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ymx5m与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于
A、B两点。
(1)当OA=OB寸,试确定直线L的解析式;
作AM!
OQTMBNI±
OQTN,若AM=4BN=3,求MN的长。
(3)当m取不同的值时,点B在y轴正半轴上运动,分别以OBAB为边,点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OB环口等腰直角△ABE连EF交y轴于P点,如图③。
问:
当点B在y轴正半轴上运动时,试猜想PB的长是否为定值,若是,请求出其值,若不是,说明理由。
第2题图③
考点:
一次函数综合题;
直角三角形全等的判定.
专题:
代数几何综合题.
分析:
(1)是求直线解析式的运用,会把点的坐标转化为线段的长度;
(2)由OA=OB得到启发,证明,△AMO^AONB,用对应线段相等求长度;
(3)通过两次全等,寻找相等线段,并进行转化,求PB的长.
解答:
解:
(1)•「直线L:
y=mx+5m,
A(-5,0),B(0,5m),
由OA=OB得5m=5,m=1,
,直线解析式为:
y=x+5.
(2)在AAMO和^OBN中OA=OB,/OAM=/BON,/AMO=/BNO,
・.△AMO^AONB.
AM=ON=4,BN=OM=3.
(3)如图,作EK±
y轴于K点.
先证△ABOBEK,
OA=BK,EK=OB.再证△PBF^APKE,
PK=PB.
PB=-BK=-OA=5.222
点评:
本题重点考查了直角坐标系里的全等关系,充分运用坐标系里的垂
直关系证明全等,本题也涉及一次函数图象的实际应用问题.
3、如图,直线与x轴、y轴分别交于AB两点,直线%与直线h关于x
轴对称,已知直线l1的解析式为yx3
(1)求直线12的解析式;
(3分)
(3)4ABC沿y轴向下平移,AB边交x轴于点P,过P点的直线与AC边的延长线相交于点Q,与y轴相交与点M,且B之CQ在△ABC平移的过程中,①OM为定值;
②MC为定值。
在这两个结论中,有且只有一个是正确的,请找出正确的结论,并求出其值。
(6分)
y
轴对称的性质;
全等三角形的判定与性质.
(1)根据题意先求直线11与x轴、y轴的交点A、B
的坐标,再根据轴对称的性质求直线12的上点C的坐标,用
待定系数法求直线12的解析式;
(2)根据题意结合轴对称的性质,先证明△BEA^AAFC,再根据全等三角形的性质,结合图形证明BE+CF=EF;
(3)首先过Q点作QH^y轴于H,证明△QCH^APBO,
然后根据全等三角形的性质和^QHMPOM,从而得HM=OM,根据线段的和差进行计算
OM的值.
(1)二•直线11与x轴、y轴分别交于A、B两点,
・•A(-3,0),B(0,3),;
直线12与直线11关于X轴对称,.•.C(0,-3)
「•直线12的解析式为:
y=-x-3;
(2)如图1.
答:
BE+CF=EF.
;
直线12与直线11关于x轴对称,AB=BC,/EBA=/FAC,
.BE±
13,CFX13
・./BEA=/AFC=90
・.△BEA^AAFC
BE=AF,EA=FC,BE+CF=AF+EA=EF;
(3)①对,OM=3
过Q点作QH,y轴于H,直线12与直线1i关于x轴对称
•••/POB=/QHC=90
BP=CQ
又AB=AC,
/ABO=/ACB=/HCQ,
则△QCH0^PBO(AAS),
QH=PO=OB=CH
・.△QHMPOM
HM=OM
OM=BC-(OB+CM)=BC-(CH+CM)=BC-OM
OM=1BC=3.
2
轴对称的性质:
对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直,对应点所连的线段被
对称轴垂直平分,对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等,对应的角、线段都相
(1)求直线AB的解析式;
(2)若点M为直线y=mx上一点,且^ABhM以AB为底的等腰直角三角形,求m值;
⑶过A点的直线产=履-24交y轴于负半轴于P,N点的横坐标为-1,过N点的直线
kkPM-PN
——-
2交APT点M试证明且"
的值为定值.
二次根式的性质与化简;
一次函数图象上点的坐标特征;
待定系数
法求正比例函数解析式;
全等三角形的判定与性质;
等腰直角三角形.
计算题.
(1)求出a、b的值得到A、B的坐标,设直线AB的解析式是y=kx+b,代入得到方
程组,求出即可;
(2)当BM,BA,且BM=BA时,过M作MN,丫轴于N,证^BMNABO(AAS),求
出M的坐标即可;
②当AM±
BA,且AM=BA时,过M作MNXX轴于N,同法求出M的坐
标;
③当AM±
BM,且AM=BM时,过M作MN,X轴于N,MH±
Y轴于H,证^BHM9△AMN,求出M的坐标即可.
