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∴tan===-2.
(2)原式=1-(sinα+sinβ)+sinαsinβ-
=1-2sincos+sinαsinβ-
=sinαsinβ+
=sinαsinβ-sinαsinβ
=0.
1.解决给值求值问题的方法及思路
(1)给值求值问题,其关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异,经过适当变换已知式或变换欲求式解题.
(2)给值求值的重要思想是建立已知式与欲求式之间的联系,应注意“配角”方法的应用.
2.三角函数化简的思路及原则:
(1)在应用和差化积公式时,必须是一次同名三角函数方可施行,若是异名,必须用诱导公式化为同名;
若是高次函数,必须用降幂公式降为一次.
(2)根据实际问题选用公式时,应从以下几个方面加以考虑:
①运用公式之后能否出现特殊角;
②运用公式之后能否进行提取公因式,能否约分,能否合并或消项;
③运用公式之后能否使三角函数式结构更加简单,各种关系更加明显,从而为下一步选用公式进行变换创造条件.
(3)对于三角函数的和差化积,有时因为使用公式不同,或选择题的思路不同,化积结果可能不一致.
[再练一题]
1.
(1)已知sinα=,cosα=,则tan等于( )
A.2- B.2+
C.-2 D.±
(-2)
(2)化简(-π<
α<
0).
(1)因为sinα=>
0,cosα=>
所以α的终边落在第一象限,的终边落在第一、三象限.
所以tan>
0,故tan=
==-2.
【答案】 C
(2)原式=
=
==.
因为-π<
0,所以-<
所以sin<
所以原式==cosα.
三角恒等式的证明
(1)求证:
1+2cos2θ-cos2θ=2;
(2)求证:
=.
(1)可由左向右证:
先把左边cos2θ降幂化为同角后整理可证.
(2)可先从左边表达式分母中升幂缩角入手,再通过改变函数结构向右边转化.
(1)左边=1+2cos2θ-cos2θ=1+2×
-cos2θ=2=右边.
所以原等式成立.
(2)左边=
==
====右边.
三角恒等式证明的五种常用方法:
(1)执因索果法:
证明的形式一般化繁为简.
(2)左右归一法:
证明左右两边都等于同一个式子.
(3)拼凑法:
针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异求同.
(4)比较法:
设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”.
(5)分析法:
从被证明的等式出发,逐步探求使等式成立的条件,一直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立.
2.已知0<
,0<
β<
,且3sinβ=sin(2α+β),4tan=1-tan2,求证:
α+β=.
证明:
∵3sinβ=sin(2α+β),
即3sin(α+β-α)=sin(α+β+α),
∴3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα
=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα,
∴2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα,
∴tan(α+β)=2tanα.
又∵4tan=1-tan2,
∴tanα==,
∴tan(α+β)=2tanα=1,
∵α+β∈,∴α+β=.
三角函数在实际问题中的应用
如图3-2-1所示,要把半径为R的半圆形木料截成长方形,应怎样截取,才能使△OAB的周长最大?
图3-2-1
→→
设∠AOB=α,△OAB的周长为l,则AB=Rsinα,OB=Rcosα,
∴l=OA+AB+OB
=R+Rsinα+Rcosα
=R(sinα+cosα)+R
=Rsin+R.
∵0<
,∴<
α+<
.
∴l的最大值为R+R=(+1)R,此时,α+=,即α=,
即当α=时,△OAB的周长最大.
1.解答此类问题,关键是合理引入辅助角α,确定各量之间的关系,将实际问题转化为三角函数问题,再利用三角函数的有关知识求解.
2.在求解过程中,要注意三点:
(1)充分借助平面几何性质,寻找数量关系;
(2)注意实际问题中变量(角α)的范围;
(3)重视三角函数有界性的影响.
3.有一块以O为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地,使其一边AD落在圆的直径上,另外两点B,C落在半圆的圆周上,已知半圆的半径长为a,如何选择关于点O对称的点A,D的位置,可以使矩形ABCD的面积最大?
如图所示,设∠AOB=θ,则AB=asinθ,OA=acosθ.
设矩形ABCD的面积为S,则S=2OA·
AB,
∴S=2acosθ·
asinθ=a2·
2sinθcosθ=a2sin2θ.
∵θ∈,∴2θ∈(0,π).
因此,当2θ=,
即θ=时,Smax=a2.
这时点A、D距离O的距离为a,
矩形ABCD的面积最大值为a2.
