1、，选B。 ,m,，12nn例3 已知:tg+ctg=4，则sin2的值为（ ）。 ,1111, A（ B（ C（ D（, 242411,4,sincos,分析:tg+ctg= ,sincos4,1sin2,2sincos,sin2, 故:。 答案选A。 244例4 已知:tg+ctg=2，求 ,sin,，cos,44分析:由上面例子已知，只要能化出含sin?cos或sincos的式子，则即可,sin,，cos,1,2,根据已知tg+ctg进行计算。由于tg+ctg= ,sincos144sincos,，此题只要将化成含sincos的式子即可: ,sin,，cos,222224444解:=+2
2、sincos-2 sincos ,sin,，cos,sin,，cos,2222 =（sin+cos）- 2 sincos ,2 =1-2 （sincos） ,122，（） =1- 211, = 21 = 2sin,cos, 通过以上例子，可以得出以下结论:由于，sincos及tg+ctg三者之间可以互,化，知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。但有一点要注意的;如果sin,cos,通过已知sincos，求含的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由,2sin,cos,sin,cos,于（）=1?2sincos，要进行开方运算才能求出 ,二、关于“托底”方
3、法的应用:在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tg（或ctg）与,含sin（或cos）的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下: ,sin,3cos例5 已知:tg=3，求的值。 ,2sin,，cos,sin,分析:由于tg,，带有分母cos，因此，可把原式分子、分母各项除以cos，“造出”tg，,cos,即托出底:cos; ,k,，,cos,0解:由于tg=3 ,2,sincos,3,tg,33,3,coscos 故，原式= ,0,sincostg,2，12，3，12,，coscos,2例6 已知:ctg= -3，求sincos-co
4、s=? ,coscos,ctg,分析:由于，故必将式子化成含有的形式，而此题与例4有所不同，式子本身sin,sin,22没有分母，为了使原式先出现分母，利用公式:及托底法托出其分母，然后再分子、sin,，cos,1分母分别除以sin，造出ctg:2,sincos,cos222,sin，cos,1,sincos,cos,解: 22sin,，cos,coscos2,（）2,ctg,ctg,2sinsin 分子,分母同除以sin,2,cos21，ctg,1，（）sin,23（3）6,，, , 251（3），,例7 （95年全国成人高考理、工科数学试卷） ,0,0,x,y,且sinxsiny,sin（
5、,x）sin（,y）设， 22363求:的值 （ctgx,）（ctgy,3）3此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，由于,0,0,x,y,，故，在等式两边同除以，托出分母为底，sinx,0,siny,0sinxsinysinxsiny22得:解:由已知等式两边同除以得: sinxsiny,sin（,x）sin（,y）sincos,cossinxsincosy,cossiny363366,1,1 sinxsinysinxsiny13cosx,sinxcosy,3siny,14sinxsiny1,（3ctgx,1）（ctgy,3）,14 33,（ctgx,）（ctg
6、y,3）,14334,（ctgx,）（ctgy,3）,333“托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。由于,cossin,ctg,tg,，即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系，故它们间的互化需“托底”，cos,sin,通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法，使它们之间可以互相转化，达到根据已知求值的目的。2222而添加分母的方法主要有两种:一种利用，把作为分母，并不改变原sin,，cos,1sin,，cos,式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积，产生分母。acosx,bsinx三、关于形如:的式子，在解决三角函数的极值问题时的应用:
7、acosx,bsinx可以从公式中得到启示:式子与上述公式有点sinAcosx,cosAsinx,sin（A,x）acosx,bsinx相似，如果把a，b部分变成含sinA，cosA的式子，则形如的式子都可以变成含sin（A,x）的式子，由于-1?1， sin（A,x）所以，可考虑用其进行求极值问题的处理，但要注意一点:不能直接把a当成sinA，b当成cosA，如式子:3cosx，4sinx中，不能设sinA=3，cosA=4，考虑:-1?sinA?1，-1?cosA?1，可以如下处理式子:,ab22,acosx,bsinx,a，bcosx,sinx ,2222a，ba，b,ab22由于（），
8、（）,1。 2222a，ba，bbacosA,1,sinA故可设:sinA,，则，即:cosA, 2222a，ba，b2222? acosx,bsinx,a，b（sinAcosx,cosAsinx）,a，bsin（A,x）无论A,x取何值，-1?sin（A?x）?1， 222222,a，ba，b? a，bsin（A,x）2222,a，ba，b即: acosx,bsinx下面观察此式在解决实际极值问题时的应用:例1（98年全国成人高考数学考试卷） 2y,3cosx,sinxcosx求:函数的最大值为（AAAA ） 33 A（ B（ C（ D（ 1，3,11,3，122112sinxcos,2si
9、nxcosx,sin2x分析:，再想办法把变成含cso2x的式子:cosx22cos21x，22cos22cos1cos x,x,x,2cos2x，11y,3,sin2x于是:331 ,cos2x，,sin2x222313 ,（cos2x,sin2x）， 22231312222a,b,则a，b,（），（）,1由于这里: 2222313y,1，（cos2x,sin2x），? 222331a2设: sin,cosA,则A,22122a，b3y,sinAcos2x,cosAsin2x，?3,sin（A,2x）， 233y1，无论A-2x取何值，都有-1?sin（A-2x）?1，故? ,1，223?的
10、最大值为，即答案选A。 y1，2例2 （96年全国成人高考理工科数学试卷） 在?ABC中，已知:AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB、BC、CA上任取点D、E、F，使?DEF为正三3角形，记?FEC=?，问:sin取何值时，?EFD的边长最短,并求此最短边长。22222BC，CA,1，（3）,4,AB分析:首先，由于，可知?ABC为Rt?，其中AB为斜边，所对BC1sinA,故A,30:角?C为直角，又由于，则?B= AB290?A=60?，由于本题要计算?DEF的最短边长，故必要设正?DEF的边长为l，且要列出有关l为未ll知数的方程，对进行求解。观察?BDE，已知:B=60?，DE=，
11、再想办法找出另两个量，即可根据正弦lll定理列出等式，从而产生关于的方程。在图中，由于EC=?cos，则BE=BC-EC=1-?cos。 而?B+?BDE+?1=180?+?DEF+? ?BDE=? ,，?DEF=60?BDE中，根据正弦定理:,BFDE1,l,cosl, sin，BDEsin，Bsin,sin60:333 ,（1,l,cos,）,l,sin,l,cos,l,sin,2222,l, 3cos,，sin,23l在这里，要使有最小值，必须分母:有最大值，观察:cos,，sin,233372222cossin,1（）1,，,a,b,a，b,，, 2222372127?cos,，sin
12、,（cos,，sin,） 22772127sinA,cosA,设:，则 7737故: cos,，sin,（sinAcos,，cosAsin,）227 ,sin（A，,）237?的最大值为。 cos,，sin,22212l即:的最小值为:, 772,A，,2k，,2k，,A而取最大值为1时， sin（A，,）,2227,sin,sin（2k，,A）,cosA,? ,272721即:sin,时，?DEF的边长最短，最短边长为。 ,77acosx,bsinx从以上例子可知，形如适合于计算三角形函数的极值问题。计算极值时与式子的加、222222a，ba，b,a，b减是无关，与的最值有关;其中最大值为，
13、最小值为。在计算三角函数acosx,bsinx的极值应用题时，只要找出形如的关系式，即能根据题意，求出相关的极值。三角函数知识点解题方法总结 一、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式 一步到位转换到区间（-90，90）的公式. kk 1.sin（k+）=（-1）sin（k?Z）;2. cos（k+）=（-1）cos（k?kk 3. tan（k+）=（-1）tan（k?4. cot（k+）=（-1）cot（k?Z）. 二、见“sin?cos”问题，运用三角“八卦图” 1.sin+cos0（或的终边在直线y-x=0的上方（或下方）;3.|sin|cos|的终边在?、?的区域内;4.|sin|“
