上海高三数学应用题汇编(修改)Word下载.doc
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当时,……11分
令函数,可知函数在区间上是单调递减函数……12分
故,故……13分
故,所以实数的取值范围是……14分
3、如图所示,沿河有、两城镇,它们相距20千米,以前,两城镇的污水直接排入河里,现为保护环境,污水需经处理才能排放,两城镇可以单独建污水处理厂,或者联合建污水处理厂(在两城镇之间或其中一城镇建厂,用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送),
河流
A
B
污水处理厂★
x
依据经验公式,建厂的费用为(万元),表示污水流量,铺设管道的费用(包括管道费)(万元),表示输送污水管道的长度(千米);
已知城镇和城镇的污水流量分别为、,、两城镇连接污水处理厂的管道总长为20千米;
假定:
经管道运输的污水流量不发生改变,污水经处理后直接排入河中;
请解答下列问题(结果精确到0.1)
(1)若在城镇和城镇单独建厂,共需多少总费用?
(2)考虑联合建厂可能节约总投资,设城镇到拟建厂的距离为千米,求联合建厂的总费用与的函数关系式,并求的取值范围;
[解]
(1)分别单独建厂,共需总费用
万元……………4分
(2)联合建厂,共需总费用
()
所以与的函数关系式为()……8分
令()
………10分
的取值范围为.…………………………14分
4、如图,某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD,其中D为顶端,AC长35米,CB长80米.设点A、B在同一水平面上,从A和B看D的仰角分别为和.
α
β
C
D
(1) 设计中CD是铅垂方向.如要求,问CD的长至多为多少(结果精确到0.01米)?
(2) 施工完成后,CD与铅垂方向有偏差.现在实测得,,求CD的长(结果精确到0.01米).
解:
(1)记.根据已知得,
,,所以,
解得.因此,CD的长至多约为28.28米.
(2) 在△ABD中,由已知,,,
由正弦定理得,解得.
在△BCD中,由余弦定理得,
解得.所以,CD的长约为26.93米.
5、如图,三地有直道相通,千米,千米,千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地,经过小时,他们之间的距离为(单位:
千米).甲的路线是,速度为千米/小时,乙的路线是,速度为千米/小时.乙到达地后在原地等待.设时,乙到达地.
(1) 求与的值;
(2) 已知警员的对讲机的有效通话距离是千米.当时,求的表达式,并判断在上的最大值是否超过?
说明理由.
(1). 2分
记乙到时甲所在地为,则千米.
在△中,,
所以(千米). 6分
(2) 甲到达用时小时;
乙到达用时小时,从到总用时小时.
当时,;
当时,. 10分
所以 11分
因为在上的最大值是,在上的最大值是, 所以在上的最大值是,不超过. 14分
6、某公司要在一条笔直的道路边安装路灯,要求灯柱AB与地面垂直,灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂,路灯C采用锥形灯罩,射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示.已知,,路宽米.
设
(1)求灯柱AB的高(用表示);
(2)此公司应该如何设置的值才能使制造路灯灯柱AB与
灯杆BC所用材料的总长度最小?
最小值为多少?
(结果精确到0.01米)
解.
(1)三角形ACD中,,
由,得
.................................3分
三角形ABC中,
...................6分
(2)三角形ABC中,
.................................9分
所以
.......................................................11分
因为,所以
所以当时,取得最小值......................13分
制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小,最小值约为21.86米......14分
7、松江天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”,
兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高,如图,记点为塔基、点为塔尖、
点在地面上的射影为点,在塔身射影所在直线上选点,使仰角,
过点与成的地面上选点,使仰角(点、、都在同一水平
面上),此时测得,与之间距离为33.6米,试求:
(1)塔高;
(即线段的长,精确到0.1米)
(2)塔的倾斜度;
(即的大小,精确到)
(1)设塔高由题意知,,
所以均为等腰直角三角形
∴……………2分
在中,,,
∴……………6分
(2)在中,,
,,
由,
得……………10分
∴……………13分
所以塔高米,塔的倾斜度为。
……………14分
二、解析几何
1、有一块正方形菜地,所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到点或河边运走.于是,菜地分为两个区域和,其中中的蔬菜运到河边较近,中的蔬菜运到点较近,而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等.现建立平面直角坐标系,其中原点为的中点,点的坐标为,如图.