三角恒等变换与三角函数图象性质的综合
探究1 如何求函数y=sin+2sin2(x∈R)的最小正周期?
【提示】 y=sin+1-cos
=sin+1=sin+1,
所以函数的最小正周期T=π.
探究2 研究形如f(x)=asin2ωx+bsinωxcosωx+ccos2ωx的性质时应首先把函数f(x)化简成什么形式再解答?
【提示】 研究形如f(x)=asin2ωx+bsinωxcosωx+ccos2ωx的性质时,先化成f(x)=sin(ωx+φ)+c的形式再解答.
已知函数f(x)=4cosωx·
sin(ω>
0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)讨论f(x)在区间上的单调性.
利用三角公式化简函数式,写为f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式,再讨论函数的性质.
(1)f(x)=4cosωx·
sin
=2sinωx·
cosωx+2cos2ωx
=(sin2ωx+cos2ωx)+
=2sin+.
因为f(x)的最小正周期为π,且ω>
0,从而有=π,故ω=1.
(2)由
(1)知,f(x)=2sin+.
若0≤x≤,则≤2x+≤.
当≤2x+≤,
即0≤x≤时,f(x)单调递增;
当<
2x+≤,
即<
x≤时,f(x)单调递减.
综上可知,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.
三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略:
运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asinωx+bcosωx+k的形式,借助辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)+k(或y=Acos(ωx+φ)+k)的形式,将ωx+φ看作一个整体研究函数的性质.
4.已知函数f(x)=-sin+6sinxcosx-2cos2x+1,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
(1)f(x)=-sin2x-cos2x+3sin2x-cos2x
=2sin2x-2cos2x
=2sin.
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)由
(1)知f(x)=2sin,
由于x∈,所以2x-∈,
则sin∈.
所以f(x)在上的最大值为2,最小值为-2.
[构建·
体系]
1.若cosα=,α∈(0,π),则cos的值为( )
A. B.-
C. D.-
由题意知∈,∴cos>
cos==.
2.已知cosα=,α∈,则sin等于( )
A. B.-
C. D.
由题知∈,∴sin>
0,sin==.
【答案】 A
3.已知sinα-cosα=-,则sin2α的值等于( )
C.- D.
由sinα-cosα=-,
(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1-sin2α=,所以sin2α=-.
4.(2014·
山东高考)函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为________.
∵y=sin2x+cos2x=sin2x+cos2x+=sin+,∴函数的最小正周期T==π.
【答案】 π
5.化简.
==1.
学业分层测评
一、选择题
1.若函数f(x)=-sin2x+(x∈R),则f(x)是( )
A.最小正周期为的奇函数
B.最小正周期为π的奇函数
C.最小正周期为2π的偶函数
D.最小正周期为π的偶函数
f(x)=-+=cos2x.故选D.
【答案】 D
2.(2016·
邢台期末)若sin(π-α)=-且α∈,则sin等于( )
A.- B.-
由题意知sinα=-,α∈,
∴cosα=-,
∵∈,
∴sin=cos
=-=-.故选B.
【答案】 B
3.(2016·
鹤岗一中期末)设a=cos7°
+sin7°
,b=,c=,则有( )
A.b>
a>
c B.a>
b>
c
C.a>
c>
b D.c>
a
a=sin37°
,b=tan38°
,c=sin36°
,由于tan38°
>
sin38°
sin37°
sin36°
,所以b>
c.故选A.
4.若sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=0,则sin(α+2β)+sin(α-2β)等于( )
A.1 B.-1
C.0 D.±
1
∵sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ
=sin(α+β-β)=sinα=0,
∴sin(α+2β)+sin(α-2β)
=2sinαcos2β=0.
5.若函数f(x)=(1+tanx)cosx,0≤x<
,则f(x)的最大值是( )
A.1 B.2
C.+1 D.+2
f(x)=(1+tanx)cosx
=cosx=sinx+cosx
∵0≤x<
,
∴≤x+<
π,
∴当x+=时,
f(x)取到最大值2.
二、填空题
6.若θ是第二象限角,且25sin2θ+sinθ-24=0,则cos=________.
由25sin2θ+sinθ-24=0,
又θ是第二象限角,
得sinθ=或sinθ=-1(舍去).
故cosθ=-=-,
由cos2=得cos2=.
又是第一、三象限角,
所以cos=±
【答案】 ±
7.(2016·
重庆一中期末)-=________.
原式=
==4.
【答案】 4
三、解答题
8.(2015·
广东高考)已知tanα=2.
