-浙江省杭州市高一上期末数学试卷Word文档下载推荐.doc
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C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数
10.(3分)记a=sin1,b=sin2,c=sin3,则( )
A.c<b<a B.c<a<b C.a<c<b D.a<b<c
11.(3分)要得到函数y=cos(2x﹣)的图象,只需将函数y=sin2x的图象( )
A.向左平移个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移个单位 D.向右平移个单位
12.(3分)已知函数在(﹣∞,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是( )
A.1<a<3 B.1<a≤3 C.<a<5 D.<a≤5
13.(3分)定义min{a,b}=,若函数f(x)=min{x2﹣3x+3,﹣|x﹣3|+3},且f(x)在区间[m,n]上的值域为[,],则区间[m,n]长度的最大值为( )
A.1 B. C. D.
14.(3分)设函数f(x)=|﹣ax|,若对任意的正实数a,总存在x0∈[1,4],使得f(x0)≥m,则实数m的取值范围为( )
A.(﹣∞,0] B.(﹣∞,1] C.(﹣∞,2] D.(﹣∞,3]
二、填空题(本大题有6小题,15~17题每空3分,18~20题每空4分,共30分,把答案填在答题卷的相应位置)
15.(3分)设集合U={1,2,3,4,5,6},M={2,3,4},N={4,5},则M∪N= ,∁UM= .
16.(3分)()+()= ;
log412﹣log43= .
17.(3分)函数f(x)=tan(2x﹣)的最小正周期是 ;
不等式f(x)>1的解集是 .
18.(4分)已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(﹣4,4),且在(﹣4,0]上的图象如图所示,则关于x的不等式f(x)•g(x)<0的解集是 .
19.(4分)已知不等式(ax+2)•ln(x+a)≤0对x∈(﹣a,+∞)恒成立,则a的值为 .
20.(4分)已知函数f(x)=x+,g(x)=f2(x)﹣af(x)+2a有四个不同的零点x1,x2,x3,x4,则[2﹣f(x1)]•[2﹣f(x2)]•[2﹣f(x3)]•[2﹣f(x4)]的值为 .
三、解答题:
(本大题有4小题,共48分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
21.(10分)已知幂函数f(x)=xα(α∈R),且.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)证明函数f(x)在定义域上是增函数.
22.(12分)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(﹣π<φ<0,ω>0)的图象关于直线对称,且两相邻对称中心之间的距离为.
(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;
(2)若关于x的方程f(x)+log2k=0在区间上总有实数解,求实数k的取值范围.
23.(12分)一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.
(1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义;
(2)假设这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km,试求汽车在行驶这段路程时里程表读数s(km)与时间t(h)的函数解析式,并作出相应的图象.
24.(13分)已知函数f(x)=(x﹣1)|x﹣a|﹣x﹣2a(x∈R).
(1)若a=﹣1,求方程f(x)=1的解集;
(2)若,试判断函数y=f(x)在R上的零点个数,并求此时y=f(x)所有零点之和的取值范围.
参考答案与试题解析
【解答】解:
因为sin120°
=sin(90°
+30°
)=cos30°
=.
故选C.
∵sinα=,且α为第二象限的角,
∴cosα=﹣=﹣.
故选:
D.
∵集合A={x∈R|x2﹣4x<0}={x|0<x<4},
B={x∈R|2x<8}={x|x<3},
∴A∩B={x|0<x<3}=(0,3).
A.
∵函数f(x)=log3x+x﹣3,定义域为:
x>0;
函数是连续函数,
∴f
(2)=log32+2﹣3<0,f(3)=log33+3﹣3=1>0,
∴f
(2)•f(3)<0,根据函数的零点的判定定理,
C.
要使函数有意义,则log0.5(3x﹣2)≥0,
即0<3x﹣2≤1,得<x≤1,
即函数的定义域为(,1],
D
患者服用某种药物后心率立刻明显减慢,则函数的图象应呈下降趋势,
之后随着药力的减退,心率再次慢慢升高,则函数的图象应一直呈上升趋势,
但上升部分的图象比下降的图象要缓,排除AB,
根据正常人的心率约为65,可排除D,
只有C符合,
C
∵函数f(x)=,
∴f(5)=f(3)=f
(1)=2.
