建模:城镇问题Word文档格式.doc
- 文档编号:807360
- 上传时间:2023-04-29
- 格式:DOC
- 页数:17
- 大小:771.16KB
建模:城镇问题Word文档格式.doc
《建模:城镇问题Word文档格式.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《建模:城镇问题Word文档格式.doc(17页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
可得到增设的连锁店数目为19个,能实现的全省最大的日销售量为862000公斤。
问题四,首先考虑到运输成本最低即为总的运输距离最短,根据问题一采用Dijkstra算法得到有销售点的城镇间的最短距离矩阵,让各销售点选择与其距离最短的生产点供货,使得总运输距离最短,继而选出新增生产基地。
其次对选出的生产基地进行由其供货的销售城镇的销售总量是否大于250吨的检验。
最终得到在145号城镇增设生产基地。
关键词:
货物配送;
Dijkstra算法;
matlab;
SPSS。
一、问题重述
梦想连锁是一家肉类食品加工与销售公司,主营:
鲜猪肉。
公司在全省县级及以上城镇设立销售连锁店。
全省县级及以上城镇地理位置及道路连接见数据文件:
全省交通网络数据.xlsx。
要解决下列问题:
1、目前公司现有2个生产基地、23家销售连锁店,生产基地设在120号和63号城镇,为23家连锁店提供鲜猪肉,连锁店的日销售量见附录1。
若运输成本为0.45元/吨公里,请你为公司设计生产与配送方案,使运输成本最低。
2、公司收集了近5年全省各城镇的鲜猪肉月度需求数据(文件:
各城镇月度需求数据.txt)请你分析各城镇需求特征,并预测未来数年,何时全省鲜猪肉需求达到峰值,达到峰值时需求达到前5位和后5位的城镇是那些?
3、通过广告宣传等手段,未来几年公司在全省的市场占有率可增至3成左右(各城镇对公司产品每日需求预测数据见文件:
公司未来各城镇每日需求预测数据.txt),调查还发现,公司产品的需求量与销售量并不完全一致,若在当地(同一城镇)购买,则这一部分需求量与销售量相同,若在不足10公里的其他城镇的销售连锁店购买,则这一部分需求量只能实现一半(成为公司产品销售量,由于距离的原因,另一半需求转向购买其他公司或个体工商户的产品),而在超过10公里的其他城镇的销售连锁店购买,销售量只能达到需求量的三成。
于是,公司决定在各城镇增设销售连锁店,基于现有条件、成本等的考虑,原有的23家销售连锁店销售能力可在现有销售量的基础上上浮20%,增设的销售连锁店销售能力控制在每日20吨至40吨内,并且要求增设的销售连锁店的销售量必须达到销售能力的下限。
同一城镇可设立多个销售连锁店。
请你为公司设计增设销售连锁店方案,使全省销售量达到最大。
4、在增设销售连锁店的基础上,公司决定增加生产基地,地址设立在城镇所在地,每日产品生产必须达到250吨以上,在生产与销售各环节不能有产品积压。
请你为公司设计生产基地增设方案,使运输成本最低。
5、公司产品若采用载重1.5吨的小货车从生产基地运往销售连锁店,小货车在高速公路上限速100公里/小时(高速公路见附录2),在普通公路上限速60公里/小时,销售连锁店需要的产品必须当日送达。
假设:
每日车辆使用时间不超过8小时,小货车装满或卸完1.5吨的货物均需要半小时,本市运输车辆行驶时间可忽略不计。
在公司增设销售连锁店、增加生产基地后,为完成每日运输任务,请你为公司确定小货车的最小需求量,及各车辆的调运方案。
二、问题分析
对于问题一,由于生产基地设在120号和63号城镇,为23家连锁店提供鲜猪肉,为了使新生产与配送方案的运输成本最低,所以我们要计算出23个连锁店到生产基地120号和63号的最短距离,即为最短路问题,可采用Dijkstra算法,根据最短距离确定生产与配送方案。
对于问题二,该问题是属于时间序列范畴。
