立体几何之内切球与外接球习题讲义教师版Word格式文档下载.doc
- 文档编号:7893208
- 上传时间:2023-05-09
- 格式:DOC
- 页数:12
- 大小:1.18MB
立体几何之内切球与外接球习题讲义教师版Word格式文档下载.doc
《立体几何之内切球与外接球习题讲义教师版Word格式文档下载.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《立体几何之内切球与外接球习题讲义教师版Word格式文档下载.doc(12页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
A. B. C. D.
1.2球与长方体
长方体各顶点可在一个球面上,故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为其体对角线为.当球为长方体的外接球时,截面图为长方体的对角面和其外接圆,和正方体的外接球的道理是一样的,故球的半径
例2在长、宽、高分别为2,2,4的长方体内有一个半径为1的球,任意摆动此长方体,则球经过的空间部分的体积为()
A. B.4π C. D.
1.3球与正棱柱
球与一般的正棱柱的组合体,常以外接形态居多。
下面以正三棱柱为例,介绍本类题目的解法——构造直角三角形法。
设正三棱柱的高为,底面边长为,如图2所示,和分别为上下底面的中心。
根据几何体的特点,球心必落在高的中点,,借助直角三角形的勾股定理,可求。
例3正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上,则正四棱柱的侧面积有最值,为.
2球与锥体
规则的锥体,如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.
2.1球与正四面体
正四面体作为一个规则的几何体,它既存在外接球,也存在内切球,并且两心合一,利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系。
如图4,设正四面体的棱长为,内切球半径为,外接球的半径为,取的中点为,为在底面的射影,连接为正四面体的高。
在截面三角形,作一个与边和相切,圆心在高上的圆,即为内切球的截面。
因为正四面体本身的对称性可知,外接球和内切球的球心同为。
此时,则有解得:
这个解法是通过利用两心合一的思路,建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现,球心为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系,可为解题带来极大的方便.
例4将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为()
A.B.2+C.4+D.
球的外切正四面体,这个小球球心与外切正四面体的中心重合,而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的3倍.]
2.2球与三条侧棱互相垂直的三棱锥
球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题,主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法,即把三棱柱补形成正方体或者长方体。
常见两种形式:
一是三棱锥的三条棱互相垂直且相等,则可以补形为一个正方体,它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心。
如图5,三棱锥的外接球的球心和正方体的外接球的球心重合,设,则。
二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直且不相等,则可以补形为一个长方体,它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心,(为长方体的体对角线长)。
例5在正三棱锥中,分别是棱的中点,且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是。
2.3球与正棱锥
球与正棱锥的组合,常见的有两类,
一是球为三棱锥的外接球,此时三棱锥的各个顶点在球面上,根据截面图的特点,可以构造直角三角形进行求解.
二是球为正棱锥的内切球,例如正三棱锥的内切球,球与正三棱锥四个面相切,球心到四个面的距离相等,都为球半径.这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离,故可采用等体积法解决,即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.
例6在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=,侧棱PA与底面ABC所成的
角为60°
,则该三棱锥外接球的体积为()
A. B. C.4 D.
2.4球与特殊的棱锥
球与一些特殊的棱锥进行组合,一定要抓住棱锥的几何性质,可综合利用截面法、补形法、等进行求解。
例如,四面体都是直角三角形的三棱锥,可利用直角三角形斜边中点几何特征,巧定球心位置。
如图8,三棱锥,满足面,,取的中点为,由直角三角形的性质可得:
所以点为三棱锥的外接球的球心,则.
例7矩形中,沿将矩形折成一个直二面角,则四面体的外接球的体积是()
A.B.C.D.
3球与球
对个多个小球结合在一起,组合成复杂的几何体问题,要求有丰富的空间想象能力,解决本类问题需掌握恰当的处理手段,如准确确定各个小球的球心的位置关系,或者巧借截面图等方法,将空间问题转化平面问题求解.
例8在半径为的球内放入大小相等的4个小球,则小球的半径的最大值为()
4球与几何体的各条棱相切
球与几何体的各条棱相切问题,关键要抓住棱与球相切的几何性质,达到明确球心的位置为目的,然后通过构造直角三角形进行转换和求解.
如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半:
.
例8把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内,使皮球的表面与8根铁丝都有接触点,则皮球的半径为()
A.B.C.D.
综合上面的四种类型,解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决.如果外切的是多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作;
把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题.解决这类问题的关键是抓住内接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.发挥好空间想象力,借助于数形结合进行转化,问题即可得解.如果是一些特殊的几何体,如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.
外接球内切球问题
1.(陕西理)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是()
A.B.C.D.
答案 B
2.直三棱柱的各顶点都在同一球面上,若,,则此球的表面积等于。
解:
在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为,球心为,在中,易得球半径,故此球的表面积为.
3.正三棱柱内接于半径为的球,若两点的球面距离为,则正三棱柱的体积为 .
答案8
4.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为
A.B.C.D.
答案A
【解析】此正八面体是每个面的边长均为的正三角形,所以由知,,则此球的直径为,故选A。
5.已知正方体外接球的体积是,那么正方体的棱长等于()
A.2B.C.D.
答案D
6.(山东卷)正方体的内切球与其外接球的体积之比为()
A.1∶B.1∶3C.1∶3D.1∶9
答案C
7.(海南、宁夏理科)一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为,底面周长为3,则这个球的体积为 .
答案
8.(天津理)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,则此球的表面积为 .
9.(全国Ⅱ理)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。
如果正四棱柱的底面边长为1cm,那么该棱柱的表面积为cm2.
A
B
C
P
D
E
F
10.(辽宁)如图,半径为2的半球内有一内接正六棱锥,则此正六棱锥的侧面积是________.
答案
11.(辽宁省抚顺一中)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是.
12.(枣庄一模)一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为 ()
A. B.
C. D.以上都不对
答案C
13.(吉林省吉林市)设正方体的棱长为,则它的外接球的表面积为()
A.B.2πC.4π D.
14(新课标理)已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且;
则此棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
15.(辽宁文)已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为2正方形.若PA=2,则△OAB的面积为______________.
12
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 立体几何 之内 外接 习题 讲义 教师版