抛物线的几个常见结论及其应用Word文档格式.doc
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例:
已知直线AB是过抛物线焦点F,求证:
为定值。
结论二:
(1)若AB是抛物线的焦点弦,且直线AB的倾斜角为α,则(α≠0)。
(2)焦点弦中通径(过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦)最短。
已知过抛物线的焦点的弦AB长为12,则直线AB倾斜角为。
AB倾斜角为或。
结论三:
两个相切:
(1)以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。
(2)过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线,以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
已知AB是抛物线的过焦点F的弦,求证:
(1)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。
B
A
M
N
Q
P
y
x
O
F
(2)分别过A、B做准线的垂线,垂足为M、N,求证:
以MN为直径的圆与直线AB相切。
结论四:
若抛物线方程为,过(,0)的直线与之交于A、B两点,则OA⊥OB。
反之也成立。
结论五:
对于抛物线,其参数方程为设抛物线上动点坐标为,为抛物线的顶点,显然,即的几何意义为过抛物线顶点的动弦的斜率.
例 直线与抛物线相交于原点和点,为抛物线上一点,和垂直,且线段长为,求的值.
解析:
设点分别为,则,.
的坐标分别为...
练习:
1.过抛物线的焦点作一直线交抛物线于两点,若线段与的长分别是,则= 故】
2.设抛物线的焦点为,经过点的直线交抛物线于两点.点在抛物线的准线上,且轴.证明直线经过原点.
【证明:
抛物线焦点为.设直线的方程为,代入抛物线方程,得.若设,则. 轴,且点在准线;
又由,得, 故,即直线经过原点.】
3.已知抛物线的焦点是,准线方程是,求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程.
【解:
设是抛物线上的任意一点,由抛物线的定义得.
整理,得,此即为所求抛物线的方程.
抛物线的对称轴应是过焦点且与准线垂直的直线,因此有对称轴方程.
设对称轴与准线的交点为,可求得,于是线段的中点就是抛物线的顶点,坐标是】
备选
1.抛物线的顶点坐标是,准线的方程是,试求该抛物线的焦点坐标和方程.
解:
依题意,抛物线的对称轴方程为.
设对称轴和准线的交点是,可以求得.设焦点为,则的中点是,故得焦点坐标为. 再设是抛物线上的任一点,根据抛物线的定义得,化简整理得,即为所求抛物线的方程.
例2已知为抛物线上两点,且,求线段中点的轨迹方程.
设,,据的几何意义,可得.设线段中点,则
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