∵函数y=f(2x)+2x是偶函数,
∴设g(x)=f(2x)+2x,
则g(﹣x)=f(﹣2x)﹣2x=g(x)=f(2x)+2x,
即f(﹣2x)=f(2x)+4x,
当x=1时,f(﹣2)=f
(2)+4=1+4=5,
A
f(﹣x)=|sin(﹣x)+cos(﹣x)|+|sin(﹣x)﹣cos(﹣x)|=|﹣sinx+cosx|+|﹣sinx﹣cosx|
=|six+cosx|+|sinx﹣cosx|=f(x),
则函数f(x)是偶函数,
∵f(x+)=|sin(x+)+cos(x+)|+|sin(x+)﹣cos(x+)|
=|cosx﹣sinx|+|cosx+sinx|=|sinx+cosx|+|sinx﹣cosx|=f(x),
∴函数f(x)的周期是,
如图所示,
∵>π﹣2>1>0,
∴sin2=sin(π﹣2)>sin1,
∵,
∴sin1=sin(π﹣1)>sin3.
综上可得:
sin2>sin1>sin3.
故选B.
∵y=cos(2x﹣)=cos(﹣2x)=sin(2x+)=sin[2(x+)],
∴将函数y=sin2x的图象向左平移个单位即可得到函数y=cos(2x﹣)的图象.
B.
函数在(﹣∞,+∞)上是增函数,
可得:
,解得:
1<a≤3.
根据定义作出函数f(x)的图象如图:
(蓝色曲线),
其中A(1,1),B(3,3),
即f(x)=,
当f(x)=时,当x≥3或x≤1时,由3﹣|x﹣3|=,得|x﹣3|=,
即xC=或xG=,
当f(x)=时,当1<x<3时,由x2﹣3x+3=,得xE=,
由图象知若f(x)在区间[m,n]上的值域为[,],则区间[m,n]长度的最大值为xE﹣xC=﹣=,
对任意的正实数a,总存在x0∈[1,4],使得f(x0)≥m⇔m≤f(x)max,x∈[1,4].
令u(x)=﹣ax,∵a>0,∴函数u(x)在x∈[1,4]单调递减,
∴u(x)max=u
(1)=4﹣a,u(x)min=1﹣4a.
①a≥4时,0≥4﹣a>1﹣4a,则f(x)max=4a﹣1≥15.
②4>a>1时,4﹣a>0>1﹣4a,则f(x)max={4﹣a,4a﹣1}max>3.
③a≤1时,4﹣a>1﹣4a≥0,则f(x)max=4﹣a≥3.
综上①②③可得:
m≤3.
∴实数m的取值范围为(﹣∞,3].
15.(3分)设集合U={1,2,3,4,5,6},M={2,3,4},N={4,5},则M∪N= {2,3,4,5} ,∁UM= {1,5,6} .
集合U={1,2,3,4,5,6},M={2,3,4},N={4,5},则M∪N={2,3,4,5};
∁UM={1,5,6},
故答案为:
{2,3,4,5},{1,5,6}
16.(3分)()+()= 3 ;
log412﹣log43= 1 .
()+()
=
=;
log412﹣log43=.
3,1.
17.(3分)函数f(x)=tan(2x﹣)的最小正周期是 ;
不等式f(x)>1的解集是 .
由正切函数的周期公式得函数的周期T=;
由f(x)>1得tan(2x﹣)>1,
得+kπ<2x﹣<+kπ,得+<x<+,k∈Z,
即不等式的解集为;
,;
18.(4分)已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(﹣4,4),且在(﹣4,0]上的图象如图所示,则关于x的不等式f(x)•g(x)<0的解集是 (﹣4,﹣2)∪(0,2) .
设h(x)=f(x)g(x),则h(﹣x)=f(﹣x)g(﹣x)=﹣f(x)g(x)=﹣h(x),
∴h(x)是奇函数,
由图象可知:
当﹣4<x<﹣2时,f(x)>0,g(x)<0,即h(x)>0,
当0<x<2时,f(x)<0,g(x)>0,即h(x)<0,
∴h(x)<0的解为(﹣4,﹣2)∪(0,2).
故答案为(﹣4,﹣2)∪(0,2)
19.(4分)已知不等式(ax+2)•ln(x+a)≤0对x∈(﹣a,+∞)恒成立,则a的值为 ﹣1 .