(1)求菜地内的分界线的方程;
PF制作
(2)菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍,由此得到面积的“经验值”为.设是上纵坐标为的点,请计算以为一边,另一边过点的矩形的面积,及五边形的面积,并判断哪一个更接近于面积的“经验值”.
(1) 因为上的点到直线与到点的距离相等,所以是以为焦点、以为准线的抛物线在正方形内的部分,其方程为.
(2) 依题意,点的坐标为.
所求的矩形面积为,而所求的五边形面积为.
矩形面积与“经验值”之差的绝对值为,而五边形面积与“经验值”之差的 绝对值为,所以五边形面积更接近于面积的“经验值”.
2、如图,、是海岸线、上的两个码头,海中小岛有码头到海岸线、的距离分别为、.测得,.以点为坐标原点,射线为轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系.一艘游轮以的平均速度在水上旅游线航行(将航线看作直线,码头在第一象限,航线经过).
(1)问游轮自码头沿方向开往码头共需多少分钟?
(2)海中有一处景点(设点在平面内,,且),游轮无法靠近.求游轮在水上旅游线航行时离景点最近的点C的坐标.
(1)由已知得:
,直线的方程为,………1分
O
M
设,由及图得,………3分
直线的方程为,即,………5分
由得即,………6分
,即水上旅游线的长为.
游轮在水上旅游线自码头沿方向开往码头共航行30分钟时间.………8分
(2)解法1:
点到直线的垂直距离最近,则垂足为。
………10分
由
(1)知直线的方程为,,则直线的方程为,………12分
所以解直线和直线的方程组,得点的坐标为(1,5).……14分
解法2:
设游轮在线段上的点处,
则,,………10分
,
,则
,,………12分
时,
当时,离景点最近,代入得离景点最近的点的坐标为(1,5).
3、在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市A(看做一点)的东偏南角方向,300km的海面P处,并以20km/h的速度向西偏北45°
方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大.
(1)问10小时后,该台风是否开始侵袭城市A,并说明理由;
(2)城市A受到该台风侵袭的持续时间为多久?
(1)如图建立直角坐标系,…………1分
则城市,当前台风中心,
设t小时后台风中心P的坐标为,则,此时台风的半径为,
10小时后,km,台风的半径为160km,
……………………………5分
故,10小时后,该台风还没有开始侵袭城市A.………1分
(2)因此,t小时后台风侵袭的范围可视为以
为圆心,为半径的圆,
若城市A受到台风侵袭,则
,即,……………………………5分
解得……………………………1分
答:
该城市受台风侵袭的持续时间为12小时.……………………………1分
4、某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛,在E处按方向释放机器人甲,同时在A处按某方向释放机器人乙,设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲.若点Q在矩形区域ABCD内(包含边界),则挑战成功,否则挑战失败.
已知米,E为AB中点,机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍,比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进,记与的夹角为.
(1)若,AD足够长,如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功?
(结果精确到)
(2)如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度,才能确保无论的值为多少,总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲?
E
P
(1)中,........2分
由正弦定理,得:
所以............................................................................................4分
所以
所以应在矩形区域内,按照与夹角为的向量方向释放机器人乙,才能挑战成功.............................................................................................................6分
(2)以所在直线为轴,中垂线为轴,建平面直角坐标系,
设...........................................................................................8分
由题意,知,所以
所以..................................................................11分
即点的轨迹是以为圆心,6为半径的上半圆在矩形区域内的部分
所以当米时,能确保无论的值为多少,总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲...........................................14分
5.海事救援船对一艘失事船进行定位:
以失事船的当前位置为原点,以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里处,如图.现假设:
①失事船的移动路径可视为抛物线;
②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;
③救援船出发小时后,失事船所在位置的横坐标为.
