高考真题文科数学汇编5数列文档格式.doc
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现有定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数:
①f(x)=x²
;
②f(x)=2x;
③;
④f(x)=ln|x|。
则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为
A.①②B.③④C.①③D.②④
【答案】C
6.【2012高考四川文12】设函数,数列是公差不为0的等差数列,,则()
A、0B、7C、14D、21
【答案】D.
[解析]∵是公差不为0的等差数列,且
∴
[点评]本小题考查的知识点较为综合,既考查了高次函数的性质又考查了等差数列性质的应用,解决此类问题必须要敢于尝试,并需要认真观察其特点.
7.【2102高考福建文11】数列{an}的通项公式,其前n项和为Sn,则S2012等于
A.1006B.2012C.503D.0
【答案】A.
考点:
数列和三角函数的周期性。
难度:
中。
分析:
本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和,所以先要找出周期,然后分组计算和。
解答:
,
,
,
所以。
即。
8.【2102高考北京文6】已知为等比数列,下面结论种正确的是
(A)a1+a3≥2a2(B)(C)若a1=a3,则a1=a2(D)若a3>a1,则a4>a2
【解析】当时,可知,所以A选项错误;
当时,C选项错误;
当时,,与D选项矛盾。
因此根据均值定理可知B选项正确。
【考点定位】本小题主要考查的是等比数列的基本概念,其中还涉及了均值不等式的知识,如果对于等比数列的基本概念(公比的符号问题)理解不清,也容易错选,当然最好选择题用排除法来做。
9.【2102高考北京文8】某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高,m的值为
(A)5(B)7(C)9(D)11
【答案】C
【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快,超过平均值,所以应该加入,因此选C。
【考点定位】本小题知识点考查很灵活,要根据图像识别看出变化趋势,判断变化速度可以用导数来解,当然此题若利用数学估计过于复杂,最好从感觉出发,由于目的是使平均产量最高,就需要随着的增大,变化超过平均值的加入,随着增大,变化不足平均值,故舍去。
二、填空题
10.【2012高考重庆文11】首项为1,公比为2的等比数列的前4项和
【答案】15
【解析】:
【考点定位】本题考查等比数列的前n项和公式
11.【2012高考新课标文14】等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比q=_______
【答案】
【命题意图】本题主要考查等比数列n项和公式,是简单题.
【解析】当=1时,=,=,由S3+3S2=0得,=0,∴=0与{}是等比数列矛盾,故≠1,由S3+3S2=0得,,解得=-2.
12.【2012高考江西文13】等比数列{an}的前n项和为Sn,公比不为1。
若a1=1,且对任意的都有an+2+an+1-2an=0,则S5=_________________。
【答案】11
【解析】由已知可得公比q=-2,则a1=1可得S5。
13.【2012高考上海文7】有一列正方体,棱长组成以1为首项、为公比的等比数列,体积分别记为,则
【答案】。
【解析】由正方体的棱长组成以为首项,为公比的等比数列,可知它们的体积则组成了一个以1为首项,为公比的等比数列,因此,.
【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.
14.【2012高考上海文14】已知,各项均为正数的数列满足,,若,则的值是
【解析】据题,并且,得到,,,,得到,解得(负值舍去).依次往前推得到
.
【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件是解决问题的关键,本题综合性强,运算量较大,属于中高档试题.
15.【2012高考辽宁文14】已知等比数列{an}为递增数列.若a1>
0,且2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的公比q=_____________________.
【答案】2
【命题意图】本题主要考查等比数列的通项公式,转化思想和逻辑推理能力,属于中档题。
因为数列为递增数列,且
16.【2102高考北京文10】已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若,S2=a3,则a2=______,Sn=_______。
【答案】,
【解析】,所以,。
【考点定位】本小题主要考查等差数列的基本运算,考查通项公式和前项和公式的计算。
17.【2012高考广东文10】若等比数列满足,则.
三、解答题
18.【2012高考浙江文19】
(本题满分14分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=,n∈N﹡,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N﹡.
(1)求an,bn;
(2)求数列{an·
bn}的前n项和Tn.
【命题意图】本题主要考查等比数列、等差数列的概念,通项公式以及求和公式等基础知识,同时考查了学生的综合分析问题能力和运算求解能力。
(1)由Sn=,得
当n=1时,;
当n2时,,n∈N﹡.
由an=4log2bn+3,得,n∈N﹡.
(2)由
(1)知,n∈N﹡
所以,
,n∈N﹡.
19.【2012高考江苏20】
(16分)已知各项均为正数的两个数列和满足:
,,
(1)设,,求证:
数列是等差数列;
(2)设,,且是等比数列,求和的值.
【答案】解:
(1)∵,∴。
∴。
∴。
∴数列是以1为公差的等差数列。
(2)∵,∴。
∴。
(﹡)
设等比数列的公比为,由知,下面用反证法证明
若则,∴当时,,与(﹡)矛盾。
∴综上所述,。
∴,∴。
又∵,∴是公比是的等比数列。
若,则,于是。
又由即,得。
∴中至少有两项相同,与矛盾。
∴。
∴。
∴。
【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法。
(1)根据题设和,求出,从而证明而得证。
(2)根据基本不等式得到,用反证法证明等比数列的公比。
从而得到的结论,再由知是公比是的等比数列。
最后用反证法求出。
20.【2012高考四川文20】
(本小题满分12分)
已知数列的前项和为,常数,且对一切正整数都成立。
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,,当为何值时,数列的前项和最大?