(3)设NM与x轴的交点为H,分别过M、H作x轴的垂线垂足为G,HD交MP于D点,求出H、G的坐标,证^AMGADH,△AMGADHDPCNPC,推出PN=PD=AD=AM代入即可求出答案.
(1)要使b=9一3-4=0有意义,必须(a-2)2=0,v/b-4=0,
a=2,b=4,
••A(2,0),B(0,4),
设直线AB的解析式是y=kx+b,
代入得:
0=2k+b,4=b,
解得:
k=-2,b=4,
,函数解析式为:
y=-2x+4,
直线AB的解析式是y=-2x+4.
(2)如图2,分三种情况:
①如图
(1)当BM,BA,且BM=BA时,过M作MN,Y轴于N,
△BMN^AABO(AAS),
MN=OB=4,BN=OA=2,
ON=2+4=6,
M的坐标为(4,6),
代入y=mx得:
m=—,
②如图
(2)当AM±
BA,且AM=BA时,过M作MN^X轴于N,ABOA^AANM(AAS),
同理求出M的坐标为(6,2),m=1,
3
③当AMLBM,且AM=BM时,过M作MNLX轴于N,MH±
Y轴于H,则4BHMAMN,MN=MH,
设M(x,x)代入y=mx得:
x=mx,
(2)
m=1,
m的值是3或1或1.
23
(3)解:
如图3,结论2是正确的且定值为2,
设NM与x轴的交点为H,分别过M、H作x轴的垂线垂足为G,HD交MP于D点,
由y=kx-k与x轴交于H点,
22
・•・H(1,0),
由y=kx-k与y=kx-2k交于M点,
•••M(3,K),
而A(2,0),
・•.A为HG的中点,
AMG^AADH(ASA),
又因为N点的横坐标为-1,且在y=Kx-k上,
「•可得N的纵坐标为-K,同理P的纵坐标为-2K,・•・ND平行于x轴且N、D的横坐标分别为-1、1・•.N与D关于y轴对称,
•••△AMGADHDPCNPC,
PN=PD=AD=AM,
PM-PN
=2.
AM
求正比例函数的解析式,全等三角形的性质和判定,二次根式的性质等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键.
5.如图,直线AB:
y=-x-b分别与x、y轴交于A(6,过点B的直线交x轴负半轴于C,且OBOC3:
1。
(1)求直线BC的解析式:
(2)直线EF:
y=kx-k(kw0)交AB于E,交BC于点F,交x轴于D,是否存在这样的直线EF,使得S^ebfS^fbd?
若存在,求出k的值;
若不存在,说明理由?
(3)如图,P为A点右侧x轴上的一动点,以P为直角顶点,BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ连接QA并延长交y轴于点K,当P点运动时,K点的位置是否发现变化?
若不变,请求出它的坐标;
如果变化,请说明理由。
一次函数的定义;
正比例函数的图象;
待定系数法求一次函数解析
代入点的坐标求出解析式y=3x+6,利用坐标相等求出k的值,用三角形全等的相等关
系求出点的坐标.
(1)由已知:
0=-6-b,
b=-6,
1.AB:
y=-x+6.
-B(0,6)
OB=6
OC=OB=2,
••C(20)
设BC的解析式是Y=ax+c,代入得;
6=0?
a+c,0=-2a+c,
a=3,c=6,
BC:
y=3x+6.
直线BC的解析式是:
y=3x+6;
(2)过E、F分别作EM^x轴,FN^x轴,则/EMD=/FND=90
--SaEBD=SAFBD,
DE=DF.
又・./NDF=/EDM,
・.△NFD^AEDM,
FN=ME.
联立y=kx-k,y=-x+6
5k
信yE=,
k1
联立y=kx-k,y=3x+6
/曰9k
得yF二
k-3
FN=-yf,ME=ye,
5k=-9k
k1k-3
•••5(k-3)=-9(k+1)
..k=3;
7
(3)不变化K(0,-6).过Q作QH,x轴于H,•・•△BPQ是等腰直角三角形,
/BPQ=90,PB=PQ,
•••/BOA=/QHA=90,/BPO=/PQH,
•.△BOP^AHPQ,PH=BO,OP=QH,PH+PO=BO+QH,即OA+AH=BO+QH,又OA=OB,
AH=QH,
.AHQ是等腰直角三角形,/QAH=45,
••.ZOAK=45,
..△AOK为等腰直角三角形,OK=OA=6,K(0,-6).
