第七章--数列Word格式文档下载.doc
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A. B. C. D.2
(3)
【2015高考安徽文】已知数列中,,(),则数列的前9项和等于.
练习1
(1)等差数列中,首项公差,若,则
(2)已知为等差数列的前项的和,,,则的值为( )
A.6B.C.D.
【2015高考北京理】设是等差数列.下列结论中正确的是()
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
(4)
【2015高考新课标1文】已知是公差为1的等差数列,为的前项和,若,则()
(A)(B)(C)(D)
题型二等差数列性质的应用
例2.
(1)若等差数列满足,,则当________时,的前项和最大.
(2)
【2015高考陕西文】中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为________
(3)在等差数列中,,公差为,前项和为,当且仅当时取最大值,则的取值范围_________.
(4)等差数列的前项和为,已知,则的最小值为________.
练习2.
(1)设等差数列的前n项和为,若,则( )
A.12 B.18C.24 D.30
(2)已知等差数列的前项和为,若,且,,则等于( )
A.10 B.19 C.20 D.39
(3)下面是关于公差的等差数列的四个命题:
其中的真命题为()
(A)(B)(C)(D)
(4)设等差数列的公差为d,若数列为递减数列,则()
A.B.C.D.
(5)等差数列共有项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则其中间项为__________
题型三等差数列的判定或证明
例4.
(1)已知正数数列中,,,则________________
(2)已知数列中,,,则________________
(3)设实数a≠0,函数有最小值-1.
(I)求a的值;
(II)设数列的前n项和,令,
证明:
数列是等差数列.
练习4.数列中,前项和,,,….
(I)证明数列是等差数列;
(II)求关于的表达式;
※课后练习
1.等差数列-6,-1,4,9,……中的第20项为()
A、89B、-101C、101D、-89
2.在-9与3之间插入n个数,使这n+2个数组成和为-21的等差数列,则n为
A、4B5C、6D、不存在
3.在等差数列中,若,则的值等于()
A.45B.75C.180D.300
4.若成等差数列,则x的值等于()
A.0B.C.32D.0或32
5.在等差数列中,则的值为()
A.84B.72C.60.D.48
6.在等差数列中,前15项的和,为()
A.6B.3C.12D.4
7.等差数列中,,则此数列前20项的和等于
A.160B.180C.200D.220
第二讲等比数列
1.定义:
如果一个数列从第二项起每一项与它前一项的比值是同一个常数,这个数列就叫做等比数列。
即(,为常数,且)为等比数列
或为常数,且成等比数列
2.通项公式:
3.前项和
4.性质:
(1)与的等比中项()
(2)若则
特别地,若则
(3)等比数列的前项和为(),则,,,等比数列,公比为
5.判定方法:
(1)定义法:
(,是常数)是等比数列;
(2)中项法:
()且是等比数列.
(3)通项公式法:
为常数为等比数列;
(4)前项和法:
为常数为等比数列。
题型一等比数列的基本计算
例1.
(1)求下列等比数列的首项,公比,通项
①1,3,9,…,2187②
(2)已知,且成等比数列,则的值等于()
A.12B.6C.12或6D.9
(3)已知等比数列的前三项依次为,,,则()
A.B.C.D.
练习1.
(1)已知数列满足,则的前10项和等于
(A)(B)(C)(D)
(2)已知等比数列为递增数列,且,则数列的通项公
式______________.
【2015高考广东文】若三个正数,,成等比数列,其中,,则.
【2015高考新课标1文】数列中为的前n项和,若,则.
题型二等比数列的性质
例2.
(1)在等比数列,已知,,求=_____________.
(2)已知是等比数列,且,,那么________.
(3)在等比数列中,,求该数列前七项之积是_____________.
(4)在正项等比数列中,,,则满足的最大正整数的值为_____________.
(5)已知为等比数列前项和,,,则.
练习2.
(1)若等比数列的各项均为正数,且,则。
(2)已知数列{}为等比数列,是它的前n项和,若,且与的等差中项为,则=()
w_w*w.k_s_5u.c*o*m
A.35B.33C.31D.29
【2015高考浙江文】已知是等差数列,公差不为零.若,,成等比数列,且,则,.
【2015高考天津文】已知是各项均为正数的等比数列,是等差数列,且,.
(I)求和的通项公式;
(II)设,求数列的前n项和.
题型三:
等比数列的判定与证明
例3.
(1)已知数列的首项,,….
证明:
数列是等比数列;
练习3.设二次方程有两个实根和,且满足.
(1)试用表示;
(2)求证:
是等比数列;
(3)当时,求数列的通项公式.
1.已知等比数列中,且,则()
A.B.C.D.
2.已知等比数列的公比为正数,且·
=2,=1,则=()
A.B.C.D.2
3.在等比数列中,则()
A.B.C.D.
4.等比数列的前n项和为,已知,,则()
A.38B.20C.10D.9
5.设等比数列{}的前n项和为,若=3,则=()
A.2B.C.D.3
6.已知是公差不为0的等差数列的前项和,且成等比数列,则等于()
A.4B.6C.8D.10
7.等比数列的公比,其前项的和为,则与的大小关系是()
A. B. C. D.不确定
第三讲递推数列求通项
数列求通项的常用方法:
1.公式法:
等差数列公式,等比数列公式,
2.利用和的关系:
3.累加法:
已知关系式可利用累加法;
4.累乘法:
已知关系式,可利用累乘法.
