最新高中数学《三角函数解题技巧和公式》教案新人教A版必修4名师优秀教案Word文件下载.docx
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,选B。
,m,,12nn
例3已知:
tg+ctg=4,则sin2的值为()。
,,
1111,A(B(C(D(,2424
11,4,sincos,,,分析:
tg+ctg=,,sincos4,,
1sin2,2sincos,sin2,,,,,故:
。
答案选A。
2
44例4已知:
tg+ctg=2,求,,sin,,cos,
44分析:
由上面例子已知,只要能化出含sin?
cos或sincos的式子,则即可,,,,sin,,cos,
1,2,根据已知tg+ctg进行计算。
由于tg+ctg=,,,,,,sincos
144sincos,,,,此题只要将化成含sincos的式子即可:
,sin,,cos,2
22224444解:
=+2sincos-2sincos,,,,sin,,cos,sin,,cos,
2222=(sin+cos)-2sincos,,,,
2=1-2(sincos),,
122,()=1-2
11,=2
1=2
sin,,cos,通过以上例子,可以得出以下结论:
由于,sincos及tg+ctg三者之间可以互,,,,
化,知其一则必可知其余二。
这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。
但有一点要注意的;
如果
sin,,cos,通过已知sincos,求含的式子,必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。
这是由,,
2sin,,cos,sin,,cos,于()=1?
2sincos,要进行开方运算才能求出,,
二、关于“托底”方法的应用:
在三角函数的化简计算或证明题中,往往需要把式子添加分母,这常用在需把含tg(或ctg)与,,
含sin(或cos)的式子的互化中,本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。
方法如下:
,
,sin,3cos例5已知:
tg=3,求的值。
2sin,,cos,
sin,分析:
由于tg,,带有分母cos,因此,可把原式分子、分母各项除以cos,“造出”tg,,,,cos,
即托出底:
cos;
,,,k,,,cos,,0解:
由于tg=3,2
,sincos,3,,tg,33,3,,coscos故,原式=,,,0,,sincostg,2,12,3,12,,coscos,,
2例6已知:
ctg=-3,求sincos-cos=?
,,,
,coscos,ctg,分析:
由于,故必将式子化成含有的形式,而此题与例4有所不同,式子本身sin,sin,
22没有分母,为了使原式先出现分母,利用公式:
及托底法托出其分母,然后再分子、sin,,cos,,1分母分别除以sin,造出ctg:
2,,,sincos,cos222,,,,,sin,cos,1,sincos,cos,解:
22sin,,cos,
,coscos2,()2,,ctg,ctg,,2sinsin分子,分母同除以sin,,2,cos21,ctg,1,()sin,
23(3)6,,,,,,251(3),,
例7(95年全国成人高考理、工科数学试卷)
,,,0,0,x,,y,且sinxsiny,sin(,x)sin(,y)设,2236
3求:
的值(ctgx,)(ctgy,3)3
此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子,故要用“托底法”,由于
,0,0,x,,y,,故,在等式两边同除以,托出分母为底,sinx,0,siny,0sinxsinysinxsiny22
得:
解:
由已知等式两边同除以得:
sinxsiny
,,,,,sin(,x)sin(,y)sincos,cossinxsincosy,cossiny363366,1,,,1sinxsinysinxsiny
13cosx,sinxcosy,3siny,,,,14sinxsiny
1,(3ctgx,1)(ctgy,3),14
33,(ctgx,)(ctgy,3),143
34,(ctgx,)(ctgy,3),333
“托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。
由于
,cossin,,ctg,tg,,,即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系,故它们间的互化需“托底”,cos,sin,
通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法,使它们之间可以互相转化,达到根据已知求值的目的。
2222而添加分母的方法主要有两种:
一种利用,把作为分母,并不改变原sin,,cos,,1sin,,cos,
式的值,另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积,产生分母。
acosx,bsinx三、关于形如:
的式子,在解决三角函数的极值问题时的应用:
acosx,bsinx可以从公式中得到启示:
式子与上述公式有点sinAcosx,cosAsinx,sin(A,x)
acosx,bsinx相似,如果把a,b部分变成含sinA,cosA的式子,则形如的式子都可以变成含sin(A,x)的式子,由于-1?
