初高中数学衔接教材已整理-Word文档下载推荐.doc
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3.2.1三角形的五心
3.2.2解三角形:
钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用
3.3圆
3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系:
圆幂定理
3.3.2点的轨迹
3.3.3四点共圆的性质与判定
3.3.4直线和圆的方程(选学)
1.1数与式的运算
1.1.1.绝对值
绝对值的代数意义:
正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即
绝对值的几何意义:
一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离.
两个数的差的绝对值的几何意义:
表示在数轴上,数和数之间的距离.
例1解不等式:
>4.
解法一:
由,得;
①若,不等式可变为,
即>4,解得x<0,
又x<1,
∴x<0;
②若,不等式可变为,
即1>4,
∴不存在满足条件的x;
③若,不等式可变为,
即>4,解得x>4.
又x≥3,
∴x>4.
综上所述,原不等式的解为
x<0,或x>4.
1
3
A
B
x
4
C
D
P
|x-1|
|x-3|
图1.1-1
解法二:
如图1.1-1,表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|,即|PA|=|x-1|;
|x-3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|,即|PB|=|x-3|.
所以,不等式>4的几何意义即为
|PA|+|PB|>4.
由|AB|=2,可知
点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧.
练习
1.填空:
(1)若,则x=_________;
若,则x=_________.
(2)如果,且,则b=________;
若,则c=________.
2.选择题:
下列叙述正确的是()
(A)若,则(B)若,则
(C)若,则(D)若,则
3.化简:
|x-5|-|2x-13|(x>5).
1.1.2.乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:
(1)平方差公式;
(2)完全平方公式.
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:
(1)立方和公式;
(2)立方差公式;
(3)三数和平方公式;
(4)两数和立方公式;
(5)两数差立方公式.
对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明.
例1计算:
.
原式=
=
=.
例2已知,,求的值.
解:
.
(1)();
(2);
(3) .
(1)若是一个完全平方式,则等于()
(A)(B)(C)(D)
(2)不论,为何实数,的值()
(A)总是正数(B)总是负数
(C)可以是零(D)可以是正数也可以是负数
1.1.3.二次根式
一般地,形如的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如,等是无理式,而,,等是有理式.
1.分母(子)有理化
把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化,需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,我们就说这两个代数式互为有理化因式,例如与,与,与,与,等等.一般地,与,与,与互为有理化因式.
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;
而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中,二次根式的乘法可参照多项式乘法进行,运算中要运用公式;
而对于二次根式的除法,通常先写成分式的形式,然后通过分母有理化进行运算;
二次根式的加减法与多项式的加减法类似,应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.
2.二次根式的意义
例1将下列式子化为最简二次根式:
(1);
(2);
(3).
(1);
(2);
(3).
例2 计算:
=
=
=
=.
=====.
例3试比较下列各组数的大小:
(1)和;
(2)和.
(1)∵,
,
又,
∴<.
(2)∵
又4>2,
∴+4>+2,
∴<.
例4 化简:
==
==.
例5化简:
(2).
解:
(1)原式.
(2)原式=,
∵,∴,所以,原式=.
例6已知,求的值.
解:
∵,
,
∴.
(1)=_____;
(2)若,则的取值范围是_____;
(3)_____;
(4)若,则________.
等式成立的条件是( )
(A) (B) (C) (D)
3.若,求的值.
4.比较大小:
2--(填“>”,或“<”).
1.1.4.分式
1.分式的意义
形如的式子,若B中含有字母,且,则称为分式.当M≠0时,分式具有下列性质:
;
.
上述性质被称为分式的基本性质.
2.繁分式
像,这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.
例1 若,求常数的值.
∵,
∴解得.
例2
(1)试证:
(其中n是正整数);
(2)计算:
(3)证明:
对任意大于1的正整数n,有.
(1)证明:
∵,
∴(其中n是正整数)成立.
(2)解:
由
(1)可知
=.
(3)证明:
∵==,
又n≥2,且n是正整数,∴一定为正数,
∴<.
例3 设,且e>1,2c2-5ac+2a2=0,求e的值.
在2c2-5ac+2a2=0两边同除以a2,得
2e2-5e+2=0,
∴(2e-1)(e-2)=0,
∴e=<1,舍去;
或e=2.
∴e=2.
练习
1.填空题:
对任意的正整数n,();
若,则= ( )
(A)1(B) (C) (D)
3.正数满足,求的值.
4.计算.
习题1.1
A组
1.解不等式:
(1);
(2);
(3).
2.已知,求的值.
3.填空:
(1)=________;
(2)若,则的取值范围是________;
(3)________.
B组
(1),,则________;
(2)若,则____;
2.已知:
,求的值.
C组
1.选择题:
(1)若,则 ( )
(A)(B) (C) (D)
(2)计算等于 ( )
(A) (B) (C) (D)
2.解方程.
3.计算:
4.试证:
对任意的正整数n,有<.
1.2因式分解
因式分解的主要方法有:
十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法.
1.十字相乘法
例1分解因式:
(1)x2-3x+2;
(2)x2+4x-12;
(3);
(4).
解:
(1)如图1.1-1,将二次项x2分解成图中的两个x的积,再将常数项2分解成-1与-2的乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为-3x,就是x2-3x+2中的一次项,所以,有
x2-3x+2=(x-1)(x-2).
-ay
-by
图1.1-4
-2
6
图1.1-3
-1
图1.1-2
说明:
今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图1.1-1中的两个x用1来表示(如图1.1-2所示).
(2)由图1.1-3,得
x2+4x-12=(x-2)(x+6).