5.构造新数列
(1)递推关系形如“”,利用待定系数法求解
(2)递推关系形如“,两边同除或待定系数法求解
(3)递推关系形如“”,利用待定系数法求解
(4)递推关系形如"
两边同除以
6.倒数法:
递推关系形如,等,可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。
7.对数法:
形如(其中为常数)等,等式两边分别取对数,进行降次,再重新构造数列进行求解。
题型一公式法求通项
当题中已知数列是等差数列或等比数列,在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项,只需求得首项及公差公比。
例1.在公差为的等差数列中,已知,且成等比数列.求;
练习1.等比数列的前项和为,已知,,则__________
题型二利用和的关系
若已知数列的前项和的表达式,求数列的通项可用公式求解。
例2.(2015全国1理)为数列的前项和.已知,
(Ⅰ)求的通项公式:
(Ⅱ)设,求数列的前项和
练习2.【2015高考四川理】设数列的前项和,且成等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)记数列的前n项和,求得成立的n的最小值.
题型三累加法:
例3.
(1)已知数列的首项为1,且写出数列的通项公式.
(2)已知数列满足,求数列的通项公式。
练习3.
(1)已知数列中,,求的通项公式.
【2015江苏高考理】数列满足,且(),则数列的前10项和为
题型四累乘法
一般地对于形如“已知,且(为可求积的数列)”的形式可通过累乘法求数列的通项公式。
即:
例4.在数列中,,求的表达式。
练习4.已知数列满足:
,求求数列的通项公式;
题型五构造新数列
1.递推关系形如“”,利用待定系数法求解
例5.已知数列中,求通项
练习5.已知数列中,,求数列的通项公式.
2.递推关系形如“,两边同除或待定系数法求解
例6.,求数列的通项公式.
练习6.设为常数,且.求数列的通项公式.
3.递推关系形如“”,利用待定系数法求解
把原递推公式转化为,其中满足
例7.已知数列满足,且,且满足,求.
练习7.数列中,若,且满足,求.
3.递推关系形如"
例8.在数列中,,并且对任意都有成立,令.求数列的通项公式;
练习8.已知数列中,,求数列的通项公式.
题型六倒数法
递推关系形如,等,可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式.
例9.已知数列满足:
,求的通项公式.
练习9.已知,,求.
※课后练习:
1.在等差数列中,已知则等于()
A.40B.42C.43D.45
2.数列的前项和为,若,则等于()
A.1 B. C. D.
3.设是等差数列的前项和,若,则()
A.8B.7C.6D.5
4.已知等差数列共有10项,其中奇数项之和15,偶数项之和为30,则其公差是()
A.5B.4C.3D.2
5.一个等比数列前项的和为48,前2项的和为60,则前3项的和为()
A.83B.108C.75D.63
6.等比数列的各项为正数,且()
A.12B.10C.8D.2+
7.已知成等比数列,且曲线的顶点是,则等于()
A.3B.2C.1D.
8.已知等比数列的前项和,则等于()
A.B.C.D.
第四讲数列求和
数列求和的常用方法:
1.公式法求和:
对于求等差(比)数列的前项和,可以直接利用公式求和。
2.裂项相消求和:
把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和。
3.错位相减求和:
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前项和即可用错位相减法求和;
4.倒序相加求和:
如果一个数列,与首末两端等“距离”的两项的和相等,那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求和.
5.分类重组求和:
通过对求和的各项进行分类、重组,转化为我们熟悉的数列求和。
题型一公式法求和
例1.
(1)已知数列是首项为,公比为的等比数列,则=
(2)已知等差数列满足:
,公差,则
题型二裂项相消求和
例2.
(1)数列的前项和等于10.则项数=.
(2)数列的前5项和等于.
练习2.
(1)等差数列的前n项和为,已知,为整数,且.
(I)求的通项公式;
(II)设,求数列的前n项和.
题型三错位相减求和
例3.设是等差数列,是各项都为正数的等比数列,且,,
(Ⅰ)求,的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前n项和.
练习3.设等差数列的前n项和为,且,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设数列前n项和为,且(为常数).令.求数列的前n项和.
题型四:
倒序相加求和
例4.
(1)=
(2)已知,则
练习4.已知函数
(1)证明:
(2)求的值.
题型五:
分类重组求和
例5.已知数列的通项公式为,则数列的前项和=
练习5.
(1)已知的通项公式为,则数列的前20项和=
(2)数列的通项公式,前项和为,则___________.
1、等差数列中,,,其前项和,则()
(A)9(B)10(C)11(D)12
2、等差数列{an}的前n项和为Sn,若()
(A)12 (B)18 (C)24 (D)42
3、等比数列的前n项和为,已知,,成等差数列,则的公比为______。
4、已知数列的通项,则其前项和.
5、若数列的前项和,则此数列的通项公式为
6.已知数列的前项和.
(I)求数列的通项公式;
(II)设,求数列的前项和.
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