首先,为了选择适当的预测方法来更好地预测各城镇未来的猪肉需求以及全省的猪肉需求,我们需要分析猪肉需求的变化特征,进而找到预测方法并进行预测。
其次,为了求得全省鲜猪肉需求达到峰值时需求达到前5位和后5位的城镇,我们需要对每个城镇在全省鲜猪肉需求达到峰值时的月度需求量进行预测,最后运用SPSS软件求出结果。
对于问题三,为使全省销售量达到最大,我们对城镇和连锁店的距离进行判断,分别归结到三种情况中去,并且在满足销售能力的基础上,对连锁店要设立的地方进行枚举,通过lingo软件求得结果。
对于问题四,我们新设的生产基地需满足日生产量大于250吨且不能有产品积压和运输成本最低这两个条件。
第一个条件我们可以理解为,到同一个生产基地进货的有销售点城镇的销售总量大于250吨。
第二个条件中所指出的运输成本最低,即为运输距离的总和最短,从而选出新设的生产基地,即让各销售点选择与其距离最短的生产点供货,使得总运输距离最短。
最后检验选出的生产基地是否满足日生产量大于250吨,从而得到最终结果
三、模型假设
1)假设货车每次都是从生产地出发到销售地的;
2)货车载重量没有限制,每次货车都能装上足够的猪肉;
3)假设运行过程中对鲜猪肉的质量没有影响,所以其不会造成需求量和销售量的改变;
4)假设不出现交通阻塞,货车运行顺畅(不考虑红绿灯等待时间等),道路状态都保持稳定;
5)假设货车的运输的时间仅与速度、路程有关,不受其他外来因素影响;
6)假设以生产基地为中心,将货物直接运至连锁店,基地与基地之间不存在货物的调运关系;
7)假设新增连锁店的成本为一个定值,不随其销售能力等因素的变化而变化;
8)假设货车在公路上行驶均保持其最大速度。
四、符号说明
运输成本
第个生产基地到第个连锁店的运货量(单位:
吨)
第个生产基地到第个连锁店的距离(单位:
公里)
时刻的周期项,是除去了季节变化影响的时间序列指数平滑平均数
时刻的趋势项,是时间序列变化趋势的指数平滑平均数
时刻的季节项,是季节因子的指数平滑平均数;
为时刻的实际值;
为季节长度或时间周期
分别为平滑系数,在之间取值
时间
城镇号
连锁店所在城镇号
0-1变量
第个城镇的需求量
第个连锁店的销售量
公司能获利金额
全省猪肉的需求量
n
新增连锁店家数
新开设一家连锁店的成本
每吨的销售利润
五、模型建立与求解
5.1问题一:
模型建立:
由于生产基地设在120号和63号城镇,为23家连锁店提供鲜猪肉,要使运输成本最低,则求,其中(为第个生产基地到第个连锁店的运货量,为第个生产基地到第个连锁店的距离),可取值为附录1的23家连锁店日销售量表中的日销售量(注意单位转化),研究就是研究,即为求最短路问题,因此我们采用Dijkstra算法。
Dijkstra(狄克斯特拉)算法是典型最短路径算法。
其原理是:
1)初始时,S只包含源点,即S=v的距离为0。
U包含除v外的其他顶点,U中顶点u距离为边上的权(若v与u有边)或∞(若u不是v的出边邻接点)。
2)从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度)。
3)以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;
若从源点v到顶点u(U)的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值为顶点k的距离加上边上的权。
4)重复步骤2)和3)直到所有顶点都包含在S中。
根据Dijkstra算法,我们利用matlab软件计算120号和63号城镇2个生产基地到23家连锁店的最短距离和路线追踪,然后通过比较,选取较近的一个生产基地,最终可以得到最佳配送方案。
模型求解:
假设货车应当选择公路行进,不能以城镇坐标计算两点间最短距离直接考虑路线;
货车必须从生产基地发车,到一个连锁店时只考虑一次运货,即运货载重量没有限制;