1,sin(A,x)
所以,可考虑用其进行求极值问题的处理,但要注意一点:
不能直接把a当成sinA,b当成cosA,如式子:
3cosx,4sinx中,不能设sinA=3,cosA=4,考虑:
-1?
sinA?
1,-1?
cosA?
1,可以如下处理式子:
,ab22,,acosx,bsinx,a,bcosx,sinx,,2222a,ba,b,,
ab22由于(),(),1。
2222a,ba,b
bacosA,,1,sinA故可设:
sinA,,则,即:
cosA,,2222a,ba,b
2222?
acosx,bsinx,a,b(sinAcosx,cosAsinx),a,bsin(A,x)
无论A,x取何值,-1?
sin(A?
x)?
1,
222222,a,ba,b?
a,bsin(A,x)
2222,a,ba,b即:
acosx,bsinx
下面观察此式在解决实际极值问题时的应用:
例1(98年全国成人高考数学考试卷)
2y,3cosx,sinxcosx求:
函数的最大值为(AAAA)
33A(B(C(D(1,3,11,3,122
112sinxcos,,2sinxcosx,sin2x分析:
,再想办法把变成含cso2x的式子:
cosx22
cos21x,22cos22cos1cosx,x,,x,2
cos2x,11y,3,,sin2x于是:
331,cos2x,,sin2x222
313,(cos2x,sin2x),222
31312222a,,b,,则a,b,(),(),1由于这里:
2222
313y,1,(cos2x,sin2x),?
222
3
31a2设:
sin,cosA,,,则A,22122a,b
3y,sinAcos2x,cosAsin2x,?
3,sin(A,2x),2
33y1,无论A-2x取何值,都有-1?
sin(A-2x)?
1,故?
1,22
3?
的最大值为,即答案选A。
y1,2
例2(96年全国成人高考理工科数学试卷)
在?
ABC中,已知:
AB=2,BC=1,CA=,分别在边AB、BC、CA上任取点D、E、F,使?
DEF为正三3
角形,记?
FEC=?
α,问:
sinα取何值时,?
EFD的边长最短,并求此最短边长。
22222BC,CA,1,(3),4,AB分析:
首先,由于,可知?
ABC为Rt?
,其中AB为斜边,所对
BC1sinA,,,故A,30:
角?
C为直角,又由于,则?
B=AB2
90?
—?
A=60?
,由于本题要计算?
DEF的最短边长,故必要设正?
DEF的边长为l,且要列出有关l为未
ll知数的方程,对进行求解。
观察?
BDE,已知:
B=60?
,DE=,再想办法找出另两个量,即可根据正弦
lll定理列出等式,从而产生关于的方程。
在图中,由于EC=?
cosα,则BE=BC-EC=1-?
cosα。
而?
B+?
BDE+?
1=180?
α+?
DEF+?
?
BDE=?
α,
,?
DEF=60?
BDE中,根据正弦定理:
BFDE1,l,cosl,,,sin,BDEsin,Bsin,sin60:
333,(1,l,cos,),l,sin,,,l,cos,,l,sin,222
2,l,
3cos,,sin,2
3l在这里,要使有最小值,必须分母:
有最大值,观察:
cos,,sin,2
33372222cossin,,1()1,,,a,b,,a,b,,,2222
372127?
cos,,sin,,(cos,,sin,)2277
2127sinA,cosA,设:
,则77
37故:
cos,,sin,,(sinAcos,,cosAsin,)22
7,sin(A,,)2
37?
的最大值为。
cos,,sin,22
212l即:
的最小值为:
77
2
,A,,2k,,,2k,,A而取最大值为1时,sin(A,,),,,,22
27,sin,sin(2k,,A),cosA,?
,27
2721即:
sin,时,?