此题是一个综合运用的题,关键是正确求解析式和灵活运用解析式去解.
6.如图,直线AB交X轴负半轴于B(m,0),交Y轴负半轴于A(0,mj),OCLAB于C(-2,-2)。
(1)求m的值;
过G彳^OB的垂线,垂足为G
OBOA
AOB为等腰直角三角形
CBO45
CGB,CGO,OCB都是等腰直角三角形
GBOGCG2
m-4
(2)直线AD交OCTD,交X轴于E,过B作BF,A
HBOFAH(同角的余角相等)
OEOD
OEDODE
FEBOED,ADCODE(对顶角相等)
ADCFEB
HBOCAD
CADFAH
在AFB和AFH中
AFBAFH90
AFAF(公共边)
BAFFAH(E证)
AFBAFH(ASA)
BFHF(全等三角形对应边相等)
在BOH和AOE中,
HBOEAO(已证)
BOAO(已知)
BOHAOE90
BOHAOE(ASA)
BHAE(全等三角形对应边相等)
BHBFBH2BF
BFBFBF1
AEBH2BF2
⑶如图,P为x轴上B点左侧任一点,以AP为边作等腰直角^APM其中PA=PM直线M皎y轴于Q,当P在x轴上运动时,线段OQfe是否发生变化?
若不变,求其值;
若变化,说明理由。
解।0Q的长不发生变化
过P作PN垂直于笈轴交AB于N.垂足为P
AAPM为等腰直角三角形,
..PM=PA,1通A=号
又一.七AOB为等腰直角三角形,
ZALC=4511
Z1TBP=/矣。
=45%时顶角相等)
ANPR是等腰直角三角形
:
.PN=PE
ZNPA=
二90°
十/5F工二月十QBPA
=4PB
在&
NTA?
口ABPM中.
PN=己证)
<
ZNPA=ZMPB(已证)
AP=MP(己知)
L一
AHPA兰ABPM(SAS)
-JPNAZPBM=45°
又vZABO=45°
..ZABM=1800-ZOBA-ZPSM
=lS0o-45o-45a=M0
MB±
AB
丁过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
直线MP喳一
■rZQBO=450
..AOBQ为等腰直角三角形
..0Q=0B=4
与y轴交于点C,与直线y=kx交于点P,且PO=PA
(1)求a+b的值;
(2)求k的值;
(3)D为PC上一点,DF,x轴于点F,交OPT点E,若DE=2EF,求D点坐标.
一次函数与二元一次方程(组).
计算题;
数形结合;
待定系数法.
(1)根据题意知,一次函数y=ax+b的图象过点B(-1,
5)和点A(4,0),把A、
B代入求值即可;
(2)设P(x,y),根据PO=PA,列出方程,并与y=kx组成方程组,解方程组;
(3)设点D(x,-—x+2),因为点E在直线y=—x上,所以E(x,—x),F(x,0),
222
再根据等量关系DE=2EF列方程求解.
(1)根据题意得:
=-a+b
0=4a+b
解方程组得:
a=1,b=2
a+b=-—+2=3,即a+b=—;
(2)设P(x,y),则点P即在一次函数y=ax+b上,又在直线y=kx上,
由
(1)得:
一次函数y=ax+b的解析式是y=-—x+2,
又「PO=PA,
x2+y2=(4-x)2+y2
y=kx
y=1x+2,
x=2,y=1,k=1,
k的值是1;
(3)设点D(x,」x+2),则E(x,1x),F(x,0),
•••DE=2EF,
-1x+2-1x=2X1x,
222
x=1,
则-1x+Z=1X1+2=3,
322
•••D(1,3).
本题要求利用图象求解各问题,要认真体会点的坐标,一次函数与一元一次方程组之间的内在联系.
8.在直角坐标系中,B、A分别在x,y轴上,B的坐标为(3,0),/ABO=3(J,AC平分/OAB交x轴于C
(1)求C的坐标;
.ZAOB=9(J/ABO=30°
/OAB=3(J
又•「AC是/OAB的角平分线
/OAC4CAB=30
.OB=3
OA=3OC=1
即C(1,0)
(2)若D为AB中点,/EDF=60,证明:
证明:
取CB中点H,连CD,DH
.AO=3CO=1
..AC=2
又•••D,H分别是AB,CD中点
DH=1ACAB=23
1.
