足为C,
由垂径定理,得AC=
AB=3
在Rt△AOC中,OA=6,sin∠AOC=
解得∠AOC=60°
所以,∠AOB=2∠AOC=120°
根据圆周角定理,得∠P=
∠AOB=60°
又APBP′为圆内接四边形,
所以,∠P′=180°
-∠P=120°
故弦AB所对的圆周角的度数为60°
或120°
设弦AB在优弧上所对的圆周角为∠P,劣弧上所对的圆周角为∠P′,连接OA,OB,过O点作OC⊥AB,垂足为C,由垂径定理可知AC=
,解直角三角形得∠AOC的度数,由垂径定理可知,∠AOB=2∠AOC,由圆周角定理得∠P=
∠AOB,利用∠P与∠P′的互余关系求∠P′.
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