(1)当时,写出失事船所在位置的纵坐标.若此时两船恰好会合,求
救援船速度的大小和方向;
(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?
三、数列
1、某市2017年发放汽车牌照12万张,其中燃油型汽车牌照10万张,电动型汽车2万张.为了节能减排和控制总量,从2017年开始,每年电动型汽车牌照按50%增长,而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少万张,同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张,以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变.
(1)记2017年为第一年,每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列,每年发放的电动型汽车牌照数构成数列,完成下列表格,并写出这两个数列的通项公式;
…
3
(2)从2017年算起,累计各年发放的牌照数,哪一年开始超过200万张?
(1)
9
8.5
4.5
6.75
当且时,;
当且时,.
------4分而,
-------------------------------------------------------------7分
(2)当时,.---------------8分
当时,
------------------------------------------------------------11分
由得,即,
解得--------------------------------------------------------------13分
到2029年累积发放汽车牌照超过200万张----------------------------------------------------14分
2、某化工厂从今年一月起,若不改善生产环境,按生产现状,每月收入为70万元,同时将受到环保部门的处罚,第一个月罚3万元,以后每月增加2万元.如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备(改造设备时间不计),一方面可以改善环境,另一方面也可以大大降低原料成本.据测算,添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入是生产时间个月的二次函数(是常数),且前3个月的累计生产净收入可达309万,从第6个月开始,每个月的生产净收入都与第5个月相同.同时,该厂不但不受处罚,而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元.
(1)求前8个月的累计生产净收入的值;
(2)问经过多少个月,投资开始见效,即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入.
(1)据题意,解得,﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
第5个月的净收入为万元,﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
所以,万元.﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
(2)
即﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
要想投资开始见效,必须且只需
即﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒2分
即不成立;
﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
当时,即,﹒﹒﹒﹒2分
验算得,时,.﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
所以,经过9个月投资开始见效.﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒1分
3、为了配合今年上海迪斯尼游园工作,某单位设计了统计人数的数学模型:
以表示第个时刻进入园区的人数;
以表示第个时刻离开园区的人数.
设定以分钟为一个计算单位,上午点分作为第个计算人数单位,即;
点分作为第个计算单位,即;
依次类推,把一天内从上午点到晚上点分分成个计算单位(最后结果四舍五入,精确到整数).
(1)试计算当天点至点内,进入园区的游客人数、离开园区的游客人数各为多少?
(2)假设当日园区游客总人数达到或超过万时,园区将采取限流措施.该单位借助该数学模型知晓当天点(即)时,园区总人数会达到最高,请问当日是否要采取限流措施?
说明理由.
(3)假设从点分(即)开始,有游客离开园区,请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻,并说明理由.
(1)当天点至点这一小时内进入园区人数为
(人)…………………3分
离开园区的人数(人)………………6分
(2)当天下午点()时
进入园区人数为
(人)………10分
此时,离开园区的人数
人………12分
此时,园区共有游客为(人)………13分
因为,所以当天不会采取限流措施.………14分
(3)当时,游客人数递增;
当时,游客人数递减.…7分
①当时,由,可得:
当时,进入园区游客人数多于离开园区游客人数,总人数越来越多;
…9分
当时,进入园区游客人数少于离开游客人数,总人数将变少;
……11分
(;
)
②当时,由递减,且其值恒为负数.进入园区游客人数少于离开游客人数,总人数将变少.………………13分
综上,当天下午点时()园区内的游客人数最多,此时计算可知园区大约共有人.………………14分
4、李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业,万众创新”.某创客,白手起家,2018年一月初向银行贷款十万元做创业资金,每月获得的利润是该月初投入资金的20%.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额(包括本金和利润)的10%,每月的生活费等开支为3000元,余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.
(1)问到2018年年底(按照12个月计算),该创客有余款多少元?
(结果保留至整数元)
(2)如果银行贷款的年利率为5%,问该创客一年(12个月)能否还清银行贷款?
解法1:
(1)设个月的余款为,则
,
。
=(元),
,一般的,,
构造,
,
.
(2)194890-100000´
1.05=89890(元),能还清银行贷款。
14
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