DEF的边长最短,最短边长为。
77
acosx,bsinx从以上例子可知,形如适合于计算三角形函数的极值问题。
计算极值时与式子的加、
222222a,ba,b,a,b减是无关,与的最值有关;
其中最大值为,最小值为。
在计算三角函数
acosx,bsinx的极值应用题时,只要找出形如的关系式,即能根据题意,求出相关的极值。
三角函数知识点解题方法总结
一、见“给角求值”问题,运用“新兴”诱导公式
一步到位转换到区间(-90º
,90º
)的公式.
kk1.sin(kπ+α)=(-1)sinα(k?
Z);
2.cos(kπ+α)=(-1)cosα(k?
kk3.tan(kπ+α)=(-1)tanα(k?
4.cot(kπ+α)=(-1)cotα(k?
Z).
二、见“sinα?
cosα”问题,运用三角“八卦图”
1.sinα+cosα>
0(或<
0)ó
α的终边在直线y+x=0的上方(或下方);
2.sinα-cosα>
α的终边在直线y-x=0的上方(或下方);
3.|sinα|>
|cosα|ó
α的终边在?
、?
的区域内;
4.|sinα|<
区域内.
三、见“知1求5”问题,造Rt?
,用勾股定理,熟记常用勾股数(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),仍然注意“符号看象限”。
四、见“切割”问题,转换成“弦”的问题。
五、“见齐思弦”=>
“化弦为一”:
已知tanα,求sinα与cosα的齐次式,有些整式情形还可以视
22其分母为1,转化为sinα+cosα.
六、见“正弦值或角的平方差”形式,启用“平方差”公式:
22221.sin(α+β)sin(α-β)=sinα-sinβ;
2.cos(α+β)cos(α-β)=cosα-sinβ.
七、见“sinα?
cosα与sinαcosα”问题,起用平方法则:
2(sinα?
cosα)=1?
2sinαcosα=1?
sin2α,故
221.若sinα+cosα=t,(且t?
2),则2sinαcosα=t-1=sin2α;
222.若sinα-cosα=t,(且t?
2),则2sinαcosα=1-t=sin2α.
八、见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题,启用变形公式:
tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考:
tanα-tanβ=,,,
九、见三角函数“对称”问题,启用图象特征代数关系:
(A?
0)
1.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象,关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称;
2.函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象,关于其中间零点分别成中心对称;
3.同样,利用图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。
十、见“求最值、值域”问题,启用有界性,或者辅助角公式:
222221.|sinx|?
1,|cosx|?
1;
2.(asinx+bcosx)=(a+b)sin2(x+φ)?
(a+b);
2223.asinx+bcosx=c有解的充要条件是a+b?
c.
十一、见“高次”,用降幂,见“复角”,用转化.
221.cos2x=1-2sinx=2cosx-1.
2.2x=(x+y)+(x-y);
2y=(x+y)-(x-y);
x-w=(x+y)-(y+w)等
角函数公式
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式
tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2-1=1-2(sina)^2
sin2A=2sinA*cosA
半角公式
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
②抛物线的顶点在(0,0),对称轴是y轴(或称直线x=0)。
2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B))2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)
2、会数,会读,会写100以内的数,在具体情境中把握数的相对大小关系,能够运用数进行表达和交流,体会数与日常生活的密切联系。
-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB
积化和差公式
1、20以内退位减法。
sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]万能公式
三.三角函数的计算sin(a)=(2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a)=(1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))tan(a)=(2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))倒数关系:
商的关系:
平方关系:
(2)圆周角定理:
圆周角的度数等于它所对弧上的的圆心角度数的一半.教育资源
③当a>0时,抛物线开口向上,并且向上方无限伸展。
当a<0时,抛物线开口向下,并且向下方无限伸展。
7、每学完一个单元的内容,做到及时复习,及时考核,这样可以及时了解学生对知识的掌握情况,以便及时补差补漏。
tanα?
cotα,1
sinα?
cscα,1
(1)弧长公式:
弧长(R表示圆的半径,n表示弧所对的圆心角的度数)cosα?
secα,1sinα/cosα,tanα,secα/cscα
cosα/sinα,cotα,cscα/secαsin2α,cos2α,11,tan2α,sec2α
七、学困生辅导和转化措施1,cot2α,csc2α
12.与圆有关的辅助线教育资源
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