莆田质检数学试题及答案文档格式.doc
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将△BMN沿养MN翻折,得到△FMN.若
MF∥AD,FN∥DC,则∠F的度数为( )
x
y
D
M
N
F
(A)70°
(B)80°
(C)90°
(D)100°
(10)如图,点A、B分别在反比例函数y=(x>
0),y=(x<
0)的图象上.若OA⊥OB,,
则a的值为( )
(A) (B)4(C)(D)2
二、填空題(每小题4分,共24分)
(11)计算:
=________.
(12)我国五年来(2013年~2018年)经济实力跃上新台阶,国内生产总值增加到827000亿元.
数据827000亿元用科学记数法表示为________亿元.
E
G
H
(13)如图,四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD,中间阴影部分是一个小正方形EFGH,这样就组成一个“赵爽弦图”,若AB=5,AE=4,则正方形EFCH的面积为________.
(14)如图,△ABC中,AB=3,AC=4.点F在AC上,AE平分∠BAC,AE⊥BF于点E.若点D为BC中点,则DE的长为________.
(15)小峰抛掷一枚质地均匀的硬币两次,则事件“至少出现一次正面朝上”的概率为________.
(16)2010年8月19日第26届国际数学家大会在印度的海德拉巴市举行,并首次颁出陈省身奖,该奖项是首个以中国人名字命名的国际主要科学奖.
根据蔡勒公式可以得出2010年8月19日是星期________.
(注:
蔡勒(德国数学家)公式:
W=
其中:
W——所求的日期的星期数(如大于7,就需减去7的整数倍),c——所求年份的前两位,y所求年份的后两位,m—月份数(若是1月或2月,应视为上一年的13月或14月,即3≤m≤14),d——日期数,[a]—表示取数a的整数部分.)
三、解答题(86分)
(17)先化筒,再求值:
,其中a=3.
(18)(8分)如图,等边△ABC.
(1)求作一点D,连接AD、CD,使得四边形ABCD为菱形;
(要求:
尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)连接BD交AC于点O,若OA=1,求菱形ABCD的面积.
(19)(8分)保险公司车保险种的基本保费为a(单位:
元),继续购买该险种的投保人称为续保
人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下表:
上年度出险次数
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
该公司随机调查了该险种的300名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计图:
(1)样本中,保费高于基本保费的人数为________名;
(2)已知该险种的基本保费a为6000元,估计一名
续保人本年度的平均保费.
(20)(8分)如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°
.分别以AB、AC
为边在AB同侧作等边△ABD和等边△ACE,连接DE.
(1)判断△ADE的形状,并加以证明;
(2)过图中两点画一条直线,使其垂直平分图中的某条线段,并说明理由.
(21)(8分)水果店在销售某种水果,该种水果的进价为10元/kg根据以往的销售经验可知:
日销量y(单位:
kg)随售价x(单位:
元/kg)的变化规律符合某种函数关系.
该水果店以往的销售记录如下表:
(售价不低于进价)
售价x(单位:
元/kg)
10
15
20
25
30
kg)
12
若y与x之间的函数关系是一次函数,二次函数,反比例函数中的某一种.
(1)判断y与x之间的函数关系,并写出其解析式;
(2)水果店销售该种水果的日利润能否达到200元?
说明理由.
(22)(10分)如图,CD是⊙O的直径,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为N,连接AC.
(1)若ON=1,BN=,求BC长;
(2)若点E在AB上,且AC2=AE·
AB,求证:
∠CEB=2∠CAB.
(23)(10分)规定:
在平面直角坐标系内,某直线l1与绕原点O顺时针旋转90°
,得到的直线l2称
为l1的“旋转垂线.
(1)求出直线的“旋转垂线”的解析式;
(2)若直线的“旋转垂线”为直线
,求证:
k1·
k2=.
(24)(12分)如图,AD平分∠BAC,BD⊥AD,垂足为点D.点P是AD上一点,PQ⊥AC于点Q,
连接BP、DQ.
Q
DD
P
(1)求证:
=;
(2)求证:
∠DBP=∠DQP;
(3)若BD=1,点P在线段AD上运动(不与A、D重合),设DP=t,
点P到AB的距离为d1,点P到DQ的距离为d2.记S=,
求S与t之间的函数关系式.
(25)(14分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点,顶点为C,且△ABC为等腰
直角三角形.
(1)当A(,0),B(3,0)时,求a的值;
(2)当,时,
(i)求该二次函数的解析式(用只含a的式子表示);
(ii)在≤x≤3范围内任取三个自变量x1、x2、x3,所对应的的三个函数值分别为y1、y2、y3,
若以y1、y2、y3为长度的三条线段能围成三角形,求a的取值范围.
参考答案与评分标准
(1)C
(2)C(3)B(4)D(5)C(6)A(7)D(8)B(9)B(10)A
(11)2(12)8.27105(13)1(14)(15)(16)四
三、解答题
(17)(本小题满分8分)
解:
原式=┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分
=┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分
=┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
∵a=.
∴原式=.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
(18)(本小题满分8分)
(I)┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分
如图所示,点D就是所求作的点.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分
(II)在菱形ABCD中,∠BAC=60°
,OB⊥OA,┄┄┄5分
∴在Rt△OAB中,tan∠OAB=tan60°
=.