.DB=-AB=V3BC=2/ABC=302
:
.BC=2CD=2/CDB=60CD=1=DH
./EOF玄EDC吆CDF=60/EDC玄FDH
.AC=BC=2
CD±
ABADC=90o__oCBA=30
/ECD=60°
.HD=HB=1
/DHF=6(J
在ADCE和4DHF中
/EDC=/FDH/DCE=/DHFDC=DH
CE+CF=OC
/CDB4CDF吆FDH=60
ADCE^△DHF(AAS)
•.CE=HF
•.CH=CF+FH=CF+CE=1OC=1
•.CH=OC
OC=CE+CF
(3)若D为AB上一点,EBC的度数是否发生变化;
解:
不变/EBC=60
设DB与CE交与点
以D作ADEC使DC=DE/EDC=120,连BE,试问/
若不变,请求值。
DC=DE/EDC=120/DECWDCE=30^ADGCffiADCB中
J/CDG4BDC[/DCG4DBC=30
・.△DGCsADCB
DC_DB
DG-DC
DC=DE
DEDB=DGDE在EDG和BDE中
DE=DB
DGDE
/EDG=/BDE
••.△EDGsABDE
/DEG=/DBE=30°
/EBD=/DBE+/DBC=60°
9、如图,直线AB交x轴正半轴于点A(a,0),交y轴正半轴于点B(0,b),且a、b满
足,a4+|4—b|=0
(1)求A、B两点的坐标;
(2)D为OA的中点,连接BQ过点O作OaBD于F,交AB于E,求证/BDO/EDA
(3)如图,P为x轴上A点右侧任意一点,以BP为边作等腰Rt^PBM其中PB=PM直线MA交y轴于点Q,当点P在x轴上运动时,线段OQ勺长是否发生变化?
若不变,求其值;
若变化,求线段OQ勺取值范围.
非负数的性质:
绝对值;
算术平方根.
证明题;
探究型.
①首先根据已知条件和非负数的性质得到关于a、b的方程,解方程组即可求出a,b
的值,也就能写出A,B的坐标;
②作出/AOB的平分线,通过证△BOGOAE得到其对应角相等解决问题;
③过M作x轴的垂线,通过证明^PBO^AMPN得出MN=AN,转化到等腰直角三角形中去
就很好解决了.
①:
<
'
a―4+|4-b|=0
a=4,b=4,
••A(4,0),B(0,4);
(2)作/AOB的角平分线,交BD于G,/BOG=/OAE=45,OB=OA,
/OBG=/AOE=90-/BOF,
・.△BOG^AOAE,OG=AE.
・./GOD=/A=45,OD=AD,GODEDA.
・./GDO=/ADE.
(3)过M作MN,x轴,垂足为N.
・./BPM=90,
・••/BPO+/MPN=90.
・••/AOB=/MNP=90,
/BPO=/PMN,/PBO=/MPN.
・••BP=MP,
・.△PBO^AMPN,
MN=OP,PN=AO=BO,
OP=OA+AP=PN+AP=AN,MN=AN,/MAN=45.
・••/BAO=45,
••.ZBAO+/OAQ=90
.BAQ是等腰直角三角形.
OB=OQ=4.
,无论P点怎么动OQ的长不变.
(1)考查的是根式和绝对值的性质.
(2)考查的是全等三角形的判定和性质.
(3)本题灵活考查的是全等三角形的判定与性质,还有特殊三角
形的性质.
10、如图,平面直角坐标系中,点A、B分别在x、y轴上,点B
的坐标为(0,1),
/BAB30。
.
(1)求AB的长度;
(2)以AB为一边作等边△ABE作OA的垂直平分线M竣AB的垂线AD于点D.求证:
BD=OE
线段垂直平分线的性质;
等边三角形的性质;
含30度角的
直角三角形.
证明题.
(1)直接运用直角三角形30。
角的性质即可.
(2)连接OD,易证△ADO为等边三角形,再证△ABD^AAEO即可.
(3)作EHXAB于H,先证△ABOAEH,得AO=EH,再证△AFD^AEFH即可.
(1)解:
二•在RtAABO中,/BAO=30,
AB=2BO=2;
(2)证明:
连接OD,.「△ABE为等边三角形,
AB=AE,/EAB=60,
BAO=30,作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D,/DAO=60.
/EAO=/NAB
又「DO=DA,
・•.△ADO为等边三角形.
DA=AO.
在△ABD与△AEO中,
•••AB=AE,/EAO=/NAB,DA=AO
ABD^AAEO.
BD=OE.
(3)证明:
作EHXAB于H.
.AE=BE,AH=-1AB,
BO=1AB,
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