(1)求tan的值;
(2)求的值.
(1)tan===-3.
(2)
===1.
9.设函数f(x)=2cos2ωx+sin+a(其中ω>
0,a∈R),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.
(2)设f(x)在区间上的最小值为,求a的值.
f(x)=1+cos2ωx+sin2ωx-cos2ωx+a=sin+a+1.
(1)由2ωx+=2kπ+(k∈Z),
得ωx=kπ+(k∈Z).
又ω>
∴当k=0时,f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为x==,故ω=1.
(2)由
(1)知f(x)=sin+a+1,
由≤x≤,得≤2x≤π,≤2x+≤,
∴当2x+=,即x=时,
f(x)取得最小值为+a+1.
由+a+1=,得a=-.
[能力提升]
1.(2016·
临沂高一检测)已知450°
540°
,则的值是( )
A.-sin B.cos
C.sin D.-cos
因为450°
所以225°
所以cosα<
0,sin<
0.
所以原式=
===-sin.故选A.
泉州质检)已知函数f(x)=2cos2,g(x)=.
(1)求证:
f=g(x);
(2)求函数h(x)=f(x)-g(x)(x∈[0,π])的单调区间,并求使h(x)取到最小值时x的值.
(1)证明:
f(x)=2cos2=1+cosx,
g(x)=
=1+2sincos
=1+sinx,
∵f=1+cos=1+sinx,
∴f=g(x),命题得证.
(2)函数h(x)=f(x)-g(x)=cosx-sinx
=cos,
∵x∈[0,π],
∴≤x+≤,
当≤x+≤π,即0≤x≤时,h(x)递减,
当π≤x+≤,即≤x≤π时,h(x)递增.
∴函数h(x)的单调递减区间为,
单调递增区间为,
根据函数h(x)的单调性,可知当x=时,
函数h(x)取到最小值.
小结
①cosαcosβ+sinαsinβ
②sinαcosβ-cosαsinβ
③
④cosαcosβ-sinαsinβ
⑤sinαcosβ+cosαsinβ
⑥
⑦cos2α-sin2α
⑧2cos2α-1
⑨1-2sin2α
⑩2sinαcosα
⑪
给值求值问题
给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角”.使其角相同或具有某种关系,解题的基本方法是:
①将待求式用已知三角函数表示.②将已知条件转化而推出可用的结论.其中“凑角法”是解决此类问题的常用技巧.解题时首先是分析已知式与待求式之间角、函数、结构间的差异,有目的的将已知式、待求式的一方或两方加以变换,找出它们之间的联系,最后求出待求式的值.
已知<
π,tanα+=-.
(1)求tanα的值;
(1)结合α的取值范围,求解tanα的值;
(2)利用降幂公式和诱导公式先统一角,通过三角变换转化成关于tanα的式子代入求值即可.
(1)由tanα+=-,得3tan2α+10tanα+3=0,即tanα=-3或tanα=-.
又<
π,所以tanα=-.
(2)原式==
===-.
1.已知sin(α+β)=,sin(α-β)=-,求的值.
由sin(α+β)=,得
sinαcosβ+cosαsinβ=,①
由sin(α-β)=-,得
sinαcosβ-cosαsinβ=-,②
①+②得:
sinαcosβ=,
①-②得:
cosαsinβ=,
===.
三角函数式的化简与证明
三角函数式的化简是三角变换应用的一个重要方面,其基本思想方法是统一角、统一三角函数的名称.在具体实施过程中,应着重抓住“角”的统一.通过观察角、函数名、项的次数等,找到突破口,利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简.
三角函数式的证明实质上也是化简,是有方向目标的化简;
根本原则:
由繁到简,消除两端差异,达到证明目的.
证明:
=tanθ.
可从左边向右边证明,先把角由2θ向θ转化,再实现函数名称向tanθ转化.
解法一:
左边=
=tanθ=右边.
解法二:
解法三:
==tanθ
=右边.
2.求证tan-tan=.
==-=tan-tan.
三角恒等变形的综合应用
与三角恒等变形有关的综合问题一般有以下两种类型:
(1)以三角恒等变形为主要的化简手段,考查三角函数的性质.当给出的三角函数关系式较为复杂,我们要先通过三角恒等变换,将三角函数的表达式变形化简,将函数表达式变形为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k等形式,然后再根据化简后的三角函数,讨论其图象和性质.