[解析]取n=1,得
若a1=0,则s1=0,当n
若a1,当n
上述两个式子相减得:
an=2an-1,所以数列{an}是等比数列
综上,若a1=0,
若a1…………………………………………7分
(2)当a1>
0,且
所以,{bn}单调递减的等差数列(公差为-lg2)
则b1>
b2>
b3>
…>
b6=
当n≥7时,bn≤b7=
故数列{lg}的前6项的和最大.…………………………12分
[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查.第一,知识层面:
考查等差数列、等比数列、对数等基础知识;
第二,能力层面:
考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力;
第三,数学思想:
考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.
21.【2012高考湖南文20】
(本小题满分13分)
某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.
(Ⅰ)用d表示a1,a2,并写出与an的关系式;
(Ⅱ)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).
(Ⅰ)由题意得,
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
整理得
由题意,
解得.
故该企业每年上缴资金的值为缴时,经过年企业的剩余资金为4000元.
【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用,考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型,得出与an的关系式,第二问,只要把第一问中的迭代,即可以解决.
22.【2012高考重庆文16】
(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分))
已知为等差数列,且(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)记的前项和为,若成等比数列,求正整数的值。
【解析】
(Ⅰ)设数列的公差为d,由题意知解得
所以
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得因成等比数列,所以从而,即
解得或(舍去),因此。
23.【2012高考陕西文16】已知等比数列的公比为q=-.
(1)若=,求数列的前n项和;
(Ⅱ)证明:
对任意,,,成等差数列。
【答案】:
(Ⅰ)(Ⅱ)
:
24.【2012高考湖北文20】
已知等差数列前三项的和为,前三项的积为.
(Ⅰ)求等差数列的通项公式;
(Ⅱ)若,,成等比数列,求数列的前项和.
解:
(Ⅰ)设等差数列的公差为,则,,
由题意得解得或
所以由等差数列通项公式可得
,或.
故,或.
(Ⅱ)当时,,,分别为,,,不成等比数列;
当时,,,分别为,,,成等比数列,满足条件.
故
记数列的前项和为.
当时,;
当时,
.当时,满足此式.
综上,
【解析】本题考查等差数列的通项,求和,分段函数的应用等;
考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式求解;
有时需要利用等差数列的定义:
(为常数)或等比数列的定义:
(为常数,)来判断该数列是等差数列或等比数列,然后再求解通项;
有些数列本身不是等差数列或等比数列,但它含有无数项却是等差数列或等比数列,这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质.
25.【2012高考天津文科18】(本题满分13分)
已知{}是等差数列,其前项和为,{}是等比数列,且==2,,-=10
(I)求数列{}与{}的通项公式;
(II)记=+,(n,n>
2)。
(Ⅰ)设数列的公差为,数列的公比为;
则
得:
(Ⅱ)
当时,
26.【2012高考山东文20】(本小题满分12分)
已知等差数列的前5项和为105,且.
(Ⅱ)对任意,将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.
【答案】(I)由已知得:
解得,
所以通项公式为.
(II)由,得,
即.
∵,
∴是公比为49的等比数列,
∴.
27.【2012高考全国文18】
(本小题满分12分) (注意:
在试题卷上作答无效)
已知数列中,,前项和。
(Ⅰ)求,;
(Ⅱ)求的通项公式。
【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式与数列求和相结合的综合运用。
(1)由与可得
故所求的值分别为。
(2)当时,①②
①-②可得即
故有
而,所以的通项公式为
【点评】试题出题比较直接,没有什么隐含的条件,只要充分发挥利用通项公式和前项和的关系式变形就可以得到结论。
28.【2012高考安徽文21】
设函数=+的所有正的极小值点从小到大排成的数列为.
(Ⅱ)设的前项和为,求。
(I),
得:
当时,取极小值,
。
(II)由(I)得:
当时,,
当时,,
当时,。
29.【2012高考上海文23】
(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分
对于项数为的有穷数列,记(),即为中的最大值,并称数列是的控制数列,如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5
(1)若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的
(2)设是的控制数列,满足(为常数,),求证:
()
(3)设,常数,若,是的控制数列,求
[解]
(1)数列为:
2,3,4,5,1;
2,3,4,5,2;
2,3,4,5,3;
2,3,4,5,4;
2,3,4,5,5.……4分
(2)因为,,
所以.……6分
因为,,
所以,即.……8分
因此,.……10分
(3)对,;
;
比较大小,可得.……12分
因为,所以,即;
,即.
又,
从而,,,.……15分
因此
=
===.……18分
【点评】本题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质等基础知识,本题属于信息给予题,通过定义“控制”数列,考查考生分析探究及推理论证的能力.综合考查数列的基本运算,数列问题一直是近几年的命题重点内容,应引起足够的重视.
30.【2012高考广东文19】
(本小题满分14分)
设数列前项和为,数列的前项和为,满足,.
(1)求的值;
(2)求数列的通项公式.
(1)当时,。
因为,所以,求得。
(2)当时,,
所以①
所以②
②①得,
所以,即,
求得,,则。
所以是以3为首项,2为公比的等比数列,
所以,
所以,。
31.【2102高考福建文17】
(本小题满分12分)
在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=1,b4=8,{an}的前10项和S10=55.
(Ⅰ)求an和bn;
(Ⅱ)现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项的值相等的概率。
等差数列,等比数列,古典概型。
易。
本题考查的知识点为演绎推理,等差等比数列的定义和通项公式,前项和公式和古典概型,直接应用。
(Ⅰ)设等差数列的公差为,等比数列的公比为
则
得:
(Ⅱ),各随机抽取一项写出相应的基本事件有
共个
符合题意有共个
这两项的值相等的概率为
32.【2012高考江西文17】
已知数列|an|的前n项和(其中c,k为常数),且a2=4,a6=8a3
(1)求an;
(2)求数列{nan}的前n项和Tn。
【答案】
(1)当时,
则
,∴c=2.∵a2=4,即,解得k=2,∴(n)1)
当n=1时,
综上所述
(2),则
(1)-
(2)得
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