江苏省常州市2015届高三第一学期期末调研测试数学试卷Word文档格式.doc
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(第16题)
如图,四棱锥的底面ABCD是平行四边形,平面PBD⊥平面ABCD,PB=PD,⊥,⊥,,分别是,的中点,连结.求证:
(1)∥平面;
(2)⊥平面.
17.(本小题满分14分)
某学校为了支持生物课程基地研究植物生长,计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室,在温室内划出三块全等的矩形区域,分别种植三种植物,相邻矩形区域之间间隔1m,三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道,左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道,如图.设矩形温室的室内长为(m),三块种植植物的矩形区域的总面积为(m2).
(1)求关于的函数关系式;
(2)求的最大值.
18.(本小题满分16分)
在平面直角坐标系中,已知椭圆:
的离心率,直线过椭圆的右焦点,且交椭圆于,两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知点,连结,过点作垂直于轴的直线,设直线与直线交于点,试探索当变化时,是否存在一条定直线,使得点恒在直线上?
若存在,请求出直线的方程;
若不存在,请说明理由.
19.(本小题满分16分)
已知数列(,)满足,其中,.
(1)当时,求关于的表达式,并求的取值范围;
(2)设集合.
①若,,求证:
;
②是否存在实数,,使,,都属于?
若存在,请求出实数,;
若不存在,请说明理由.
20.(本小题满分16分)
已知为实数,函数,函数.
(1)当时,令,求函数的极值;
(2)当时,令,是否存在实数,使得对于函数
定义域中的任意实数,均存在实数,有成立,若存在,求出实数的取值集合;
数学Ⅱ(附加题)2015年2月
(第21-A题)
21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4—1:
几何证明选讲
已知AB是圆O的直径,P是上半圆上的任意一
点,PC是的平分线,是下半圆的中点.
求证:
直线PC经过点.
B.选修4—2:
矩阵与变换
已知矩阵满足:
,其中是互不相等的实常数,
是非零的平面列向量,,,求矩阵.
C.选修4—4:
坐标系与参数方程
已知两个动点,分别在两条直线和上运动,且它们的横坐标分别为角的正弦,余弦,.记,求动点的轨迹的普通方程.
D.选修4—5:
不等式选讲
已知,证明:
.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
一位网民在网上光顾某淘宝小店,经过一番浏览后,对该店铺中的五种商品有购买意向.已知该网民购买两种商品的概率均为,购买两种商品的概率均为,购买种商品的概率为.假设该网民是否购买这五种商品相互独立.
(1)求该网民至少购买4种商品的概率;
(2)用随机变量表示该网民购买商品的种数,求的概率分布和数学期望.
23.(本小题满分10分)
设个正数满足(且).
(1)当时,证明:
(2)当时,不等式也成立,请你将其推广到(且)个正数的情形,归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明.
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参考答案及评分标准
本大题共14小题,每小题5分,共70分
1.2.3.84.5.6.1277.
8.19.10.11.12.13.14.
本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.解:
(1)因为,,
所以.………………………2分
又由正弦定理,得,,,
化简得,.………………………5分
(2)因为,所以.
所以.………………………8分
(3)因为,
所以.……………………10分
因为,
所以.
………………………12分
因为,,所以.
所以△ABC的面积.………………………14分
16.证明:
(1)连结AC,
因为ABCD是平行四边形,所以O为的中点.………………………2分
在△中,因为,分别是,的中点,
所以∥.………………………4分
因为平面,平面,
所以∥平面.………………………6分
(2)连结.因为是的中点,PB=PD,
所以PO⊥BD.
又因为平面PBD⊥平面ABCD,平面平
面=,平面
所以⊥平面.
从而⊥.……………………8分
又因为⊥,,平面,平面,
所以⊥平面.
因为平面,所以⊥.………………………10分
因为⊥,∥,所以⊥.………………………12分
又因为平面,平面,,
所以⊥平面.………………………14分
17.解:
(1)由题设,得
,.………………………6分
(2)因为,所以,……………………8分
当且仅当时等号成立.………………………10分
从而.………………………12分
答:
当矩形温室的室内长为60m时,三块种植植物的矩形区域的总面积最大,最大为m2.………………………14分
18.解:
(1)由题设,得解得从而,
所以椭圆的标准方程为.………………………4分
(2)令,则,或者,.