(2)以向量运算为载体,考查三角恒等变形.这类问题往往利用向量的知识和公式,通过向量的运算,将向量条件转化为三角条件,然后通过三角变换解决问题;
有时还从三角与向量的关联点处设置问题,把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查.
(2016·
宁德质检)已知向量a=(1,-),b=(sinx,cosx),f(x)=a·
b.
(1)若f(θ)=0,求的值;
(2)当x∈[0,π]时,求函数f(x)的值域.
(1)可先由f(θ)=0求tanθ,再化简后,由tanθ值代入求值;
(2)先化简得f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,再据x范围求ωx+φ范围,进而求得f(x)的值域.
(1)∵a=(1,-),
b=(sinx,cosx),
∴f(x)=a·
b=sinx-cosx,
∵f(θ)=0,即sinθ-cosθ=0,
∴tanθ=,
∴
=-2+.
(2)f(x)=sinx-cosx=2sin,
∵x∈[0,π],∴x-∈,
当x-=-,即x=0时,f(x)min=-,
当x-=,即x=时,f(x)max=2,
∴当x∈[0,π]时,函数f(x)的值域为[-,2].
3.已知向量m=(sinA,cosA),n=(,-1),且m·
n=1,且A为锐角.
(1)求角A的大小;
(2)求函数f(x)=cos2x+4cosAsinx(x∈R)的值域.
(1)由题意得m·
n=sinA-cosA=1,
2sin=1,sin=.
由A为锐角得A-=,A=.
(2)由
(1)知cosA=.
所以f(x)=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx
因为x∈R,所以sinx∈[-1,1],因此,
当sinx=时,f(x)有最大值,
当sinx=-1时,f(x)有最小值-3,
所以所求函数f(x)的值域为.
转化与化归的思想
三角式的恒等变换是解三角函数问题的方法基础,所谓三角式的恒等变换,就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式.转化与化归的思想是三角恒等变换应用最广泛的,也是最基本的数学思想,它贯穿于三角恒等变换的始终,要认真体会理解,在解题过程中学会灵活应用.
已知sin=,cos=-,且α-和-β分别为第二、第三象限角,求tan的值.
先根据α-,-β的范围求得其正、余弦再求正切值,最后由=-求解.
【规范解答】 ∵sin=,且α-为第二象限角,
∴cos=-=-.
又cos=-,且-β为第三象限角,
∴sin=-=-.
∴tan=-,tan=,
∴tan=tan
==-.
4.(2016·
来安中学期末)已知sinα-cosα=-,α∈,sin=,β∈.
(1)求sinα和cosα的值;
(2)求cos的值.
(1)由题意得(sinα-cosα)2=,
即1-sin2α=,
∴sin2α=.又2α∈,
∴cos2α==,
∴cos2α==,
∵α∈,∴cosα==,
sinα==.
(2)∵β∈,β-∈,
∴cos=,
cos
=cos
=cosαcos+sinαsin
=×
+×
1.(2015·
全国卷Ⅰ)sin20°
cos10°
-cos160°
sin10°
=( )
A.- B.
sin20°
=sin20°
·
+cos20°
=sin(20°
+10°
)=sin30°
=,故选D.
2.(2015·
四川高考)sin15°
+sin75°
的值是________.
sin15°
=sin15°
+cos15°
=(sin15°
cos45°
sin45°
)
=sin60°
【答案】
3.(2015·
浙江高考)函数f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是________,单调递减区间是________.
∵f(x)=sin2x+sinxcosx+1=+sin2x+1=sin2x-cos2x+=sin+,∴函数f(x)的最小正周期T=π.令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解之可得函数f(x)的单调递减区间为
(k∈Z).
【答案】 π (k∈Z)
4.(2015·
天津高考)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>
0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为________.
f(x)=sinωx+cosωx
=sin,
因为f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线x=ω对称,
所以f(ω)必为一个周期上的最大值,所以有ω·
ω+=2kπ+,k∈Z,所以ω2=+2kπ,k∈Z.
又ω-(-ω)≤,即ω2≤,所以ω2=,
所以ω=.
5.(2015·
重庆高考)已知函数f(x)=sin2x-cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值;
(2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象.当x∈时,求g(x)的值域.
(1)f(x)=sin2x-cos2x
=sin2x-(1+cos2x)
=sin2x-cos2x-
=sin-,
因此f(x)的最小正周期为π,最小值为-.
(2)由条件可知
g(x)=sin-.
当x∈时,
有x-∈,
从而y=sin的值域为,
那么y=sin-
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