立体几何中的向量问题空间角与距离[高考数学总复习][高中数学课时训]文档格式.doc
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由·
=||||cos〈,〉,
可得2m=.
解得m=,所以=(,,1).
(1)因为cos〈,〉==,
所以〈,〉=45°
即DP与CC′所成的角为45°
(2)平面AA′D′D的一个法向量是=(0,1,0).
因为cos〈,〉==,
所以〈,〉=60°
可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°
例2在三棱锥S—ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M、N分别为AB、SB的中点,如图所示.
求点B到平面CMN的距离.
解取AC的中点O,连接OS、OB.
∵SA=SC,AB=BC,
∴AC⊥SO,AC⊥BO.
∵平面SAC⊥平面ABC,
平面SAC∩平面ABC=AC,
∴SO⊥平面ABC,∴SO⊥BO.
如图所示,建立空间直角坐标系O—xyz,
则B(0,2,0),C(-2,0,0),S(0,0,2),
M(1,,0),N(0,,).
∴=(3,,0),=(-1,0,),=(-1,,0).
设n=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,
则,取z=1,
则x=,y=-,∴n=(,-,1).
∴点B到平面CMN的距离d=.
例3(16分)如图所示,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,AD=,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.
(1)点E为BC的中点时,试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由;
(2)求证:
无论点E在BC边的何处,都有PE⊥AF;
(3)当BE为何值时,PA与平面PDE所成角的大小为45°
(1)解当点E为BC的中点时,EF与平面PAC平行.
∵在△PBC中,E、F分别为BC、PB的中点,∴EF∥PC.
又EF平面PAC,而PC平面PAC,
∴EF∥平面PAC. 4分
(2)证明以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系
则P(0,0,1),B(0,1,0),
F(0,,),D(,0,0).
设BE=x,则E(x,1,0),
·
=(x,1,-1)·
(0,,)=0,
∴PE⊥AF. 10分
(3)解设平面PDE的法向量为m=(p,q,1),
由
(2)知=(,0,-1),=(x,1,-1)
由,得m=. 12分
而=(0,0,1),依题意PA与平面PDE所成角为45°
∴sin45°
==,
∴=, 14分
得BE=x=-或BE=x=+>(舍去).
故BE=-时,PA与平面PDE所成角为45°
. 16分
1.如图所示,AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径,AD与两圆所在的平面均垂直,AD=8.BC是⊙O的直径,AB=AC=6,
OE∥AD.
(1)求二面角B-AD-F的大小;
(2)求直线BD与EF所成的角的余弦值.
解
(1)∵AD与两圆所在的平面均垂直,
∴AD⊥AB,AD⊥AF,
故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角.
依题意可知,ABFC是正方形,
∴∠BAF=45°
即二面角B—AD—F的大小为45°
;
(2)以O为原点,CB、AF、OE所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系(如图所示),
则O(0,0,0),
A(0,-3,0),B(3,0,0),D(0,-3,8),
E(0,0,8),F(0,3,0),
∴=(-3,-3,8),=(0,3,-8).
cos〈,〉===-.
设异面直线BD与EF所成角为,则
cos=|cos〈,〉|=.
即直线BD与EF所成的角的余弦值为.
2.已知:
正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,E、F分别为棱AB、BC的中点.
(1)求证:
平面B1EF⊥平面BDD1B1;
(2)求点D1到平面B1EF的距离.
(1)证明建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),
B(2,2,0),E(2,,0),
F(,2,0),D1(0,0,4),
B1(2,2,4).
=(-,,0),=(2,2,0),=(0,0,4),
∴·
=0,·
=0.
∴EF⊥DB,EF⊥DD1,DD1∩BD=D,
∴EF⊥平面BDD1B1.
又EF平面B1EF,∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.
(2)解由
(1)知=(2,2,0),
=(-,,0),=(0,-,-4).
设平面B1EF的法向量为n,且n=(x,y,z)
则n⊥,n⊥
即n·
=(x,y,z)·
(-,,0)=-x+y=0,
n·
(0,-,-4)=-y-4z=0,
令x=1,则y=1,z=-,∴n=(1,1,-)
∴D1到平面B1EF的距离
d===.
3.如图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=,
BC=1,PA=2,E为PD的中点.
(1)求直线AC与PB所成角的余弦值;
(2)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥平面PAC,并求出N点到AB和AP的距离.
解方法一
(1)建立如图所示的空间直角坐标系,
则A、B、C、D、P、E的坐标为A(0,0,0),B(,0,0)、C(,1,0)、D(0,1,0)、P(0,0,2)、
E(0,,1),
从而=(,1,0),=(,0,-2).
设与的夹角为,
则cos===,
∴AC与PB所成角的余弦值为.
(2)由于N点在侧面PAB内,故可设N点坐标为(x,0,z),则=(-x,,1-z),由NE⊥平面PAC可得
,即,
化简得,∴
即N点的坐标为(,0,1),从而N点到AB、AP的距离分别为1,.
方法二
(1)设AC∩BD=O,
连接OE,AE,BD,
则OE∥PB,
∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角.
在△AOE中,AO=1,OE=PB=,AE=PD=,
∴由余弦定理得
cos∠EOA=,
即AC与PB所成角的余弦值为.
(2)在平面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F,则∠ADF=.连接PF,则在Rt△ADF中,
DF==,
AF=AD·
tan∠ADF=.
设N为PF的中点,连接NE,则NE∥DF.
