高中数学-公式-柯西不等式Word文档格式.doc
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(函数法)设,则
≥0恒成立.
∴≤0,即…..
③二维形式的柯西不等式的一些变式:
或或.
④提出定理2:
设是两个向量,则.
即柯西不等式的向量形式(由向量法提出)
→讨论:
上面时候等号成立?
(是零向量,或者共线)
⑤练习:
已知a、b、c、d为实数,求证.
证法:
(分析法)平方→应用柯西不等式→讨论:
其几何意义?
(构造三角形)
2.教学三角不等式:
①出示定理3:
设,则.
分析其几何意义→如何利用柯西不等式证明
→变式:
若,则结合以上几何意义,可得到怎样的三角不等式?
3.小结:
二维柯西不等式的代数形式、向量形式;
三角不等式的两种形式(两点、三点)
第二课时3.1二维形式的柯西不等式
(二)
教学过程:
;
3.如何利用二维柯西不等式求函数的最大值?
要点:
利用变式.
二、讲授新课:
1.教学最大(小)值:
①出示例1:
求函数的最大值?
分析:
如何变形?
→构造柯西不等式的形式→板演
→变式:
→推广:
②练习:
已知,求的最小值.
解答要点:
(凑配法).
2.教学不等式的证明:
①出示例2:
若,,求证:
.
分析:
如何变形后利用柯西不等式?
(注意对比→构造)
要点:
…
讨论:
其它证法(利用基本不等式)
已知、,求证:
3.练习:
①已知,且,则的最小值.
….→其它证法
②若,且,求的最小值.(要点:
利用三维柯西不等式)
变式:
若,且,求的最大值.
第三课时3.2一般形式的柯西不等式
2.提问:
二维形式的柯西不等式?
如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维?
答案:
1.教学一般形式的柯西不等式:
①提问:
由平面向量的柯西不等式,如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式?
②猜想:
n维向量的坐标?
n维向量的柯西不等式及代数形式?
结论:
设,则
讨论:
什么时候取等号?
(当且仅当时取等号,假设)
联想:
设,,,则有,可联想到一些什么?
③讨论:
如何构造二次函数证明n维形式的柯西不等式?
(注意分类)
要点:
令,则
又,从而结合二次函数的图像可知,
≤0
即有要证明的结论成立.(注意:
分析什么时候等号成立.)
④变式:
.(讨论如何证明)
2.教学柯西不等式的应用:
分析:
如何变形后构造柯西不等式?
→板演→变式:
若,且,求的最小值.
③出示例2:
若>
>
,求证:
②提出排序不等式(即排序原理):
设有两个有序实数组:
·
;
.·
是,·
的任一排列,则有
·
+(同序和)
+·
+(乱序和)
+(反序和)
当且仅当·
=或·
=时,反序和等于同序和.
(要点:
理解其思想,记住其形式)
2.教学排序不等式的应用:
设是n个互不相同的正整数,求证:
分析:
如何构造有序排列?
如何运用套用排序不等式?
证明过程:
设是的一个排列,且,则.
又,由排序不等式,得
…
小结:
分析目标,构造有序排列.
已知为正数,求证:
由对称性,假设,则,
于是,,
两式相加即得.
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