14、化弦为一”:已知tan,求sin与cos的齐次式，有些整式情形还可以视22其分母为1，转化为sin+cos. 六、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式:2222 1.sin（+）sin（-）= sin-sin;2. cos（+）cos（-）= cos-sin. 七、见“sin?cos与sincos”问题，起用平方法则:2 （sin?cos）=1?2sincos=1?sin2,故 22 1.若sin+cos=t,（且t?2）,则2sincos=t-1=sin2;22 2.若sin-cos=t,（且t?2）,则2sincos=1-t=sin2. 八、见“tan+tan与tantan”问
15、题，启用变形公式:tan+tan=tan（+）（1-tantan）.思考:tan-tan=, 九、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系:（A?0） 1.函数y=Asin（wx+）和函数y=Acos（wx+）的图象，关于过最值点且平行于y轴的直线分别成轴对称;2.函数y=Asin（wx+）和函数y=Acos（wx+）的图象，关于其中间零点分别成中心对称;3.同样，利用图象也可以得到函数y=Atan（wx+）和函数y=Acot（wx+）的对称性质。十、见“求最值、值域”问题，启用有界性，或者辅助角公式:22222 1.|sinx|?1,|cosx|?1;2.（asinx+bcosx）=（a
16、+b）sin2（x+）?（a+b）;222 3.asinx+bcosx=c有解的充要条件是a+b?c. 十一、见“高次”，用降幂，见“复角”，用转化. 22 1.cos2x=1-2sinx=2cosx-1. 2.2x=（x+y）+（x-y）;2y=（x+y）-（x-y）;x-w=（x+y）-（y+w）等 角函数公式 两角和公式 sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB sin（A-B）=sinAcosB-sinBcosA cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB tan（A+B）=（tanA+tanB）/（1-tan
17、AtanB） tan（A-B）=（tanA-tanB）/（1+tanAtanB） cot（A+B）=（cotAcotB-1）/（cotB+cotA） cot（A-B）=（cotAcotB+1）/（cotB-cotA） 倍角公式 tan2A=2tanA/1-（tanA）2 cos2a=（cosa）2-（sina）2=2（cosa）2 -1=1-2（sina）2 sin2A=2sinA*cosA 半角公式 sin2（/2）=（1-cos）/2 cos2（/2）=（1+cos）/2 tan2（/2）=（1-cos）/（1+cos） 和差化积 2sinAcosB=sin（A+B）+sin（A-B） 抛
18、物线的顶点在（0，0），对称轴是y轴（或称直线x0）。2cosAsinB=sin（A+B）-sin（A-B） ） 2cosAcosB=cos（A+B）+cos（A-B） 2、会数，会读，会写100以内的数，在具体情境中把握数的相对大小关系，能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。-2sinAsinB=cos（A+B）-cos（A-B） sinA+sinB=2sin（A+B）/2）cos（A-B）/2 cosA+cosB=2cos（A+B）/2）sin（A-B）/2） tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosB 积化和差公式 1、20以内退位减法。sin（a）sin（b
19、）=-1/2*cos（a+b）-cos（a-b） cos（a）cos（b）=1/2*cos（a+b）+cos（a-b） sin（a）cos（b）=1/2*sin（a+b）+sin（a-b） 万能公式 三三角函数的计算sin（a）= （2tan（a/2）/（1+tan2（a/2） cos（a）= （1-tan2（a/2）/（1+tan2（a/2） tan（a）= （2tan（a/2）/（1-tan2（a/2） 倒数关系: 商的关系: 平方关系:（2）圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的的圆心角度数的一半.教育资源 当a0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。7、每学完一个单元的内容，做到及时复习，及时考核，这样可以及时了解学生对知识的掌握情况，以便及时补差补漏。tan ?cot,1 sin ?csc,1 （1） 弧长公式: 弧长 （R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数）cos ?sec,1 sin/cos,tan,sec/csc cos/sin,cot,csc/sec sin2，cos2,1 1，tan2,sec2 七、学困生辅导和转化措施1，cot2,csc2 12.与圆有关的辅助线教育资源