∵x∈(﹣a,+∞),
∴当﹣a<x<1﹣a时,y=ln(x+a)<0,
当x>1﹣a时,y=ln(x+a)>0,
又(ax+2)•ln(x+a)≤0对x∈(﹣a,+∞)恒成立,
①若a>0,y=ax+2与y=ln(x+a)均为定义域上的增函数,
在x∈(﹣a,+∞)上,可均大于0,不满足题意;
②若a=0,则2lnx)≤0对x∈(0,+∞)不恒成立,不满足题意;
∴a<0.
作图如下:
由图可知,当且仅当方程为y=ln(x+a)的曲线与方程为y=ax+2的直线相交于点A,
即满足时,(ax+2)•ln(x+a)≤0对x∈(﹣a,+∞)恒成立,
解方程得,解得a=﹣1.
﹣1.
20.(4分)已知函数f(x)=x+,g(x)=f2(x)﹣af(x)+2a有四个不同的零点x1,x2,x3,x4,则[2﹣f(x1)]•[2﹣f(x2)]•[2﹣f(x3)]•[2﹣f(x4)]的值为 16 .
∵令t=f(x),则y=g(x)=f2(x)﹣af(x)+2a=t2﹣at+2a,
∵g(x)=f2(x)﹣af(x)+2a有四个不同的零点x1,x2,x3,x4,
故t2﹣at+2a=0有两个根t1,t2,且t1+t2=a,t1t2=2a,
且f(x1),f(x2),f(x3),f(x4)恰两两相等,为t2﹣at+2a=0的两根,
不妨令f(x1)=f(x2)=t1,f(x3)=f(x4)=t2,
则[2﹣f(x1)]•[2﹣f(x2)]•[2﹣f(x3)]•[2﹣f(x4)]
=(2﹣t1)•(2﹣t1)•(2﹣t2)•(2﹣t2)
=[(2﹣t1)•(2﹣t2)]2=[4﹣2(t1+t2)+t1t2]2=16.
16
【解答】
(1)解:
由得,,
所以;
(2)证明:
定义域是[0,+∞),设任意的x2>x1≥0,
则,
∴f(x2)>f(x1),
函数f(x)在定义域上是增函数.
(1)周期T=π,所以ω=2,当时,,(2分)
得,又﹣π<φ<0,所以取k=﹣1,得(2分)
所以,(1分)
由,得,k∈Z
所以函数y=f(x)的单调递增区间是得(k∈Z),(2分)
(2)当时,,所以,(2分)
所以log2k=﹣f(x)∈[﹣1,2],得.(3分)
(1)阴影部分的面积为:
50+70+90+60=270,
表示汽车在4小时内行驶的路程为270km.(4分)
(2)∵这辆汽车在行驶该段路程前里程表的读数是8018km,
汽车在行驶这段路程时里程表读数s(km)与时间t(h)的函数解析式为:
(4分)
图象如下图:
(1)方法一:
当a=﹣1时,(2分)
由f(x)=1得或(2分)
解得x=0,1,﹣2,即解集为{0,1,﹣2}.(2分)
方法二:
当a=﹣1时,由f(x)=1得:
(x﹣1)|x+1|﹣(x﹣1)=0(x﹣1)(|x+1|﹣1)=0(3分)
∴得x=1或|x+1|=1∴x=1或x=0或x=﹣2
即解集为{0,1,﹣2}.(3分)
(2)
当x≥a时,令x2﹣(a+2)x﹣a=0,∵,
∴△=a2+8a+4=(a+4)2﹣12>0
得,(2分)
且
先判断2﹣a,与大小:
∵,即a<x1<x2,故当x≥a时,f(x)存在两个零点.(2分)
当x<a时,令﹣x2+ax﹣3a=0,即x2﹣ax+3a=0得∵,
∴△=a2﹣12a=(a﹣6)2﹣36>0
得,
同上可判断x3<a<x4,故x<a时,f(x)存在一个零点.(2分)
综上可知当时,f(x)存在三个不同零点.
设,易知g(a)在上单调递增,
故g(a)∈(0,2)∴x1+x2+x3∈(0,2).(2分)
第17页(共18页)
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