人教版九年级数学上册 第21章24章 综合测试.docx
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人教版九年级数学上册第21章24章综合测试
九(上)数学试卷
一、选择题(本题共16分,每小题2分).
1.抛物线y=x2+1的对称轴是( )
A.直线x=﹣1B.直线x=1
C.直线x=0D.直线y=1
2.点P(2,﹣1)关于原点对称的点P′的坐标是( )
A.(﹣2,1)B.(﹣2,﹣1)
C.(﹣1,2)D.(1,﹣2)
3.下列App图标中,既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
4.用配方法解方程x2﹣2x﹣4=0,配方正确的是( )
A.(x﹣1)2=3B.(x﹣1)2=4
C.(x﹣1)2=5D.(x+1)2=3
5.如图,以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,点P为切点.若大圆半径为2,小圆半径为1,则AB的长为( )
A.2
B.2
C.
D.2
6.将抛物线y=(x+1)2﹣2向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点,则a的值为( )
A.﹣1B.1C.﹣2D.2
7.如图是几种汽车轮毂的图案,图案绕中心旋转90°后能与原来的图案重合的是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知一个二次函数图象经过P1(﹣3,y1),P2(﹣1,y2),P3(1,y3),P4(3,y4)四点,若y3<y2<y4,则y1,y2,y3,y4的最值情况是( )
A.y3最小,y1最大B.y3最小,y4最大
C.y1最小,y4最大D.无法确定
二、填空题(本题共16分,每小题2分)
9.写出一个以0和2为根的一元二次方程:
.
10.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则ac 0(填“>”或“=”或“<”).
11.若关于x的方程x2﹣4x+k﹣1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .
12.如图,四边形ABCD内接于⊙O,E为直径CD延长线上一点,且AB∥CD,若∠C=70°,则∠ADE的大小为 .
13.已知O为△ABC的外接圆圆心,若O在△ABC外,则△ABC是 (填“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”).
14.为解决民生问题,国家对某药品价格分两次降价,该药品的原价是48元,降价后的价格是30元,若平均每次降价的百分率均为x,可列方程为 .
15.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于(1,0),(3,0)两点,请写出一个满足y<0的x的值 .
16.如图,⊙O的动弦AB,CD相交于点E,且AB=CD,∠BED=α(0°<α<90°).在①∠BOD=α,②∠OAB=90°﹣α,③∠ABC=
α中,一定成立的是 (填序号).
三、解答题(本题共68分)
17.(5分)解方程:
x(x+2)=3x+6.
18.(5分)如图,将△ABC绕点B旋转得到△DBE,且A,D,C三点在同一条直线上.求证:
DB平分∠ADE.
19.(5分)下面是小董设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程.
已知:
⊙O.
求作:
⊙O的内接正三角形.
作法:
如图,
①作直径AB;
②以B为圆心,OB为半径作弧,与⊙O交于C,D两点;
③连接AC,AD,CD.
所以△ACD就是所求的三角形.
根据小董设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明:
证明:
在⊙O中,连接OC,OD,BC,BD,
∵OC=OB=BC,
∴△OBC为等边三角形( )(填推理的依据).
∴∠BOC=60°.
∴∠AOC=180°﹣∠BOC=120°.
同理∠AOD=120°,
∴∠COD=∠AOC=∠AOD=120°.
∴AC=CD=AD( )(填推理的依据).
∴△ACD是等边三角形.
20.(5分)已知﹣1是方程x2+ax﹣b=0的一个根,求a2﹣b2+2b的值.
21.(5分)生活中看似平常的隧道设计也很精巧.如图是一张盾构隧道断面结构图,隧道内部为以O为圆心AB为直径的圆.隧道内部共分为三层,上层为排烟道,中间为行车隧道,下层为服务层.点A到顶棚的距离为0.8a,顶棚到路面的距离是3.2a,点B到路面的距离为2a.请你求出路面的宽度l.(用含a的式子表示)
22.(5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+ax+b经过点A(﹣2,0),B(﹣1,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为C,直接写出点C的坐标和∠BOC的度数.
23.(6分)如图,用长为6m的铝合金条制成“日”字形窗框,若窗框的宽为xm,窗户的透光面积为ym2(铝合金条的宽度不计).
(1)求出y与x的函数关系式;
(2)如何安排窗框的长和宽,才能使得窗户的透光面积最大?
并求出此时的最大面积.
24.(6分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O交BC于点D,过点D作AC的垂线交AC于点E,交AB的延长线于点F.
(1)求证:
DE与⊙O相切;
(2)若CD=BF,AE=3,求DF的长.
25.(6分)有这样一个问题:
探究函数y=
的图象与性质.
小东根据学习函数的经验,对函数y=
的图象与性质进行了探究.
下面是小东的探究过程,请补充完成:
(1)化简函数解析式,当x≥3时,y= ,当x<3时y= ;
(2)根据
(1)中的结果,请在所给坐标系中画出函数y=
的图象;
(3)结合画出的函数图象,解决问题:
若关于x的方程ax+1=
只有一个实数根,直接写出实数a的取值范围:
.