货车运货量等于连锁店的日销售量。
在这些假设前提下,我们根据Dijkstra算法,利用matlab软件计算,具体程序见附录,最终得到配送方案见表5.1.1。
每个生产基地的生产量分别为:
第120号生产基地需每日生产230.208吨;
第63号生产基地需每日生产163.619吨,最低运输成本为1054.8935元。
表5.1.1生产与配送方案
1、2、5、9、10、11、13、14、15、19、21、22(其所在城镇号分别为:
120、106、141、1、120、36、34、42、94、145、16、123)
3、4、6、7、8、12、16、17、18、20、23(其所在城镇号分别为:
63、31、10、65、79、27、11、24、63、22、64)
5.2问题二:
本题需要根据现有的月度数据分析各城镇需求特征,并预测未来数年全省的猪肉需求量的变化,找出在全省鲜猪肉需求达到峰值时需求达到前5位和后5位的城镇。
模型准备:
首先,我们根据已知数据做出全省猪肉需求量的散点图和折线图,如图5.2.1、图5.2.2所示。
图5.2.1全省近五年月度猪肉需求量散点图
图5.2.2全省月度猪肉需求量时间序列图
从图5.2.1中我们可以看出,全省月度需求量的变化存在一定的线性趋势。
从图5.2.2中我们可以看出,全省需求量存在着不规则的波动。
我们以3个月为一个季度,以12个月(一年)为一个周期来观察该时间序列是否存在季节性和周期性变化。
根据本题提供的历年数据我们可以得到历年的季度需求量,结果如表5.2.3所示。
表5.2.3全省历年来每季度的需求量
年份
第一季度
春季(3,4,5)
第二季度
夏季(6,7,8)
第三季度
秋季(9,10,11)
第四季度
冬季(12,1,2)
2008年
323843.08
326008.21
330405.58
323819.47
2009年
334521.45
338479.96
340396.42
333142.82
2010年
343613.83
345806.99
347532.45
345819.74
2011年
351504.12
352202.49
354287.05
352450.34
2012年
356835.96
357551.8
358452.25
354231.85
从表5.2.3中我们可以看出,每年的秋季需求量最大,其他三季相对而言需求量较小。
由于各城镇的月度猪肉需求量各不相同,所以我们采用时间序列法对各城镇月度需求量进行分析和预测。
时间序列是按时间顺序的一组数字序列。
时间序列分析就是利用这组数列,应用数理统计方法加以处理,以预测未来事物的发展。
时间序列分析是定量预测方法之一,它的基本原理:
一是承认事物发展的延续性。
应用过去数据,就能推测事物的发展趋势。
二是考虑到事物发展的随机性。
任何事物发展都可能受偶然因素影响,为此要利用统计分析中加权平均法对历史数据进行处理。
而时间序列预测一般反映三种实际变化规律:
趋势变化、周期性变化、随机性变化。
所以,对于预测未来数年全省的猪肉需求量的变化和找出在全省鲜猪肉需求达到峰值时需求达到前5位和后5位的城镇,我们采用温特线性和季节性指数平滑法预测模型。
温特线性和季节性指数平滑法预测模型有三个基本平滑公式和一个预测公式,三个基本平滑公式分别对时间序列的三种成分(随机变动、趋势变动、季节变动)进行平滑。
这三个基本公式分别是:
(1)
(2)
(3)
式中:
为时刻的周期项,是除去了季节变化影响的时间序列指数平滑平均数;
为时刻的趋势项,是时间序列变化趋势的指数平滑平均数;
为时刻的季节项,是季节因子的指数平滑平均数;
为季节长度或时间周期;
分别为平滑系数,在之间取值,并且使得历史数据满足下式:
(4)
由此,该预测模型公式如下:
(5)
为要预测的时刻距离现在时刻的时刻间隔数。
式
(1)中,通过季节因子的修正,消除了中季节变化的影响。
式