当,时,;
当,时,,
所以,满足题意的定直线只能是.………………………6分
下面证明点恒在直线上.
设,,由于垂直于轴,所以点的纵坐标为,从而只要证明在直线上.………………………8分
由得,
,
,.①………………………10分
∵
,………………………13分
①式代入上式,得,所以.………………………15分
∴点恒在直线上,从而直线、直线与直线三线恒过同一点
,所以存在一条定直线:
使得点恒在直线上.………………16分
19.解:
(1)当时,
,,.………………………2分
因为,,或,
所以.………………………4分
(2)①由题意,,.……………6分
令,得.
因为,,
所以令,则.………………………8分
②不存在实数,,使,,同时属于.………………………9分
假设存在实数,,使,,同时属于.
,∴,
从而.………………………11分
因为,,同时属于,所以存在三个不同的整数(),
使得从而
则.………………………13分
因为与互质,且与为整数,
所以,但,矛盾.
所以不存在实数,,使,,都属于.………………………16分
20.解:
(1),
,令,得.………………………1分
列表:
x
+
↘
极小值
↗
所以的极小值为,无极大值.………………………4分
(2)当时,假设存在实数满足条件,则在上恒成立.………………………5分
1)当时,可化为,
令,问题转化为:
对任意恒成立;
(*)
则,,.
令,则.
①时,因为,
故,所以函数在时单调递减,,
即,从而函数在时单调递增,故,所以(*)
成立,满足题意;
………………………7分
②当时,,
因为,所以,记,则当时,,
故,所以函数在时单调递增,,
即,从而函数在时单调递减,所以,此时(*)不成立;
所以当,恒成立时,;
………………9分
2)当时,可化为,
对任意的恒成立;
(**)
①时,,
即,从而函数在时单调递增,所以,此时(**)成立;
11分
②当时,
ⅰ)若,必有,故函数在上单调递减,所以,即,从而函数在时单调递减,所以,此时(**)不成立;
………………………13分
ⅱ)若,则,所以当时,
故函数在上单调递减,,即,所以函数在时单调递减,所以,此时(**)不成立;
所以当,恒成立时,;
………………15分
综上所述,当,恒成立时,,从而实数的取值集合为.………………………16分
高三数学Ⅱ(附加题)参考答案
21、【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题,每小题10分,共计20分.
证明:
连结,则.………………………2分
因为是圆周角,同弧上的圆心角,
所以.………………………5分
同理可得,,所以是的平分线.………………………8分
又PC也是的平分线,的平分线有且只有一条,所以PC与重合.
所以直线PC经过点.………………………10分
矩阵与变换
解:
由题意,,是方程的两根.
因为,所以.①………………………2分
又因为,所以,从而………………………5分
所以.
因为,所以.从而.………………………8分
故矩阵.………………………10分
坐标系与参数方程
设,则………………………2分
两式平方相加得.………………………5分
又
所以,.………………………8分
所以动点轨迹的普通方程为().………………………10分
证明:
因为
所以,………………………4分
,………………………8分
所以.………………………10分
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.
22.解:
(1)记“该网民购买i种商品”为事件,则:
……………2分
所以该网民至少购买4种商品的概率为.
答:
该网民至少购买4种商品的概率为.………………………3分
(2)随机变量的可能取值为,
.………………………8分
所以:
随机变量的概率分布为:
1
2
3
4
5
故.………………………10分
23.解:
(1)证明:
因为(且)均为正实数,
左—右=
=0,
所以,原不等式成立.………………………4分
(2)归纳的不等式为:
(且).…5分
记,
当()时,由
(1)知,不等式成立;
假设当(且)时,不等式成立,即
.
则当时,
=…………………………7分
=
=,
因为,,,
所以,
所以当,不等式成立.…………………………9分
综上所述,不等式(且)成立.…10分
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