26.(6分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2﹣2x(a≠0)与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧).
(1)当a=﹣1时,求A,B两点的坐标;
(2)过点P(3,0)作垂直于x轴的直线l,交抛物线于点C.
①当a=2时,求PB+PC的值;
②若点B在直线l左侧,且PB+PC≥14,结合函数的图象,直接写出a的取值范围.
27.(7分)已知∠MON=α,P为射线OM上的点,OP=1.
(1)如图1,α=60°,A,B均为射线ON上的点,OA=1,OB>OA,△PBC为等边三角形,且O,C两点位于直线PB的异侧,连接AC.
①依题意将图1补全;
②判断直线AC与OM的位置关系并加以证明;
(2)若α=45°,Q为射线ON上一动点(Q与O不重合),以PQ为斜边作等腰直角△PQR,使O,R两点位于直线PQ的异侧,连接OR.根据
(1)的解答经验,直接写出△POR的面积.
28.(7分)在平面直角坐标系xOy中,点A是x轴外的一点,若平面内的点B满足:
线段AB的长度与点A到x轴的距离相等,则称点B是点A的“等距点”.
(1)若点A的坐标为(0,2),点P1(2,2),P2(1,﹣4),P3(﹣
,1)中,点A的“等距点”是 ;
(2)若点M(1,2)和点N(1,8)是点A的两个“等距点”,求点A的坐标;
(3)记函数y=
x(x>0)的图象为L,⊙T的半径为2,圆心坐标为T(0,t).若在L上存在点M,⊙T上存在点N,满足点N是点M的“等距点”,直接写出t的取值范围.
参考答案与试题解析
一、选择题.
1.C;2.A;3.B;4.C;
5.A;6.D;7.B;8.A;
二、填空题
9.x2﹣2x=0;10.<;11.k<5;12.110°;13.钝角三角形;14.45.1(1+x)2=172.9;
15.2(答案不唯一);16.①③;
三、解答题(本题共68分)
17.(5分)
【解答】解:
x(x+2)﹣3(x+2)=0,
(x+2)(x﹣3)=0,
x+2=0或x﹣3=0,
所以x1=﹣2,x2=3.
18.(5分)
【解答】证明:
∵将△ABC绕点B旋转得到△DBE,
∴△ABC≌△DBE
∴BA=BD.
∴∠A=∠ADB.
∵∠A=∠BDE,
∴∠ADB=∠BDE.
∴DB平分∠ADE.
19.(5分)
【解答】
(1)解:
如图,△ACD为所作;
(2)证明:
在⊙O中,连接OC,OD,BC,BD,
∵OC=OB=BC,
∴△OBC为等边三角形(三条边都相等的三角形是等边三角形).
∴∠BOC=60°.
∴∠AOC=180°﹣∠BOC=120°.
同理∠AOD=120°,
∴∠COD=∠AOC=∠AOD=120°.
∴AC=CD=AD(在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等),
∴△ACD是等边三角形.
故答案为三条边都相等的三角形是等边三角形;在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等.
20.(5分)
【解答】解:
∵﹣1是方程x2+ax﹣b=0的一个根,
∴1﹣a﹣b=0,
∴a+b=1,
∴a2﹣b2+2b=(a+b)(a﹣b)+2b=a﹣b+2b=a+b=1.
21.(5分)
【解答】解:
如图,连接OC,AB交CD于E,
由题意知:
AB=0.8a+3.2a+2a=6a,
所以OC=OB=3a,
OE=OB﹣BE=3a﹣2a=a,
由题意可知:
AB⊥CD
,
∵AB过O,
∴CD=2CE,
在Rt△OCE中,由勾股定理得:
CE=
=
=2
a,
∴CD=2CE=4
a,
所以路面的宽度l为4
a.
22.(5分)
【解答】解:
(1)∵抛物线y=x2+ax+b经过点A(﹣2,0),B(﹣1,3),
∴
,
解得
,
∴y=x2+6x+8.
(2)∵y=x2+6x+8=(x+3)2﹣1,
∴顶点C坐标为(﹣3,﹣1),
∵B(﹣1,3).
∴OB2=12+32=10,OC2=32+12=10,BC2=[(﹣3)﹣(﹣1)]2+(﹣1﹣3)2=20,
∴OB2+OC2=BC2,
则△OBC是以BC为斜边的直角三角形,
∴∠BOC=90°.
23.(6分)
【解答】解:
(1)∵大长方形的周长为6m,宽为xm,
∴长为
m,
∴y=x•
=﹣
(0<x<2),
(2)由
(1)可知:
y和x是二次函数关系,
a=﹣
<0,
∴函数有最大值,
当x=﹣
时,y最大=
m2.