(2)中,利用趋势变化平均数对前一时刻平均数进行修正,并用与上期趋势增量进行加权平均,作为趋势增量的估计,进一步改善了指数平滑结果的准确性。
式(3)中,通过给季节因子乘以系数,进一步改善了季节变化对预测结果的影响。
最后根据式(5)得到预测结果和在全省鲜猪肉需求达到峰值时需求达到前5位和后5位的城镇。
运用SPSS软件中的时间序列温特加法指数平滑模型对全省鲜猪肉未来24个月的需求进行预测,我们可以得到如表5.2.4所示的结果。
表5.2.413-14年各月需求量
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2013年各月需求量
119486
119385
119907
119725
120240
120311
120052
119958
120419
120820.1
119791.4
120333
2014年各月需求量
120071
119970
120492
120309
120825
120896
120637
120543
121004
1214048
1203762
1209177
我们对已知数据进行拟合并加以预测,得到如图5.2.5所示的效果图。
图5.2.5全省猪肉未来24个月的需求预测的拟合图
从图5.2.5中,我们可以发现其拟合效果良好,而在模型拟合统计量(见附录)中我们也可以知道平稳的,说明该模型得到的预测序列能够很好的解释原始序列,拟合优度很好。
在模型预测中猪肉需求量在短期内随时间缓慢波动增长,并在每年的10或11月份达到一年之中的最大值,这也与历年数据的季节性特征十分符合。
此外,在未来的24个月内,在2014年的10月份达到猪肉需求量的最大值,为121404.88吨(具体见附录)。
为了求得全省鲜猪肉需求达到峰值时需求达到前5位和后5位的城镇,我们需要对每个城镇的月度需求量进行预测。
由于每个城镇的月度猪肉需求量的时间序列的波动性与平滑性各不相同,我们仍用温特线性和季节性指数平滑法处理(具体见附录),从而得到全省猪肉需求量在2014年10月达到高峰时,所有城镇中猪肉需求量前五位和后五位的城镇及其需求量见下表5.2.6。
表5.2.6前后5个城镇的需求量
5.3问题三:
由于猪肉的销售与需求之间存在着随距离变化的定量关系,我们假设城镇号为,连锁店所在城镇号为。
因为要考虑是否增设连锁店,我们引入“0-1”变量,即
,,
。
为使全省销售量达到最大,并且目标成本不能过高,我们建立了多目标优化模型。
具体步骤为:
1、决策变量:
表示的是第个城镇的需求量;
表示的是第个连锁店的销售量;
①当时,则需求量能最大实现;
②当时,分两种情况:
1)若与相距为10公里内,则需求量最大能实现;
2)若与相距为10公里外,则需求量最大能实现。
2、目标函数:
由于题目要求我们使得全省的销售量达到最大,此时有全省猪肉的需求量最大,且有该公司在扣除增设连锁店个的成本外得到的利润也最大。
假设该公司能获利元,全省猪肉的需求量为,新增n家连锁店,新开设一家连锁店的成本为,每吨的销售利润为。
考虑到有些城镇处于销售的中心地带,可以在同一个城镇设立多个连锁店。
所以公司获得的利润即为
全省猪肉的需求量为
为了获得最佳效益,则求和的最大值。
3、约束条件:
①需求量限制:
因为公司决定在各城镇增设销售连锁店,基于现有条件、成本等的考虑,原有的23家销售连锁店销售能力可在现有销售量的基础上上浮20%,那么各城镇的需求量总和至少应上浮20%,即
②销售能力限制:
因为增设的销售连锁店销售能力控制在每日20吨至40吨内,并且要求增设的销售连锁店的销售量必须达到销售能力的下限,所以有
③等式关系:
因为全省共有154个城镇,所以有
④等式关系:
因为在三个“0-1”变量中“本镇有连锁店”,“不足10公里内有连锁店”和“10公里外才有连锁店”这三种情况只能出现一种,所以有
综上可得下述线性规划模型:
我们运用matlab软件求得新连锁店的个数总共为19个,能够达到的全省最大销售量为862343公斤,可以确定每个新增连锁店所在位置以及销售量,如下表5.3.1所示。
表5.3.1新增连锁店位置及销售量
连锁店编号
24
25
26
27
28
29
所在城镇编号
13
14
日销售量(公斤)
40000
38973.3
38863
35102.9
32
33
34
35
36
37
122
67
109
75
34708.9
32245.2
28758.3
28462.5
26625
23845
21909.5
38
39
40
41
42
100
76
149
21825.5
21725
21390.2
20832
20426
5.4问题四:
模型建立与求解:
首先,为了使运输成本最低,我们根据运输成本公式(为第个生产基地到第个连锁店的运货量,为第个生产基地到第个连锁店的距离),则运输成本最低即为总的运输距离最短,所以我们采用Dijkstra算法,根据问题一得到的矩阵,筛选出有销售点的城镇间的最短距离矩阵,让各销售点选择与其距离最短的生产点供货,使得总运输距离最短,继而选出新增生产基地。
根据条件我们可以建立下述模型:
最终利用matlab软件编程求解,得到在145号城镇增设生产基地,具体生产和配送方案见表5.4.1。
表5.4.1生产和配送方案
销售城镇
120、110、116、121、36、34、42、123
218.236
63、53、10、65、79、27、11、24、31、22、64、68、76
319.984
145
145、104、149、106、141、1、94、145、16、150、101
250.900
六、模型优缺点分析及推广
6.1模型的优点
1、在设计生产与配送方案时,我们根据问题特点采用了效率较高的Dijkstra算法。
2、温特线性和季节性指数平滑法对具有趋势变动和季节性变动两种形式的时间数列,分别对每种形式进行指数平滑,然后将各种形式的平滑结果结合起来,对原时间数列进行预测。
这就扩大了指数平滑法的应用范围,提高了对兼有趋势变动和季节变动两种形式的时间数列预测的准确性。
6.2模型的不足
1、问题一的矩阵工作量较大,计算也较复杂,许多部分是手动操作,易出现差错。
2、模型与实际还是有些差距。
3、模型的配送方案,均以生产基地为起点,对各销售连锁店进行货物的配送,未考虑货物的从一个连锁店运输到另一个连锁店的情况。
6.3模型的推广
1、Dijkstra算法模型适合交通、运输、分配等问题;
2、温特线性和季节性指数平滑法预测模型可以推广到所有和时间序列有关的具有季节性的预测。
七、参考文献
[1]姜启源,谢金星,叶俊,《数学模型》,北京:
高等教育出版社,2011年12月第四版
[2]周凯,宋军全,邬学军,《数学建模竞赛入门与提高》,浙江杭州:
浙江大学出版社,2012年1月第一版
[3]陈东彦,李冬梅,王树忠,《数学建模》,北京:
科学出版社,2007年12月第一版
[4]戴明强,李卫军,杨鹏飞,《数学模型及其应用》,北京:
科学出版社,2007年2月第一版
[5]谢金星,薛毅,《优化建模与LINDO/LINGO软件》,北京:
清华大学出版社,2005
[6]陈胜可,《SPSS统计分析》,北京:
清华大学出版社,2010年8月第一版
附录一
问题一
function[d,DD]=dijkstra(D,s)
[m,n]=size(D);
d=inf.*ones(1,m);
d(1,s)=0;
Vdd=zeros(1,m);
dd(1,s)=1;
y=s;
DD=zeros(m,m);
DD(y,y)=1;
counter=1;
whilelength(find(dd==1))<
m
fori=1:
ifdd(i)==0
d(i)=min(d(i),d(y)+D(y,i));
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 建模 城镇 问题