∵OA=1
∴,BD=.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分
又∵AC=2OA=2
∴菱形ABCD的面积.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
(19)(本小题满分8分)
(I)120┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分
(II)解:
平均保费为
=6950(元)┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
(20)(本小题满分8分)
(I)△ADE是等腰直角三角形.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1分
理由:
在等边△ABD和等边△ACE中,
∵BA=DA,CA=EA,∠BAD=∠CAE=60°
.
∴∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD.
即∠BAC=∠EAD.
∴△ABC≌△ADE.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分
∴AB=AD,BC=DE,∠ABC=∠ADE
∵AB=BC,∠ABC=90°
∴AD=DE,∠ADE=90°
即△ADE是等腰直角三角形.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分
(II)连接CD,则直线CD垂直平分线段AE.
(或连接BE,则直线BE垂直平分线段AC)┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
由(I)得DA=DE.
又∵CA=CE.
∴直线CD垂直平分线段AE.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
(21)(本小题满分8分)
(I)解:
观察可知,售价x与日销量y的乘积为定值300.
y与x之间的关系为反比例函数.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分
设函数解析式为.
当时,.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分
∴函数解析式为.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分
(II)解:
能达到200元.
依题意:
解得:
.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
经检验,是原方程的解,并且符合题意.┄┄┄┄┄┄┄7分
答:
当售价30元/kg时,水果店销售该种水果的日利润为200元.┄┄┄┄8分
(22)(本小题满分10分)
(I)解:
∵AB⊥CD,垂足为N
∴∠BNO=90°
在Rt△ABC中,∵ON=1,BN=
∴,┄┄┄3分
∴∠BON=60°
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分
∴.┄┄┄┄┄┄┄┄5分
(II)证明:
如图,连接BC
∵CD是⊙O的直径,AB⊥CD,
∴.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
∴∠1=∠CAB
∵,且∠A=∠A
∴△ACE∽△ABC┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
∴∠1=∠2
∴∠CAB=∠2
∴∠CEB=∠CAB+∠2=2∠CAB.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分
(23)(本小题满分10分)
直线经过点(2,0)与(0,2),
则这两点绕原点O顺时针旋转90°
的对应点为(0,-2)与(2,0)┄┄┄2分
设直线的“旋转垂线”的解析式为┄┄3分
把(0,-2)与(2,0)代入
得:
.解得.
即直线的“旋转垂线”为;
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分
(II)证明:
直线经过点(,0)与(0,1),┄┄┄┄6分
的对应点为(0,)与(1,0),┄┄8分
把(0,)与(1,0)代入,得
∴,∴.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分
(24)(本小题满分12分)
(I)证明∵AD平分∠BAC,
∴∠PAQ=∠BAD
∵PQ⊥AC,BD⊥AD
∴∠PQA=∠BDA=90°
∴△PQA∽△BDA┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分
∴┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分
(II)证法一:
由(I)得
又∵∠PAB=∠QAD
∴△PAB∽△QAD┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分
∴∠APB=∠AQD
∵∠APB=∠PDB+∠DBP
∠AQD=∠AQP+∠DQP
∴∠PDB=∠AQP=90°
∴∠DBP=∠DQP┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分
证法二:
如图,延长AC,交BD的延长线于点E,
连接PE,取PE的中点O,连接OD,OQ.
∵∠PDE=∠PQE=90°
在Rt△PDE与Rt△PQE中,
∵O是PE的中点,
∴,
即
∴P、D、E、Q四点都在以O为圆心,OP为半径的⊙O上,┄┄┄┄┄┄┄┄5分
∴∠1=∠DQP
∵AD垂直平分BE
∴PB=PE
∴∠1=∠DBP
∴∠DBP=∠DQP┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分
(III)解:
过点P分别作PG⊥AB于点G,PH⊥DQ于点H.
则PG=d1,PH=d2.
∵AD平分∠BAC,PQ⊥AC.
∴d1=PG=PQ.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
∴.
由(II)得∠DBP=∠DQP,
∵∠BDP=∠QHP=90°
∴△DBP∽△HQP;
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分
在Rt△BDP中,BD=1,DP=t.
∴.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
25.(本小题满分14分)
∵A(-1,0),B(3,0),∴该二次函数图象的对称轴为,且AB=4.
图1
过点C作CH⊥AB于点H.
∵△ABC为等腰直角三角形,∴CH=AB=2.┄┄1分
∴C(1,-2)或C(1,2)
①如图1,当C(1,-2)时,可设.
图2
把点B(3,0)代入可得:
.┄┄┄┄3分
②如图2,当C(1,2)时,可设.
综上所述,或.┄┄┄┄┄┄┄4分
(i)当时,=.┄┄┄┄┄┄┄┄5分
∴C(1,c-a)
∴B(1+c-a,0).┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
∴.
∵,
∴.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分
(ii)法一:
∵,a<
0,
∴当x=-1或3时,y取得最小值,┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分
当x=1时,y取得最大值.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分
若以为长度的三条线段能围成三角形.
则.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分
整理得:
∴.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14分
法二:
依题意得:
,,.
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分
以为长度的三条线段能围成三角形.不妨设.
则在范围内恒成立.
∴
.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分
等价于最大值小于.
当时,取最大值为8;
当时,取最小值为0.
此时取最大值为.
∴.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分
∵.
∴.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14分
2018莆田质检第10页共4页
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