答:
窗框的长和宽分别为1.5m和1m时才能使得窗户的透光面积最大,此时的最大面积为1.5m2.
24.(6分)
【解答】
(1)证明:
连接OD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,
又∵AB=AC,
∴∠1=∠2,
∵OA=OD,
∴∠2=∠ADO,
∴∠1=∠ADO,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,
∴∠ODF=∠AED=90°,
∴OD⊥ED,
∵OD过0,
∴DE与⊙O相切;
(2)解:
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠1=∠2,CD=BD,
∵CD=BF,
∴BF=BD,
∴∠3=∠F,
∴∠4=∠3+∠F=2∠3,
∵OB=OD,
∴∠ODB=∠4=2∠3,
∵∠ODF=90°,
∴∠3=∠F=30°,∠4=∠ODB=60°,
∵∠ADB=90°,
∴∠2=∠1=30°,
∴∠2=∠F,
∴DF=AD,
∵∠1=30°,∠AED=90°,
∴AD=2ED,
∵AE2+DE2=AD2,AE=3,
∴AD=2
,
∴DF=2
.
25.(6分)
【解答】解:
(1)当x≥3时,y=
=
=x;当x<3时,y=
=
=3;
故答案为x,3;
(2)根据
(1)中的结果,画出函数y=
的图象如下:
(3)根据画出的函数图象,当a<0时,直线y=ax+1与函数y=
只有一个交点;当a≥1时,直线y=ax+1与函数y=3(x<3)的图象有一个交点,与函数y=x(x≥3)无交点;当a=
时,直线y=
x+1经过点(3,3).
故若关于x的方程ax+1=
只有一个实数根,实数a的取值范围:
a<0或a≥1或a=
,
故答案为a<0或a≥1或a=
.
26.(6分)
【解答】解:
(1)当a=﹣1时,有y=﹣x2﹣2x.
令y=0,得:
﹣x2﹣2x=0.
解得x1=0,x2=﹣2.
∵点A在点B的左侧,
∴A(﹣2,0),B(0,0).
(2)①当a=2时,有y=2x2﹣2x.
令y=0,得2x2﹣2x=0.
解得x1=0,x2=1.
∵点A在点B的左侧,
∴A(0,0),B(1,0).
∴PB=2.
当x=3时,yC=2×9﹣2×3=12.
∴PC=12.
∴PB+PC=14.
②点B在直线l左侧,
∵PB+PC≥14,
∴3﹣x+ax2﹣2x≥14,
可得:
a≤﹣
或a≥2,
27.(7分)
【解答】解:
(1)①如图所示:
②结论:
AC∥OM..
理由:
连接AP
∵OA=OP=1,∠POA=60°,
∴△OAP是等边三角形.
∴OP=PA,∠OPA=∠OAP=60°,
∵△PBC是等边三角形,
∴PB=PC,∠BPC=60°,
∴∠OPA+∠APB=∠BPC+∠APB,
即∠OPB=∠APC,
∴△OBP≌△ACP(SAS).
∴∠PAC=∠O=60°,
∴∠OPA=∠PAC,
∴AC∥OM.
(2)作PH⊥OQ于H,取PQ的中点K,连接HK,RK.
∵∠PHQ=∠PRQ=90°,PK=KQ,
∴HK=PK=KQ=RK,
∴P,R,Q,H四点共圆,
∴∠RHQ=∠RPQ=45°,
∴∠RHQ=∠POQ=45°,
∴RH∥OP,
∴S△POR=S△POH=
×
×
=
.
28.(7分)
【解答】解:
(1)∵AP1=2﹣0=2,AP2=
=
,AP3=
=2,
∴点A的“等距点”是P1,P3.
故答案为:
P1,P3.
(2)∵点M(1,2)和点N(1,8)是点A的两个“等距点”,
∴AM=AN,
∴点A在线段MN的垂直平分线上.
设MN与其垂直平分线交于点C,点A的坐标为(m,n),如图1所示.
∵点M(1,2),点N(1,8),
∴点C的坐标为(1,5),AM=AN=n=5,
∴CM=3,AC=
=4,
∴m=1﹣4=﹣3或m=1+4=5,
∴点A的坐标为(﹣3,5)或(5,5).
(3)依照题意画出图象,如图2所示.
①当⊙T1过点O时,⊙T1与L没有交点,
∵⊙T1的半径为2,
∴此时点T1的坐标为(0,﹣2);
②当⊙T2上只有一个点M的“等距点”时,过点T2作T2M⊥图象L于点M,交⊙T2于点N,过点M作MD⊥x轴于点D,
∵图象L的解析式为y=
x(x>0),
∴∠MOT=60°,∠OT2M=30°.
∵点T2的坐标为(0,t),
∴OM=
t,DM=
OM=
t,T2M=
t.
由“等距点”的定义可知:
MN=T2M﹣T2N=DM,即
t﹣2=
t,
解得:
t=
.
综上所述:
t的取值范围为﹣2<t≤
.
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