∵DF⊥AC,DF⊥PA,
∴DF⊥平面PAC,从而NE⊥平面PAC.
∴N点到AB的距离为AP=1,
N点到AP的距离为AF=.
一、填空题
1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M是AB的中点,则sin〈,〉的值等于.
2.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,O是A1C1的中点,则点O到平面ABC1D1的距离为.
3.(2008·
全国Ⅰ理,11)已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心,则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于.
4.P是二面角—AB—棱上的一点,分别在、平面上引射线PM、PN,如果∠BPM=∠BPN=45°
,∠MPN=60°
,那么二面角—AB—的大小为.
答案90°
5.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,E、F分别为BB1、CD的中点,则点F到平面A1D1E的距离为.
6.如图所示,在三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°
,
点E、F分别是棱AB、BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是.
7.如图所示,已知正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都相等,D是A1C1的中点,则直线AD与
平面B1DC所成角的正弦值为.
8.正四棱锥S—ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角是.
答案30°
二、解答题
9.如图所示,在几何体ABCDE中,△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°
BE和CD都垂直于平面ABC,且BE=AB=2,CD=1,点F是AE的中点.
求AB与平面BDF所成角的正弦值.
解以点B为原点,BA、BC、BE所在的直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则
B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,2,1),E(0,0,2),F(1,0,1).
∴=(0,2,1),=(1,-2,0).
设平面BDF的一个法向量为
n=(2,a,b),
∵n⊥,n⊥,
∴
即
解得a=1,b=-2.∴n=(2,1,-2).
设AB与平面BDF所成的角为,则法向量n与的夹角为-,
∴cos(-)===,
即sin=,故AB与平面BDF所成角的正弦值为.
10.在五棱锥P—ABCDE中,PA=AB=AE=2a,PB=PE=2a,BC=DE=a,∠EAB=∠ABC=
∠DEA=90°
PA⊥平面ABCDE;
(2)求二面角A—PD—E的余弦值.
(1)证明以A点为坐标原点,以AB、AE、AP所在直线分别为x、y、z轴,建立空间直角坐标系A—xyz,则由已知得
A(0,0,0),P(0,0,2a),
B(2a,0,0),C(2a,a,0),
D(a,2a,0),E(0,2a,0).
∴=(0,0,2a),=(2a,0,0),=(0,2a,0),
=0·
2a+0·
0+2a·
0=0,
∴⊥.同理⊥.
又∵AB∩AE=A,∴PA⊥平面ABCDE.
(2)解设平面PAD的法向量为m=(1,y,z),
则m·
=0,得a+2ay=0,∴y=-.
又m·
=0,得2az=0,∴z=0.
∴m=(1,-,0).
再设平面PDE的法向量为n=(x,1,z),
而=(a,0,0),=(a,2a,-2a),
则n·
=0,得ax=0,∴x=0.
又n·
=0,得ax+2a-2az=0,∴z=1.
∴n=(0,1,1).
令二面角A—PD—E的平面角为,
则cos=-==,
故二面角A—PD—E的余弦值是.
11.如图所示,在三棱锥P—ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点O、D分别是AC、PC的中点,
OP⊥底面ABC.
(1)若k=1,试求异面直线PA与BD所成角余弦值的大小;
(2)当k取何值时,二面角O—PC—B的大小为?
解∵OP⊥平面ABC,又OA=OC,AB=BC,
从而OA⊥OB,OB⊥OP,OA⊥OP,
以O为原点,建立如图所示空间直角坐标系O—xyz.
(1)设AB=a,则PA=a,PO=a,
A(a,0,0),B(0,a,0),
C(-a,0,0),P(0,0,a),
则D(-a,0,a).
∵=(a,0,-a),=(-a,-a,a),
∴cos〈,〉===-,
则异面直线PA与BD所成角的余弦值的大小为.
(2)设AB=a,OP=h,∵OB⊥平面POC,
∴=(0,a,0)为平面POC的一个法向量.
不妨设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z),
∵A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P(0,0,h),
∴=(-a,-a,0),=(-a,0,-h),
由
不妨令x=1,则y=-1,z=-,
即n=(1,-1,-),则cos=
==2+=4h=a,
∴PA===a,
而AB=kPA,∴k=.
故当k=时,二面角O—PC—B的大小为.
12.(2008·
湛江模拟)如图所示,已知长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=4,
E是棱CC1上的点,且BE⊥B1C.
(1)求CE的长;
A1C⊥平面BED;
(3)求A1B与平面BDE所成角的正弦值.
(1)解如图所示,以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D—xyz.
∴D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),
C(0,2,0),A1(2,0,4),
B1(2,2,4),C1(0,2,4),D1(0,0,4).
设E点坐标为(0,2,t),则=(-2,0,t),=(-2,0,-4).
∵BE⊥B1C,
=4+0-4t=0.∴t=1,故CE=1.
(2)证明由
(1)得,E(0,2,1),=(-2,0,1),
又=(-2,2,-4),=(2,2,0),
=4+0-4=0,
且·
=-4+4+0=0.
∴⊥且⊥,即A1C⊥DB,A1C⊥BE,
又∵DB∩BE=B,∴A1C⊥平面BDE.
即A1C⊥平面BED.
(3)解由
(2)知=(-2,2,-4)是平面BDE的一个法向量.又=(0,2,-4),
∴cos〈,〉==.
∴A1B与平面BDE所成角的正弦值为.
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