(3)由图1.1-4,得
y
图1.1-5
=
(4)=xy+(x-y)-1
=(x-1)(y+1)(如图1.1-5所示).
课堂练习
一、填空题:
1、把下列各式分解因式:
(1)__________________________________________________。
(2)__________________________________________________。
(3)__________________________________________________。
(4)__________________________________________________。
(5)__________________________________________________。
(6)__________________________________________________。
(7)__________________________________________________。
(8)__________________________________________________。
(9)__________________________________________________。
(10)__________________________________________________。
2、
3、若则,。
二、选择题:
(每小题四个答案中只有一个是正确的)
1、在多项式
(1)
(2)(3)(4)
(5)中,有相同因式的是()
A、只有
(1)
(2) B、只有(3)(4)
C、只有(3)(5) D、
(1)和
(2);
(3)和(4);
(3)和(5)
2、分解因式得()
A、B、C、D、
3、分解因式得()
A、B、
C、D、
4、若多项式可分解为,则、的值是()
A、,B、,C、,D、,
5、若其中、为整数,则的值为()
A、或B、C、D、或
三、把下列各式分解因式
1、2、
3、4、
2.提取公因式法
例2分解因式:
(1)
(2)
(1).=
(2)==
=.
或
===
==
课堂练习:
1、多项式中各项的公因式是_______________。
2、__________________。
3、____________________。
4、_____________________。
5、______________________。
6、分解因式得_____________________。
7.计算=
二、判断题:
(正确的打上“√”,错误的打上“×
”)
1、………………………………………………………… ()
2、…………………………………………………………… ()
3、…………………………………………… ()
4、……………………………………………………………… ()
3:
公式法
例3分解因式:
(1)
(2)
(1)=
(2)=
一、,,的公因式是______________________________。
1、………………………… ()
2、………………………………… ()
3、………………………………………………… ()
4、………………………………………… ()
5、……………………………………………… ()
五、把下列各式分解
1、2、
3、4、
4.分组分解法
例4
(1)
(2).
(2)=
==.
或
=
=
=.
用分组分解法分解多项式
(1)
(2)
5.关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解.
若关于x的方程的两个实数根是、,则二次三项式就可分解为.
例5 把下列关于x的二次多项式分解因式:
(2).
(1)令=0,则解得,,
∴=
=.
(2)令=0,则解得,,
∴=.
练习
多项式的一个因式为()
(A)(B)(C)(D)
2.分解因式:
(1)x2+6x+8;
(2)8a3-b3;
(3)x2-2x-1;
(4).
习题1.2
1.分解因式:
(1);
(2);
(3);
(4).
2.在实数范围内因式分解:
(2);
(4).
3.三边,,满足,试判定的形状.
4.分解因式:
x2+x-(a2-a).
5.(尝试题)已知abc=1,a+b+c=2,a²
+b²
+c²
=,求++的值.
2.1.1根的判别式
{情境设置:
可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法,
如求方程的根
(1)
(2)(3)}
我们知道,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),用配方法可以将其变形为
.①
因为a≠0,所以,4a2>0.于是
(1)当b2-4ac>0时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根
x1,2=;
(2)当b2-4ac=0时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根
x1=x2=-;
(3)当b2-4ac<0时,方程①的右端是一个负数,而方程①的左边一定大于或等于零,因此,原方程没有实数根.
由此可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由b2-4ac来判定,我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ”来表示.
综上所述,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),有
(1)当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根x1,2=;
(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=-;
(3)当Δ<0时,方程没有实数根.
例1判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数),如果方程有实数根,写出方程的实数根.
(1)x2-3x+3=0;
(2)x2-ax-1=0;
(3)x2-ax+(a-1)=0;
(4)x2-2x+a=0.
(1)∵Δ=32-4×
1×
3=-3<0,∴方程没有实数根.
(2)该方程的根的判别式Δ=a2-4×
(-1)=a2+4>0,所以方程一定有两个不等的实数根
,.
(3)由于该方程的根的判别式为
Δ=a2-4×
(a-1)=a2-4a+4=(a-2)2,
所以,
①当a=2时,Δ=0,所以方程有两个相等的实数根
x1=x2=1;
②当a≠2时,Δ>0,所以方程有两个不相等的实数根
x1=1,x2=a-1.
Δ=22-4×
a=4-4a=4(1-a),
所以
①当Δ>0,即4(1-a)>0,即a<1时,方程有两个不相等的实数根
,;
②当Δ=0,即a=1时,方程有两个相等的实数根
x1=x2=1;
③当Δ<0,即a>1时,方程没有实数根.
说明:
在第3,4小题中,方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化,于是,在解题过程中,需要对a的取值情况进行讨论,这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法,在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题.
2.1.2根与系数的关系(韦达定理)
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根
,,
则有
;
.
所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:
如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x1,x2,那么x1+x2=,x1·
x2=.这一关系也被称为韦达定理.
特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0,若x1,x2是其两根,由韦达定理可知
x1+x2=-p,x1·
x2=q,
即p=-(x1+x2),q=x1·
x2,
所以,方程x2+px+q=0可化为x2-(x1+x2)x+x1·
x2=0,由于x1,x2是一元二次方程x2+px+q=0的两根,所以,x1,x2也是一元二次方程x2-(x1+x2)x+x1·
x2=0.因此有
以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是
x2-(x1+x2)x+x1·
x2=0.
例2已知方程的一个根是2,求它的另一个根及k的值.
分析:
由于已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出k的值,再由方程解出另一个根.但由于我们学习了韦达定理,又可以利用韦达定理来解题,即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项,于是可以利用两根之积求出方
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